2024屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市南山區(qū)2024屆高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一?單項選擇題1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】或，故或=.故選：B2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.4 D.5【答案】D【解析】根據(jù)題意由可得，可得，所以.故選：D3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，對稱軸，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴上單調(diào)遞增，且，∴且，即且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.4.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，將兩邊平方可得；可得，可得；設與的夾角為，則，所以.故選：C5.龍洗作為我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故得其名.龍洗的盆體可近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑盆底直徑盆內(nèi)倒?jié)M水，若不考慮盆體厚度，則盆內(nèi)水的體積近似為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，，，高，.故選：B.6.已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】變形為，故直線過定點，的圓心為，半徑為3，則當⊥時，取得最小值，最小值為.故選：C7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得函數(shù)的最小正周期，∴，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且，則且，即，又，則取，解得，則實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.已知實數(shù)滿足，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】，，且，令函數(shù)，因為其定義域為，且，且在上均單調(diào)遞增，則為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且，，即，顯然.故選：A.二?多項選擇題9.下列命題中，為真命題的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，利用基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即A正確；對于B，對于，，當且僅當時，等號成立；即命題不成立，即B錯誤；對于C，易知對于，，當且僅當時，等號成立，即C錯誤；對于D，易知當時，，即，所以D正確.故選：AD10.已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結(jié)論正確的為（）A.甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B.甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D.甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】B【解析】對于A選項：若甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且5個數(shù)據(jù)由小到大排列為：時；那么乙組樣本數(shù)據(jù)的大小排列為：，此時乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故用反例法證明了A選項錯誤對于B選項：甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……①甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……②①②式相等，故B選項正確.對于C選項：設分三種情況討論：情況一：變化只改變了最大值，即……③由不等式性質(zhì)對上式變形有：……④④說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況二：變化只改變了最小值，即……⑤對⑤式利用不等式變形有：……⑥⑥說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況三：變化改變了最大值與最小值，即……⑦；……⑧對⑦利用不等式變形有：……⑨⑧⑨有：……⑩⑩說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上所述：只能得到甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差，故C錯誤.對于D選項：設甲組數(shù)據(jù)的分別為；那么乙組數(shù)據(jù)的分別為；此時有；故D選項錯誤.綜上所述應選B.故選：B.11.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于、兩點（其中），與的準線交于點，若，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.為中點【答案】BD【解析】對于A選項，因為拋物線的焦點，則，可得，A錯；對于B選項，如下圖所示：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，由A選項可知拋物線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，不妨設，由圖可知，，則，所以，，解得，則，所以，，B對；對于C選項，由B選項可知，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，，，則，C錯；對于D選項，因為，則為的中點，D對.故選：BD.12.已知數(shù)列的首項不為零，前項和為，若，則下列結(jié)論正確的為（）A.不可能為常數(shù)列B.C.當時，為等差數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則的公比唯一【答案】ABD【解析】對于選項A，若為常數(shù)列，則，且，所以，即由，所以，顯然為常數(shù)，則為常數(shù)，矛盾，所以不可能為常數(shù)列，故選項A正確；對于選項B，當時，，即，所以，所以，故選項B正確；對于選項C，因為，所以，所以，所以，整理得①，當時，由①得，所以，所以，或，所以不一定為等差數(shù)列，故選項C錯誤；對于選項D，當為等比數(shù)列時，，設的公比為，則，由①得，整理得②，（i）當時，②顯然不成立；（ii）當時，由②得；（iii）當時，由②得，因為是常數(shù)，所以為常數(shù)列，所以，與矛盾，故若為等比數(shù)列，則的公比，即的公比唯一，故選項D正確，故選：ABD.三?填空題13.若雙曲線的焦點在軸上，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】若雙曲線的焦點在軸上，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】因為，所以，得，則，因為，，所以，故答案為：．15.著名數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為__________.【答案】【解析】，可得，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個，則十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的有共5個，所以的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.16.已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點為，當?shù)拿娣e最大時，三棱錐的外接球表面積為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，如下圖所示：當?shù)拿娣e最大時，即取得最大值，可得，由對稱性可知，可得；又因為為的中點，所以，又，由勾股定理可知棱兩兩垂直，所以三棱錐的外接球半徑為，可得該外接球的表面積，故答案為：.四?解答題17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，且，求的面積.解：（1），由題意得，，解得.（2）方法一：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，，，的面積.方法二：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，，解得，，，∴，的面積.18.已知數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，，兩式相減，得，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，的通項公式為.（2），則，，則，，又，.19.如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：過點作的垂線，垂足為，連接，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，不妨設，，在直角三角形中，，，，平面，平面，，在三棱臺中，，；（2）解：方法一：空間向量法以為原點，分別為軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，由（1）得，過點作的垂線，垂足為，連接，，，，，，設平面的法向量，，令，得，平行于軸，取的方向向量，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.方法二：幾何法，直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設為，由（1）得平面，平面，平面平面，過點作的垂線，垂足為，連接，則平面，，在中，，由（1）得平面，平面，，在中，，由，得，，直線與平面所成角的正弦值為.20.已知定義在上的函數(shù).（1）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，證明：.（1）解：，為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，恒成立，即恒成立，令，則，在上單調(diào)遞減，，，即實數(shù)的取值范圍為；（2）證明：只需證明：當時，恒成立，即證當時，恒成立，令，則，令，則，當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，即當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，即當時，，當時，，當時，，即當時，.21.已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.（1）若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（2）若規(guī)定試驗者乙至多可進行輪試驗（若第輪不成功，也停止試驗），記乙在第輪使得試驗成功的概率為，則乙能試驗成功的概率為，證明：.（1）解：由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個白球，兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學期望.（2）證明：當時，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.22.已知動點到直線的距離與它到定點的距離之比為，記點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）記與軸的上?下半軸的交點依次為，若為上異于的一點，且直線分別交直線于兩點，直線交于點（異于）.（i）求直線的斜率之積；（ii）證明：直線恒過定點.（1）解：設，則，整理得，化簡得，的方程為.（2）（i）解：易知，不妨設，且直線的斜率分別為，則，又在上，，，即直線的斜率之積為.（ii）證明：不妨設直線的方程為，令，解得，同理，設直線的方程為，即，令，解得，由，可求得直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去可得，解得，（方法一）根據(jù)對稱性，直線所過的定點在軸上，不妨設該定點為，，整理得直線過定點.（方法二），且，顯然有，且直線的斜率為，直線的方程為，整理得，即，即，直線過定點.廣東省深圳市南山區(qū)2024屆高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一?單項選擇題1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】或，故或=.故選：B2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.4 D.5【答案】D【解析】根據(jù)題意由可得，可得，所以.故選：D3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，對稱軸，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴上單調(diào)遞增，且，∴且，即且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.4.已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，將兩邊平方可得；可得，可得；設與的夾角為，則，所以.故選：C5.龍洗作為我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故得其名.龍洗的盆體可近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑盆底直徑盆內(nèi)倒?jié)M水，若不考慮盆體厚度，則盆內(nèi)水的體積近似為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題，，，高，.故選：B.6.已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】變形為，故直線過定點，的圓心為，半徑為3，則當⊥時，取得最小值，最小值為.故選：C7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得函數(shù)的最小正周期，∴，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且，則且，即，又，則取，解得，則實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8.已知實數(shù)滿足，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】，，且，令函數(shù)，因為其定義域為，且，且在上均單調(diào)遞增，則為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且，，即，顯然.故選：A.二?多項選擇題9.下列命題中，為真命題的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，利用基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即A正確；對于B，對于，，當且僅當時，等號成立；即命題不成立，即B錯誤；對于C，易知對于，，當且僅當時，等號成立，即C錯誤；對于D，易知當時，，即，所以D正確.故選：AD10.已知甲?乙兩組樣本數(shù)據(jù)分別為和，則下列結(jié)論正確的為（）A.甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定相等B.甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.甲組樣本數(shù)據(jù)的極差可能會大于乙組樣本數(shù)據(jù)的極差D.甲組樣本數(shù)據(jù)的方差一定不大于乙組樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】B【解析】對于A選項：若甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，且5個數(shù)據(jù)由小到大排列為：時；那么乙組樣本數(shù)據(jù)的大小排列為：，此時乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故用反例法證明了A選項錯誤對于B選項：甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……①甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)……②①②式相等，故B選項正確.對于C選項：設分三種情況討論：情況一：變化只改變了最大值，即……③由不等式性質(zhì)對上式變形有：……④④說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況二：變化只改變了最小值，即……⑤對⑤式利用不等式變形有：……⑥⑥說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；情況三：變化改變了最大值與最小值，即……⑦；……⑧對⑦利用不等式變形有：……⑨⑧⑨有：……⑩⑩說明：甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差；綜上所述：只能得到甲組樣本數(shù)據(jù)的極差乙組樣本數(shù)據(jù)的極差，故C錯誤.對于D選項：設甲組數(shù)據(jù)的分別為；那么乙組數(shù)據(jù)的分別為；此時有；故D選項錯誤.綜上所述應選B.故選：B.11.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于、兩點（其中），與的準線交于點，若，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.為中點【答案】BD【解析】對于A選項，因為拋物線的焦點，則，可得，A錯；對于B選項，如下圖所示：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，由A選項可知拋物線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，不妨設，由圖可知，，則，所以，，解得，則，所以，，B對；對于C選項，由B選項可知，，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，，，則，C錯；對于D選項，因為，則為的中點，D對.故選：BD.12.已知數(shù)列的首項不為零，前項和為，若，則下列結(jié)論正確的為（）A.不可能為常數(shù)列B.C.當時，為等差數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則的公比唯一【答案】ABD【解析】對于選項A，若為常數(shù)列，則，且，所以，即由，所以，顯然為常數(shù)，則為常數(shù)，矛盾，所以不可能為常數(shù)列，故選項A正確；對于選項B，當時，，即，所以，所以，故選項B正確；對于選項C，因為，所以，所以，所以，整理得①，當時，由①得，所以，所以，或，所以不一定為等差數(shù)列，故選項C錯誤；對于選項D，當為等比數(shù)列時，，設的公比為，則，由①得，整理得②，（i）當時，②顯然不成立；（ii）當時，由②得；（iii）當時，由②得，因為是常數(shù)，所以為常數(shù)列，所以，與矛盾，故若為等比數(shù)列，則的公比，即的公比唯一，故選項D正確，故選：ABD.三?填空題13.若雙曲線的焦點在軸上，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】若雙曲線的焦點在軸上，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知，則________．【答案】【解析】因為，所以，得，則，因為，，所以，故答案為：．15.著名數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》中曾談到：任何一個大于1的整數(shù)要么是質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積，例如.已知，且均為質(zhì)數(shù)，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且，則的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為__________.【答案】【解析】，可得，若從中任選2個構(gòu)成兩位數(shù)，且數(shù)，且，則有共6個，則十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的有共5個，所以的十位數(shù)字與個位數(shù)字不相等的概率為.故答案為：.16.已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點為，當?shù)拿娣e最大時，三棱錐的外接球表面積為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，如下圖所示：當?shù)拿娣e最大時，即取得最大值，可得，由對稱性可知，可得；又因為為的中點，所以，又，由勾股定理可知棱兩兩垂直，所以三棱錐的外接球半徑為，可得該外接球的表面積，故答案為：.四?解答題17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，且，求的面積.解：（1），由題意得，，解得.（2）方法一：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，，，的面積.方法二：，由（1）可知，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，，解得，，，∴，的面積.18.已知數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，，兩式相減，得，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，的通項公式為.（2），則，，則，，又，.19.如圖，在三棱臺中，平面平面，且，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：過點作的垂線，垂足為，連接，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，不妨設，，在直角三角形中，，，，平面，平面，，在三棱臺中，，；（2）解：方法一：空間向量法以為原點，分別為軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，由（1）得，過點作的垂線，垂足為，連接，，，，，，設平面的法向量，，令，得，平行于軸，取的方向向量，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.方法二：幾何法，直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設為，由（1）得平面，平面，平面平面，過點作的垂線，垂足為，連接，則平面，，在中，，由（1）得平面，平面，，在中，，由，得，，直線與平面所成角的正弦值為.20.已知定義在上的函數(shù).（1）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，證明：.（1）解：，為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，恒成立，即恒成立，令，則，在上單調(diào)遞減，，，即實數(shù)的取值范圍為；（2）證明：只