高考數(shù)學二輪復(fù)習專題4立體幾何培優(yōu)拓展（12）立體幾何中的動態(tài)問題課件

培優(yōu)拓展(十二)立體幾何中的動態(tài)問題立體幾何中的“動態(tài)問題”,是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的,是可變的一類開放性問題.由于“動態(tài)”的存在,也使立體幾何問題更趨多元化,將立體幾何問題與平面幾何中的軌跡問題、解三角形問題等之間架設(shè)了橋梁,可以靈活轉(zhuǎn)化.立體幾何中的動態(tài)問題主要有兩個類型:(1)研究動點的軌跡,主要方法有定義法(如圓錐曲線定義)、解析法、交軌法;(2)與動點有關(guān)的最值、范圍問題,主要方法有幾何法、函數(shù)法.角度一動點的軌跡問題例1(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M為DD1的中點,N為ABCD所在平面上一動點,則下列說法正確的是(

)A.若MN與平面ABCD所成的角為,則點N的軌跡為圓B.若MN=4,則MN的中點P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.若點N到直線BB1與直線DC的距離相等,則點N的軌跡為拋物線D.若D1N與AB所成的角為,則點N的軌跡為雙曲線ACD

對于C,連接NB,因為BB1⊥平面ABCD,NB?平面ABCD,所以BB1⊥NB,所以點N到直線BB1的距離為點N到點B的距離.又點B不在直線CD上,所以點N的軌跡為以點B為焦點,CD為準線的拋物線,故C正確;對于D,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(4,0,0),B(4,4,0),D1(0,0,4).設(shè)N(x,y,0),則[對點訓練1]在矩形ABCD中,點E是AB的中點,AD=1,AB=2,將△ADE繞DE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'DE,設(shè)A'C的中點為M,在此過程中動點M形成的軌跡長度為

.

解析

如圖,連接AC,設(shè)AC的中點為M0,△ADE繞DE順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時平面A'DE⊥平面ABCD.取CD中點P,CE中點Q,連接PQ,MP,MQ,M0P,M0Q,取PQ中點N,連接MN,M0N.由題可知,

所以△MPQ和△M0PQ是等腰直角三角形.易知△MPQ和△M0PQ在旋轉(zhuǎn)過程中保持形狀、大小不變,所以動點M的軌跡是以N為圓心,

為半徑的一段圓弧.又MP∥A'D,MQ∥A'E,MP∩MQ=M,MP,MQ?平面MPQ,A'D∩A'E=A',A'D,A'E?平面A'DE,所以平面MPQ∥平面A'DE.又平面A'DE⊥平面ABCD,所以平面MPQ⊥平面ABCD.又平面MPQ∩平面ABCD=PQ,MN⊥PQ,所以MN⊥平面ABCD.又M0N?平面ABCD,所以MN⊥M0N.故動點M形成的軌跡長度為角度二與動點有關(guān)的最值、范圍問題例2(多選題)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,動點P在體對角線BD1上(含端點),則下列結(jié)論正確的有(

)A.當P為BD1的中點時,∠APC為銳角B.存在點P,使得BD1⊥平面APCABC解析

如圖,以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),[對點訓練2]在空間直角坐標系O-xyz中,正四面體P-ABC的頂點A,B分別在x軸、y軸上