2024屆廣東省深圳市寶安區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題一?選擇題1.復數(shù)的實部與虛部之和是（）A.7 B.13 C.21 D.27【答案】B【解析】因為，所以復數(shù)的實部與虛部之和是，故選：B.2.已知集合，則的元素個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】C【解析】聯(lián)立整理得.由，得原方程組有兩組解，即中有2個元素，故選：C.3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）A.28 B.36 C.52 D.64【答案】A【解析】由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因為在內(nèi)有零點，所以，解得.故選：A6.如圖，設拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設,，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D7.若函數(shù)的最大值是，則常數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，其中，所以，所以，對于A選項，當，，故A錯誤；對于B選項，當，，故B正確；對于C選項，當，，故C錯誤；對于D選項，當，，故D錯誤，故選：B.8.已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因為，所以.由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當且僅當與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C二?多選題9.已知數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（）A.若，則是等比數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則C.若，則是等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】BCD【解析】當時，滿足，但不是等比數(shù)列，則A錯誤由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則B正確.由，得，則，當時，，則，從而可知是等比數(shù)列，則C正確.由，得.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得，再代入結合C選項可知此時為等比數(shù)列，則D正確.故選：BCD.10.直線與圓，則（）A.圓的半徑為2B.直線過定點C.直線與圓一定有公共點D.圓的圓心到直線的距離的最大值是3【答案】BCD【解析】對于A項，將圓化為標準方程可得，，所以圓的圓心坐標為，半徑為3.故A項錯誤；對于B項，直線可化為，由可得，，所以直線過定點，故B項正確；對于C項，因為點在圓上，直線過定點，所以，直線與圓一定有公共點故C項正確；對于D項，設，當時，點到直線的距離最大，所以，圓的圓心到直線的距離的最大值是，故D項正確.故選：BCD.11.若直線與曲線相切，則的取值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】BCD【解析】設切點為，因為，所以.又因為切點在直線上，所以，解得，所以，令，則，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又當.故的取值范圍為.故選：BCD.12.正三棱柱中，，，，分別為，，的中點，為棱上的動點，則（）A.平面平面B.點到平面的距離為C.與所成角的余弦值的取值范圍為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為【答案】ACD【解析】對于A，取的中點，連接，，易知也是的中點，在中，因為，為的中點，所以，在中，因為，為的中點，所以，又因為，平面，，所以平面．又因為平面，所以平面平面，A正確．對于B，設點到平面的距離為，易知，，取中點為，連接，因為，則，因底面，且面，則，又因為平面，且，所以平面，且，因為，所以，解得，B錯誤．對于C，取的中點，連接，易知．以為坐標原點，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則.，設，，，，設與所成的角為，則．令（），則，當即時，；當，即時，，根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知；當，即時，同理根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知．綜上，與所成角的余弦值的取值范圍為，C正確．對于D，由A選項中的結論知平面，．又因為球面的半徑為，所以以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線（圓的一部分）的半徑為．如圖，，，所以，解得，由圓與正方形的對稱性知，所以球面與側(cè)面的交線長為，D正確．故選：ACD.三?填空題13.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，則，故.故答案為：14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.為了檢查學生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項，球類2項，武術類2項共7項項目中隨機抽取3項進行測試，則恰好抽到兩類項目的概率是__________.【答案】【解析】從這7項項目中隨機抽取3項的情況有種，抽取的3項屬同一類的情況有種，抽取的3項包含三類的情況有種，則符合條件的情況有種，所以所求概率為.故答案為：16.已知橢圓的左焦點為，直線與交于，兩點，若，則的離心率是__________.【答案】【解析】設，因為，所以，所以.聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.四?解答題17.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的值；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）因為，所以，所以，所以，則或（舍去）.因為，所以.（2）因為的面積為，所以，則.由余弦定理可得，則，即，解得.故的周長為.18.在等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設數(shù)列的公差為，則，解得，.故.（2）由（1）可得，則，故.19.已知某地中學生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機抽取部分中學生進行調(diào)查，了解到該地中學生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15（1）從該地中學生中隨機抽取1人，已知抽取的這名中學生喜歡羽毛球，求該中學生也喜歡乒乓球的概率；（2）從該地中學生中隨機抽取100人，記抽取到的中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.解：（1）記事件表示從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生喜歡羽毛球，事件表示從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生喜歡乒乓球，則，，所以所求概率.（2）由（1）知從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率，因此，所以的分布列為，期望為.20.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接.因為為圓弧的兩個三等分點，所以.因為分別為的中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因為平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，，則.設平面法向量為，則令，得設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21.已知雙曲線的離心率是3，點在上.（1）求的標準方程；（2）已知直線與相切，且與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）由題可得，解得，故的標準方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線，聯(lián)立，整理得，則，即.由（1）可知的漸近線方程為和，不妨設直線與直線的交點為，與直線的交點為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立解得，即，則，，得，因為，所以，所以，即，故是定值，且該定值為.22.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.（1）解：，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）證明：由，可得，所以.由對稱性，不妨設，則，當且僅當時，等號成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當且僅當時，等號成立，因為等號不能同時取到，所以.廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題一?選擇題1.復數(shù)的實部與虛部之和是（）A.7 B.13 C.21 D.27【答案】B【解析】因為，所以復數(shù)的實部與虛部之和是，故選：B.2.已知集合，則的元素個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】C【解析】聯(lián)立整理得.由，得原方程組有兩組解，即中有2個元素，故選：C.3.某單位有職工500人，其中男性職工有320人，為了解所有職工的身體健康情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取100人進行調(diào)查，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多（）A.28 B.36 C.52 D.64【答案】A【解析】由題意可知抽取到的男性職工人數(shù)為，女性職工人數(shù)為，則抽取到的男性職工的人數(shù)比女性職工的人數(shù)多.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因為在內(nèi)有零點，所以，解得.故選：A6.如圖，設拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設,，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D7.若函數(shù)的最大值是，則常數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，其中，所以，所以，對于A選項，當，，故A錯誤；對于B選項，當，，故B正確；對于C選項，當，，故C錯誤；對于D選項，當，，故D錯誤，故選：B.8.已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因為，所以.由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當且僅當與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C二?多選題9.已知數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（）A.若，則是等比數(shù)列B.若是等比數(shù)列，則C.若，則是等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】BCD【解析】當時，滿足，但不是等比數(shù)列，則A錯誤由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則B正確.由，得，則，當時，，則，從而可知是等比數(shù)列，則C正確.由，得.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得，再代入結合C選項可知此時為等比數(shù)列，則D正確.故選：BCD.10.直線與圓，則（）A.圓的半徑為2B.直線過定點C.直線與圓一定有公共點D.圓的圓心到直線的距離的最大值是3【答案】BCD【解析】對于A項，將圓化為標準方程可得，，所以圓的圓心坐標為，半徑為3.故A項錯誤；對于B項，直線可化為，由可得，，所以直線過定點，故B項正確；對于C項，因為點在圓上，直線過定點，所以，直線與圓一定有公共點故C項正確；對于D項，設，當時，點到直線的距離最大，所以，圓的圓心到直線的距離的最大值是，故D項正確.故選：BCD.11.若直線與曲線相切，則的取值可能為（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】BCD【解析】設切點為，因為，所以.又因為切點在直線上，所以，解得，所以，令，則，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又當.故的取值范圍為.故選：BCD.12.正三棱柱中，，，，分別為，，的中點，為棱上的動點，則（）A.平面平面B.點到平面的距離為C.與所成角的余弦值的取值范圍為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為【答案】ACD【解析】對于A，取的中點，連接，，易知也是的中點，在中，因為，為的中點，所以，在中，因為，為的中點，所以，又因為，平面，，所以平面．又因為平面，所以平面平面，A正確．對于B，設點到平面的距離為，易知，，取中點為，連接，因為，則，因底面，且面，則，又因為平面，且，所以平面，且，因為，所以，解得，B錯誤．對于C，取的中點，連接，易知．以為坐標原點，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則.，設，，，，設與所成的角為，則．令（），則，當即時，；當，即時，，根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知；當，即時，同理根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減可知．綜上，與所成角的余弦值的取值范圍為，C正確．對于D，由A選項中的結論知平面，．又因為球面的半徑為，所以以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線（圓的一部分）的半徑為．如圖，，，所以，解得，由圓與正方形的對稱性知，所以球面與側(cè)面的交線長為，D正確．故選：ACD.三?填空題13.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，則，故.故答案為：14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.為了檢查學生的身體素質(zhì)情況，從田徑類3項，球類2項，武術類2項共7項項目中隨機抽取3項進行測試，則恰好抽到兩類項目的概率是__________.【答案】【解析】從這7項項目中隨機抽取3項的情況有種，抽取的3項屬同一類的情況有種，抽取的3項包含三類的情況有種，則符合條件的情況有種，所以所求概率為.故答案為：16.已知橢圓的左焦點為，直線與交于，兩點，若，則的離心率是__________.【答案】【解析】設，因為，所以，所以.聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.四?解答題17.在中，角的對邊分別是，且.（1）求角的值；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）因為，所以，所以，所以，則或（舍去）.因為，所以.（2）因為的面積為，所以，則.由余弦定理可得，則，即，解得.故的周長為.18.在等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設數(shù)列的公差為，則，解得，.故.（2）由（1）可得，則，故.19.已知某地中學生的男生和女生的人數(shù)比例是，為了解該地中學生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機抽取部分中學生進行調(diào)查，了解到該地中學生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15（1）從該地中學生中隨機抽取1人，已知抽取的這名中學生喜歡羽毛球，求該中學生也喜歡乒乓球的概率；（2）從該地中學生中隨機抽取100人，記抽取到的中學生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為，求的分布列和期望.解：（1）記事件表示從該地中學生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學生喜歡羽毛球，