2024屆河南省南陽地區(qū)高三上學(xué)期期末熱身摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽地區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末熱身摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.下列向量中，與向量共線的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】與向量共線的向量需滿足.故選：C.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．故選：D.3.現(xiàn)有一個圓臺形的杯子，杯口的內(nèi)徑為，杯底的內(nèi)徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當(dāng)杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，杯底面積為，杯口面積為，又溶液高度為.當(dāng)杯中盛滿溶液時，溶液的體積．故選：A.4.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.5.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)時，，則，所以在上的值域?yàn)椋蔬x：B6.已知是曲線與直線相鄰的三個交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，不妨設(shè)，可知的最小正周期，的周期與的周期相等，所以，解得．故選:A.7.已知，C是拋物線上的三個點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時，等號成立，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在上單調(diào)遞減．由，得，則，得，所以，得，所以原不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù) C. D.【答案】ACD【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故A正確，B錯誤．因?yàn)?，所以，故C正確．，故D正確．故選：ACD10.在數(shù)列中，，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.當(dāng)時，單調(diào)遞增 D.數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值為【答案】BC【解析】由，可得，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，A錯誤，B正確．當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，C正確．因?yàn)?，由C知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為，D錯誤．故選：BC.11.某公司成立了甲、乙、丙三個科研小組，針對某技術(shù)難題同時進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克該技術(shù)難題的小組都會獲得獎勵．已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，且三個小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)，則（）A.該技術(shù)難題被攻克的概率為：B.在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個小組獲得獎勵的概率為C.在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為D.在該技術(shù)難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個小組各自攻克該技術(shù)難題分別為事件A，B，C，對于A項(xiàng)，記該技術(shù)難題被攻克事件M，則，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，記恰有一個小組獲得獎勵為事件R，則．由A項(xiàng)知，記技術(shù)難題被攻克為事件M，則，在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個小組受到獎勵的概率為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，記恰有兩個小組獲得獎勵為事件N，則．在該技術(shù)難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率為，這兩個小組是甲和乙的概率為，這兩個小組是甲和丙的概率為，故D項(xiàng)正確．故選：BD.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點(diǎn)到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因?yàn)?，所以與平面不垂直，則A錯誤．設(shè)異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是，則C正確．分別棱上取點(diǎn)M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數(shù)據(jù)可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.若復(fù)數(shù)，則__________【答案】【解析】因?yàn)?，所以．故答案為?14.已知一組數(shù)據(jù)1，3，9，5，7，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．【答案】【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的方差為，所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．故答案為：.15.設(shè)的小數(shù)部分為，則__________.【答案】7【解析】因?yàn)?，所以的整?shù)部分為3，則，即，所以，故.故答案為：716.已知函數(shù)存在兩個異號的零點(diǎn)，則k的取值范圍是___________．【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)函數(shù)令，令，得．當(dāng)時，，則，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，解得．當(dāng)時，，則．如圖所示，又因?yàn)榈膱D象過定點(diǎn)，所以依題意可得．故答案為：.四、解答題17.在數(shù)列中，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由，即，可知數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.在梯形ABCD中，．（1）求AC；（2）若，求的值．解：（1）在中，由正弦定理，即，得，解得；（2）由，得，因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理，得，即?，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求，因?yàn)?，所以?.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）證明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD．（2）解：過點(diǎn)P作，OP交AD于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，OE與BC交于點(diǎn)E．在中，，則，．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的法向量為，則，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一個法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值為．20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，則由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．（2）由題意可得．當(dāng)時，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕獾茫?dāng)時，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．21.甲袋中裝有3個紅球，3個白球，乙袋中裝有1個紅球，2個白球，兩個袋子均不透明，所有的小球除顏色外完全相同．先從甲袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色后放入乙袋，再將乙袋中的小球混勻后從乙袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色．設(shè)隨機(jī)變量X表示在甲袋中抽取出的紅球個數(shù)，Y表示在乙袋中抽取出的紅球個數(shù)，Z表示在甲、乙兩個袋中共抽取出的紅球個數(shù)，（1）求概率；（2）求Z的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)閄的取值可能為0，1，2，3，，，所以．（2）當(dāng)時，或；當(dāng)時，或或；當(dāng)時，或或或；當(dāng)時，或或．所以Z的取值可能為0，1，2，3，4，5，6．；；；；；；．所以Z的分布列為Z0123456P所以．22.已知離心率為的雙曲線的虛軸長為2．（1）求C的方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線l（斜率不為0）與C交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，若Q為圓上的動點(diǎn)，求的最小值.解：（1）依題意可得解得，故C的方程為．（2）設(shè)l的方程為，設(shè)，聯(lián)立得，則．直線，直線，聯(lián)立與，得，解得，故點(diǎn)P在定直線上．因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為3，所以的最小值為．河南省南陽地區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末熱身摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.下列向量中，與向量共線的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】與向量共線的向量需滿足.故選：C.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．故選：D.3.現(xiàn)有一個圓臺形的杯子，杯口的內(nèi)徑為，杯底的內(nèi)徑為，杯中盛滿溶液時溶液的高度為，當(dāng)杯中盛滿溶液時，杯中溶液的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，杯底面積為，杯口面積為，又溶液高度為.當(dāng)杯中盛滿溶液時，溶液的體積．故選：A.4.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.5.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)時，，則，所以在上的值域?yàn)椋蔬x：B6.已知是曲線與直線相鄰的三個交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，不妨設(shè)，可知的最小正周期，的周期與的周期相等，所以，解得．故選:A.7.已知，C是拋物線上的三個點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時，等號成立，所以的最小值為．故選：B.8.已知函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，即在上單調(diào)遞減．由，得，則，得，所以，得，所以原不等式的解集為.故選：D.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù) C. D.【答案】ACD【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故A正確，B錯誤．因?yàn)椋裕蔆正確．，故D正確．故選：ACD10.在數(shù)列中，，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.當(dāng)時，單調(diào)遞增 D.數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值為【答案】BC【解析】由，可得，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，A錯誤，B正確．當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，C正確．因?yàn)?，由C知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最小值為，D錯誤．故選：BC.11.某公司成立了甲、乙、丙三個科研小組，針對某技術(shù)難題同時進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克該技術(shù)難題的小組都會獲得獎勵．已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，且三個小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)，則（）A.該技術(shù)難題被攻克的概率為：B.在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個小組獲得獎勵的概率為C.在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為D.在該技術(shù)難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個小組各自攻克該技術(shù)難題分別為事件A，B，C，對于A項(xiàng)，記該技術(shù)難題被攻克事件M，則，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，記恰有一個小組獲得獎勵為事件R，則．由A項(xiàng)知，記技術(shù)難題被攻克為事件M，則，在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個小組受到獎勵的概率為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，記恰有兩個小組獲得獎勵為事件N，則．在該技術(shù)難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率為，這兩個小組是甲和乙的概率為，這兩個小組是甲和丙的概率為，故D項(xiàng)正確．故選：BD.12.如圖，在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點(diǎn)到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長為【答案】BCD【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因?yàn)椋耘c平面不垂直，則A錯誤．設(shè)異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是，則C正確．分別棱上取點(diǎn)M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數(shù)據(jù)可得，則平面截正方體所得圖形的周長為，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.若復(fù)數(shù)，則__________【答案】【解析】因?yàn)?，所以．故答案為?14.已知一組數(shù)據(jù)1，3，9，5，7，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．【答案】【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的方差為，所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．故答案為：.15.設(shè)的小數(shù)部分為，則__________.【答案】7【解析】因?yàn)?，所以的整?shù)部分為3，則，即，所以，故.故答案為：716.已知函數(shù)存在兩個異號的零點(diǎn)，則k的取值范圍是___________．【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)函數(shù)令，令，得．當(dāng)時，，則，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，解得．當(dāng)時，，則．如圖所示，又因?yàn)榈膱D象過定點(diǎn)，所以依題意可得．故答案為：.四、解答題17.在數(shù)列中，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由，即，可知數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.在梯形ABCD中，．（1）求AC；（2）若，求的值．解：（1）在中，由正弦定理，即，得，解得；（2）由，得，因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理，得，即?，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求，因?yàn)?，所以?.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）證明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)椋矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD．（2）解：過點(diǎn)P作，OP交AD于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，OE與BC交于點(diǎn)E．在中，，則，．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的法向量為，則，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一個法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夾角的