2022北京西城高一（上）期末數(shù)學(xué)真題試卷（包含答案解析）

1/12022北京西城高一（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）已知集合，，那么A． B． C． D．2．（4分）方程組的解集是A．， B．， C．， D．3．（4分）函數(shù)的定義域是A．， B．， C．，， D．，，4．（4分）為保障食品安全，某監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)一家食品企業(yè)進(jìn)行檢查，現(xiàn)從其生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取100件作為樣本，并以產(chǎn)品的一項關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測依據(jù)，整理得到如下的樣本頻率分布直方圖．若質(zhì)量指標(biāo)值在，內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，則該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.755．（4分）若，，則一定有A． B． C． D．以上答案都不對6．（4分）已知向量，，那么A．5 B． C．8 D．7．（4分）若，則A． B． C． D．8．（4分）設(shè)，為平面向量，則“存在實數(shù)，使得”是“向量，共線”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）設(shè)為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，（1），則不等式的解集是A． B． C． D．，，10．（4分）如圖，為半圓的直徑，點為的中點，點為線段上的一點（含端點，，若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）命題“，”的否定是．12．（5分）如圖莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，記甲、乙的平均成績分別為，，則，的大小關(guān)系是．13．（5分）若不等式的解集為，則，．14．（5分）如圖，在正六邊形中，記向量，，則向量．（用，表示）15．（5分）設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在實數(shù)，使得對于任意，都有，則稱為“單調(diào)增函數(shù)”．對于“單調(diào)增函數(shù)”，有以下四個結(jié)論：①“單調(diào)增函數(shù)”一定在上單調(diào)遞增；②“單調(diào)增函數(shù)”一定是“單調(diào)增函數(shù)”（其中，且③函數(shù)是“單調(diào)增函數(shù)”（其中表示不大于的最大整數(shù)）；④函數(shù)不是“單調(diào)增函數(shù)”．其中，所有正確的結(jié)論序號是．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（13分）在體育知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)籃球知識的問題，已知甲答題正確的概率是，乙答題錯誤的概率是，乙、丙兩人都答題正確的概率是，假設(shè)每人答題正確與否是相互獨立的．（Ⅰ）求丙答題正確的概率；（Ⅱ）求甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率．17．（15分）設(shè)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的圖像與直線交點的坐標(biāo)；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個不相等的正數(shù)零點，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)在上不具有單調(diào)性，求的取值范圍．18．（14分）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標(biāo)得1分，未命中目標(biāo)得0分．兩人4局的得分情況如下：甲6699乙79（Ⅰ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)，，現(xiàn)從甲、乙兩人的4局比賽中隨機各選取1局，并將其得分分別記為，，求的概率；（Ⅲ）在4局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若（a），求的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若對于，恒成立，求實數(shù)的范圍．20．（13分）某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，用于捕撈．已知該船使用中所需的各種費用（單位：萬元）與使用時間，單位：年）之間的函數(shù)關(guān)系式為，該船每年捕撈的總收入為50萬元．（Ⅰ）該漁船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有使用費用為正值）？（Ⅱ）若當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，漁船以30萬元賣出，則該船為漁業(yè)公司帶來的收益是多少萬元？21．（15分）設(shè)是實數(shù)集的非空子集，稱集合，，且為集合的生成集．（Ⅰ）當(dāng)，3，時，寫出集合的生成集；（Ⅱ）若是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集中元素個數(shù)的最小值；（Ⅲ）判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并說明理由．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．【分析】先求出集合，再利用并集定義能求出．【解答】解：集合，，．故選：．【點評】本題考查集合的運算，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】利用代入法可求得方程組的解集．【解答】解：由，得，代入，得，解得，故時，，時，，故方程組的解集是，，故選：．【點評】本題主要考查了一元二次方程組的解法，集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0，聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得．函數(shù)的定義域是，．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)已知條件，直接讀取頻率分布直方圖，即可求解．【解答】解：質(zhì)量指標(biāo)值在，內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率約為．故選：．【點評】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，即可求解．【解答】解：對于，令，，，，滿足，，但，故錯誤，對于，令，，，，滿足，，但，故錯誤，對于，令，，，，滿足，，但，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】通過向量的坐標(biāo)運算以及向量的模的求法，求解即可．【解答】解：向量，，那么，．故選：．【點評】本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量的模的求法，是基礎(chǔ)題．7．【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化及對數(shù)的運算性質(zhì)可求．【解答】解：由題意得，，所以，故選：．【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】直接利用向量的共線和充分條件和必要條件的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)，為平面向量，則當(dāng)時，向量，共線，當(dāng)向量，，共線，則不存在實數(shù)使，故“存在實數(shù)，使得”是“向量，共線”的充分不必要條件；故選：．【點評】本題考查的知識要點：向量共線，充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，（1），在上單調(diào)遞增且，則的圖象如圖：則的解為或，由或，得或，即的解集，，，故選：．【點評】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系作出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．10．【分析】設(shè)，，，由平面向量的線性運算法則可得，進(jìn)而得，再結(jié)合配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)，得解．【解答】解：由題意知，為等腰直角三角形，其中，設(shè)，，，則，所以，在，上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，為10，當(dāng)時，取得最小值，為2，所以的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的加法、減法和數(shù)量積的運算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為：，．故答案為：，．【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)公式，分別求出，，再通過比較大小，即可求解．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，，，故．故答案為：．【點評】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值．【解答】解：因為不等式的解集為，所以和2是方程的實數(shù)解，由根與系數(shù)的關(guān)系，知，解得，．故答案為：；1．【點評】本題考查了一元二次不等式與方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．【分析】利用正六邊形的性質(zhì)以及三角形法則化簡即可求解．【解答】解：在正六邊形中，，且，則，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到三角形法則以及正六邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】①③④選項可以舉出反例；②可以進(jìn)行證明．【解答】解：①例如，定義域為，存在，對于任意，都有，但在上不單調(diào)遞增，①錯誤；②因為是單調(diào)增函數(shù)，所以存在，使得對于任意，都有，因為，，所以，故，即存在實數(shù)，使得對于任意，都有，故是單調(diào)增函數(shù)，②正確；③，定義域為，當(dāng)時，對任意的，都有，即成立，所以是單調(diào)增函數(shù)，③正確；④當(dāng)時，，若，則，顯然不滿足，故函數(shù)不是“單調(diào)增函數(shù)”，④正確．故答案為：②③④．【點評】本是屬于新概念題，考查了推理能力，充分理解和運用定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【分析】（Ⅰ）設(shè)丙答題正確的概率為，利用對立事件和相互獨立事件概率公式列方程，能求出丙答題正確的概率；（Ⅱ）由相互獨立事件概率乘法公式能求出甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率．【解答】解：（Ⅰ）記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件，，，設(shè)丙答對題的概率為，乙答對題的概率為（B），每人回答問題正確與否相互獨立，事件，，是相互獨立事件，根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式得（B）（C），解得，丙答題正確的概率為；（Ⅱ）甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率為甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為：（B）．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．【分析】當(dāng)時，，聯(lián)立方程，求解坐標(biāo)，即可求解．由已知條件可得，，解出的取值范圍，即可求解．根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：當(dāng)時，，聯(lián)立方程，解得或，故焦點坐標(biāo)為和．函數(shù)有兩個不相等的正數(shù)零點，設(shè)方程有兩個不等的正實根，，即，解得，故的取值范圍為，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上不具有單調(diào)性，，解得，故的取值范圍為．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由題意得，，由此能求出的最小值；（Ⅱ）由，，從甲、乙兩人的4局比賽中隨機各選取1局，并將其得分分別記為，，利用列舉法能求出的概率；（Ⅲ）由題設(shè)條件能求出的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，整理得，根據(jù)題意得，，乙的平均得分高于甲的平均得分時，的最小值為5；（Ⅱ）設(shè)，，現(xiàn)從甲、乙兩人的4局比賽中隨機各選取1局，并將其得分分別記為，，設(shè)事件表示“”，記甲的4局比賽為，，，，各局得分為6，6，9，9，乙的4局比賽為，，，，各局得分為7，9，6，10，從甲、乙的4局比賽中隨機各選取1局，所有的可能的結(jié)果有16種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，事件包含的基本事件有8種，分別為：，，，，，，，，的概率；（Ⅲ）在4局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，的所有可能取值為6，7，8．【點評】本題考查平均數(shù)、概率的運算，考查平均數(shù)、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程直接進(jìn)行求解即可，（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可，（Ⅲ）利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求最值問題進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）若（a），得，即，得，得；（Ⅱ）由，得或，定義域關(guān)于原點對稱，則，即，則是奇函數(shù)．（Ⅲ），設(shè)，則為增函數(shù)，在，為增函數(shù)，在，為增函數(shù)，要使對于，恒成立，則使，（3），，則求實數(shù)的范圍是，．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的的判斷以及函數(shù)最值的求解，利用奇函數(shù)的定義以及參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．20．【分析】由題意可得，漁船捕撈的利潤，即可求解．據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，漁船捕撈的利潤，解得，，且，該漁船捕撈3年開始盈利．由題意可得，平均盈利額，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故在第7年平均盈利額達(dá)到最大，總收益為萬元．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握基本不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（Ⅰ）利用集合的生成集定義直接求解．（Ⅱ）設(shè)，，，，，且，利用生成集的定義即可求解；（Ⅲ）不存在，理由用反證法說明．【解答】解：（Ⅰ），3