2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積課件

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積領(lǐng)航高考風(fēng)向標(biāo)通覽主干知識1.空間幾何體的表面積與體積公式

球的表面積恰好是球的大圓面積的4倍

2.線面、面面平行的判定及性質(zhì)定理

(1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α;(2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b;(3)面面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥β,b∥β,a∩b=P?α∥β;(4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.3.線面、面面垂直的判定及性質(zhì)定理

(1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α;(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b;(3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?β⊥α;(4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.4.利用空間向量證明平行、垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),則(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直l⊥α?a∥u?a=ku?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k為常數(shù)).(3)面面平行α∥β?u∥v?u=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ為常數(shù)).(4)面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.5.利用空間向量求空間角

(3)二面角:設(shè)二面角的兩個半平面α,β的法向量分別為n1,n2,二面角的大小為θ(0≤θ≤π),則|cosθ|=|cos<n1,n2>|

公式兩邊都有絕對值,所以兩角相等或互補(bǔ)利用空間向量求空間角時,一定要注意角的取值范圍.對于二面角,要注意題目條件是否明確是銳角還是鈍角,如果沒有說明,則結(jié)合圖形特點判斷.若求兩個不平行平面的夾角,則取直角或銳角.6.利用空間向量求點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的

B鏈高考2.(2023全國甲,理15)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有

個公共點.

12解析

設(shè)EF的中點為O,則球O的直徑為EF.因為O點也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O(shè)點到各棱的距離均等于OE,故以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有12個公共點.鏈高考3.(2024全國甲,理10,文11)設(shè)α,β為兩個平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m.下述四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號是(

)A.①③

B.②④ C.①②③

D.①③④A解析

對于①,若m∥n,若n?α且n?β,則n∥α且n∥β,若n?α,則n∥β,若n?β,則n∥α,故①正確;對于②,若n⊥m,則n與α和β不一定垂直,②錯誤;對于③,若n∥α且n∥β,由線面平行的性質(zhì)可證明n∥m,③正確;對于④,當(dāng)n∥α且n∥β,n與α,β所成的角都為0°,此時n∥m,④錯誤.故選A.鏈高考4.(2023新高考Ⅰ,18節(jié)選)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.證明:B2C2∥A2D2.證明

(方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點C為坐標(biāo)原點,CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(方法二

幾何法)設(shè)棱DD1上的點N滿足DN=AA2=1,取CC1的中點M,連接A2N,MN,B2M,如圖.因為DN∥AA2,且DN=AA2,故四邊形AA2ND為平行四邊形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因為AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四邊形A2B2MN為平行四邊形.因為D2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四邊形C2D2NM為平行四邊形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四邊形A2B2C2D2為平行四邊形.所以B2C2∥A2D2.(方法三

基底法)鏈高考5.(2024天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中點,M是DD1的中點.(1)求證D1N∥平面CB1M;(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值;(3)求點B到平面CB1M的距離.(1)證明

如圖,取B1C的中點H,連接NH,MH.∵N為B1C1的中點,H為B1C的中點,∴NH∥CC1,且NH=CC1.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1,∴CC1∥DD1,CC1=DD1,∴NH∥DD1,且NH=DD1.∵M(jìn)為DD1的中點,∴D1M=DD1,∴D1M∥NH,D1M=NH.∴四邊形D1NHM為平行四邊形,∴D1N∥MH.又D1N?平面CB1M,MH?平面CB1M,∴D1N∥平面CB1M.(2)解

∵A1A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD.又AD⊥AB,∴A1A,AB,AD兩兩垂直.以A為原點,AB,AD,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則考點一空間幾何體的折展問題例1(1)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為5和10,側(cè)面積S為300π,AB為圓臺的一條母線(點B在圓臺的上底面圓周上),M為AB的中點,一只螞蟻從點A出發(fā),繞圓臺側(cè)面一周爬行到點M,則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為(

)A.30 B.40 C.50 D.60C解析

∵圓臺上底面半徑為5,下底面半徑為10,母線長為l,所以S=πl(wèi)(10+5)=15πl(wèi)=300π,解得l=20,將圓錐側(cè)面展開如圖所示,且設(shè)扇形的圓心為O,線段M1A就是螞蟻經(jīng)過的最短路徑.設(shè)OB=R,圓心角是α,則由題意知10π=αR,20π=α(20+R),解得α=,R=20,(2)(2024河北滄州模擬)已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為棱DD1上一動點,則PB1+PC的最小值為

.

解析

如圖,將平面BB1D1D繞D1D翻折到與平面CC1D1D共面,連接B1C交DD1于點P,此時PB1+PC取得最小值B1C,又[對點訓(xùn)練1](1)(多選題)如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,則下列說法中正確的是(

)A.C∈GHB.CD與EF是共面直線C.AB∥EFD.GH與EF是異面直線ABD解析由圖可知,還原正方體后,C∈GH;CD∥EF,即CD與EF是共面直線;AB∩EF=B,即AB與EF不平行;GH與EF是異面直線,故A,B,D正確,C錯誤.故選ABD.(2)(2024湖北武漢模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=8,∠APB=∠APC=∠BPC=40°,過點A作截面,分別交側(cè)棱PB,PC于E,F兩點,則△AEF周長的最小值為

.

解析

如圖,沿著側(cè)棱PA把三棱錐P-ABC展開在一個平面內(nèi),如圖所示,則AA'的長度即為△AEF的周長的最小值.在△PAA'中,∠APA'=3×40°=120°,PA=A'P=8,由余弦定理得考點二空間幾何體的表面積與體積(多考向探究預(yù)測)考向1空間幾何體的表面積例2(1)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式,常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖等,多見于亭閣式建筑,蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu).某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分如圖所示,它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體,已知正四棱臺上底面邊長、下底面邊長、側(cè)棱長(單位:dm)分別為2,6,4,正三棱柱各棱長均相等,則該結(jié)構(gòu)表面積為(

)A(2)(2024河南信陽二模)已知一個圓柱的底面半徑為2,高為3,上底面的同心圓半徑為1,以這個圓面為上底面,圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去,剩余的幾何體表面積等于(

)D解析

剩余幾何體的表面積等于圓環(huán)的面積加上圓臺的側(cè)面積再加上圓柱的側(cè)面積,所以圓環(huán)的面積為π×(22-12)=3π.規(guī)律方法空間幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何體特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積[對點訓(xùn)練2](1)(2024福建漳州一模)如圖,石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械,通常由兩個圓石做成.磨是平面的兩層,兩層的接合處都有紋理,糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間,沿著紋理向外運移,在滾動過程中被磨碎,形成粉末.如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成,每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍,若石磨的側(cè)面積為64π,則圓柱底面圓的半徑為(

)A.4 B.2 C.8 D.6A解析

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r>0,則圓柱的高為r,則石磨的側(cè)面積為2×2πr×r=64π,解得r=4.(2)(2024浙江湖州模擬)廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式,分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂.單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊,前后左右都有斜坡,類似如圖所示的五面體FE-ABCD的形狀.若四邊形ABCD是矩形,AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,則五面體FE-ABCD的表面積為

.

解析

如圖,分別取AD,BC的中點G,H,連接GH,FH,過點F作AB的垂線FI,垂足為I.考向2空間幾何體的體積例3極目一號是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月,“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測,最高升空至9050米,超過珠穆朗瑪峰,創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄,彰顯了中國的實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米,高19米,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體,如圖所示,則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為(

)(參考數(shù)據(jù):9.52≈90,315×1005≈316600,π≈3.14)A.9060立方米

B.9004立方米C.8944立方米

D.8884立方米A[對點訓(xùn)練3](2024遼寧丹東模擬)某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實心模型.如圖,該模型的上半部分是圓臺,下半部分是半球.其中半球的體積V為144πcm3,圓臺的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半.打印所用原料密度ρ為1.6g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量m約為(

)(1.6π≈5,m=ρV)A.3240g B.1665g C.1035g D.315gC考點三幾何體的外接球與內(nèi)切球例4(1)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱臺的高為1,上、下底面的邊長分別為3和4,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.100π B.128π C.144π

D.192πA(2)(2024廣東深圳一模)已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r2=2r1,若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切,則該圓臺的體積為(

)C解析

如圖,設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為O1,O2,則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點處,設(shè)球O與母線