2024屆山東省德州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.設(shè)集合，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，則或，由，則，即，故，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)，則，所以.故選：A.3.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù):甲組:;乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)，第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則（）A.60 B.65 C.70 D.71【答案】D【解析】由，則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為31，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為n，即，第50百分位數(shù)即中位數(shù)，則乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，于是，解得，所以.故選：D4.設(shè)點是直線上的動點，過點引圓的切線，（切點為），則當(dāng)取最大值時，（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】若取最大值，則亦取最大，又與圓相切，故，故，由，故需取最小，又點是直線上的動點，故最小為點到直線的距離，由可得，故，即.故選：B.5.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能和吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用．如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（）A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克【答案】C【解析】設(shè)該正棱臺為，其中上底面為，取對角面，如圖所示，可得四邊形為等腰梯形，因為上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，且，，分別過點作，垂足分別為，可得，由等腰梯形的幾何性質(zhì)，可得,又因為，所以，所以，所以，所以，即棱臺的高為，所以該米斗的體積為，所以該米斗所盛大米的質(zhì)量為千克.故選：C.6.已知函數(shù)，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是減函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，得，因為對任意恒成立，所以對任意恒成立，即，令，則，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A.7.設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象，函數(shù)的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若選B，則，此時，此時不為整數(shù)，排除B項；若選C，則，此時，此時，排除C項.故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，取的中點，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長為2的等邊三角形，所以，過點作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題9.下列四個表述中，正確的是（）A.設(shè)有一個回歸直線方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位B.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高C.在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大D.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，則之間的線性相關(guān)程度越高【答案】BC【解析】A選項，因為＝3－5x，所以變量x增加一個單位時，y平均減少5個單位，故A錯誤；B選項，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動越小，即模型的擬合精度越高，故B正確；C選項，觀測值越大則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大，故C正確；D選項，越接近于1，則之間的線性相關(guān)程度越高，故D錯誤.故選：BC.10.在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.點到的距離為 B.面與面的距離為C.直線與平面所成的角為 D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】以為原點，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，，，所以點到的距離，故A正確；對于B，，，，設(shè)分別為平面、平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點到平面的距離即為所求，，所以點到平面的距離為，故B正確；對于C，，，設(shè)為平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為平面的一個法向量為，，所以點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AB.11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作雙曲線的切線交軸于點，交軸于點，則（）A.平面上點的最小值為B.直線的方程為C.過點作，垂足為，則（為坐標(biāo)原點）D.四邊形面積的最小值為4【答案】ABD【解析】對于A，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，化簡整理得，解得，可得直線的方程為，即，故B正確；對于C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點，則垂直平分，即，為的中點，又是中點，所以，故C錯誤；對于D，由直線的方程為，令，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為4，故D項正確.故選：ABD..12.已知定義域為的函數(shù)滿足．?dāng)?shù)列的首項為1，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】，．取可得，由，令，得．，，，，故A正確；設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故，故B正確．由，得，即，所以，，即，因為函數(shù)定義域為，所以，有，即，下證數(shù)列單調(diào)遞減，即證，即證，即證，即證，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．因為，，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，所以，，故C錯誤，D正確．故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題13.在的二項展開式中任取一項，則該項系數(shù)為有理數(shù)的概率為____________．【答案】【解析】的二項展開式共有7項，通項為：，其中，要使項系數(shù)為有理數(shù)，則為偶數(shù)，即時，項系數(shù)為有理數(shù)，則相應(yīng)概率為：.故答案為：.14.已知平行四邊形中，，若，則____________．【答案】【解析】由圖，可得，又，，則，又注意到，，代入，可得，化簡即得：，由平面向量基本定理，可得.故答案為：.15.若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則____________．【答案】【解析】設(shè)，其中點為C，坐標(biāo)為.將A，B兩點代入拋物線方程，有，兩式相減可得：，設(shè)，則，因，則.又，則.又準(zhǔn)線方程為，過A，B兩點分別做準(zhǔn)線垂線，垂足為，則由拋物線定義，可得.故.故答案為：.16.已知函數(shù)，若，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】因為，有，即，所以，故令，則所以在單調(diào)遞減，因為，所以，兩邊取對數(shù)得：，即，令，則，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以的最小值為，故.故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和滿足關(guān)系式．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，，由，則當(dāng)時，有，則，故，當(dāng)時，有，故，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，故，則，則，.18.在中，，且．（1）求的大小；（2）若為邊上一點，且，求．解：（1）由得，又即又（2）如圖，由及正弦定理得，得，即，即，由已知，（或由，得）中，由余弦定理得，中，由正弦定理得：，19.如圖，在四棱臺中,底面是邊長為2的菱形，，，點分別為的中點．（1）證明：直線面；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：如圖，設(shè)與相交于點，連接，分別中點，且，又且，且，∴四邊形為平行四邊形，，又面面直線面；（2）解：因為為中點，所以，連接，則且，四邊形為平行四邊形，，等邊中，，，從而，因為平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，由，可取，設(shè)平面的法向量為，由，可取，所以，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．20.已知橢圓方程的離心率為，且過焦點垂直于軸的弦長為1，左頂點為，定點，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點．（1）求橢圓方程；（2）試探究是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．解：（1）由已知：，即，即，在中，令，解得，所以，即，，橢圓方程為：；（2）由題意設(shè)，，，即，，又，直線的方程：，令得：，同理，，為定值.21.某市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排．原來天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號召，準(zhǔn)備每天在騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種方式出行．從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．（1）設(shè)表示事件“在第天，王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率．①求；②用表示；（2）依據(jù)值，闡述說明王先生的這種隨機選擇出行方式是否積極響應(yīng)市政府的號召．解：（1）設(shè)硬幣正面向上的枚數(shù)為，則，，；①；②設(shè)表示第天選擇騎自行車出行，表示第天選擇騎自行車出行，則，綜上，．（2）由（1）可知：，又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，即，，王先生每天騎自行車的概率大于開車的概率，王先生的這種隨機選擇出行方式積極響應(yīng)了市政府的號召．22.已知常數(shù)，函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，且，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，在區(qū)間上，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，當(dāng)，此時不存在極值點，因而要使得有兩個極值點，必有，又由，可得，令，是的兩個根，此時，由（1）易知，分別是的極小值點和極大值點，而，令，由且知當(dāng)時，，當(dāng)時，，記，，（ⅰ）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時，，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，符合題意，故當(dāng)時，，綜上所述，滿足條件的的取值范圍為．山東省德州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.設(shè)集合，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，則或，由，則，即，故，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)，則，所以.故選：A.3.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù):甲組:;乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)，第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則（）A.60 B.65 C.70 D.71【答案】D【解析】由，則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為31，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為n，即，第50百分位數(shù)即中位數(shù)，則乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，于是，解得，所以.故選：D4.設(shè)點是直線上的動點，過點引圓的切線，（切點為），則當(dāng)取最大值時，（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】若取最大值，則亦取最大，又與圓相切，故，故，由，故需取最小，又點是直線上的動點，故最小為點到直線的距離，由可得，故，即.故選：B.5.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能和吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用．如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（）A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克【答案】C【解析】設(shè)該正棱臺為，其中上底面為，取對角面，如圖所示，可得四邊形為等腰梯形，因為上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，且，，分別過點作，垂足分別為，可得，由等腰梯形的幾何性質(zhì)，可得,又因為，所以，所以，所以，所以，即棱臺的高為，所以該米斗的體積為，所以該米斗所盛大米的質(zhì)量為千克.故選：C.6.已知函數(shù)，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是減函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，得，因為對任意恒成立，所以對任意恒成立，即，令，則，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A.7.設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象，函數(shù)的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若選B，則，此時，此時不為整數(shù)，排除B項；若選C，則，此時，此時，排除C項.故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，取的中點，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長為2的等邊三角形，所以，過點作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題9.下列四個表述中，正確的是（）A.設(shè)有一個回歸直線方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位B.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高C.在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大D.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，則之間的線性相關(guān)程度越高【答案】BC【解析】A選項，因為＝3－5x，所以變量x增加一個單位時，y平均減少5個單位，故A錯誤；B選項，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明波動越小，即模型的擬合精度越高，故B正確；C選項，觀測值越大則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大，故C正確；D選項，越接近于1，則之間的線性相關(guān)程度越高，故D錯誤.故選：BC.10.在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.點到的距離為 B.面與面的距離為C.直線與平面所成的角為 D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】以為原點，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，，，所以點到的距離，故A正確；對于B，，，，設(shè)分別為平面、平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點到平面的距離即為所求，，所以點到平面的距離為，故B正確；對于C，，，設(shè)為平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為平面的一個法向量為，，所以點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AB.11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作雙曲線的切線交軸于點，交軸于點，則（）A.平面上點的最小值為B.直線的方程為C.過點作，垂足為，則（為坐標(biāo)原點）D.四邊形面積的最小值為4【答案】ABD【解析】對于A，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，化簡整理得，解得，可得直線的方程為，即，故B正確；對于C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點，則垂直平分，即，為的中點，又是中點，所以，故C錯誤；對于D，由直線的方程為，令，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為4，故D項正確.故選：ABD..12.已知定義域為的函數(shù)滿足．?dāng)?shù)列的首項為1，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】，．取可得，由，令，得．，，，，故A正確；設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故，故B正確．由，得，即，所以，，即，因為函數(shù)定義域為，所以，有，即，下證數(shù)列單調(diào)遞減，即證，即證，即證，即證，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．因為，，所以，即數(shù)列單調(diào)遞減，所以，，故C錯誤，D正確．故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題13.在的二項展開式中任取一項，則該項系數(shù)為有理數(shù)的概率為____________．【答案】【解析】的二項展開式共有7項，通項為：，其中，要使項系數(shù)為有理數(shù)，則為偶數(shù)，即時，項系數(shù)為有理數(shù)，則相應(yīng)概率為：.故答案為：.14.已知平行四邊形中，，若，則____________．【答案】【解析】由圖，可得，又，，則，又注意到，，代入，可得，化簡即得：，由平面向量基本定理，可得.故答案為：.15.若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則____________．【答案】【解析】設(shè)，其中點為C，坐標(biāo)為.將A，B兩點代入拋物線方程，有，兩式相減可得：，設(shè)，則，因，則.又，則.又準(zhǔn)線方程為，過A，B兩點分別做準(zhǔn)線垂線，垂足為，則由拋物線定義，可得.故.故答案為：.16.已知函數(shù)，若，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】因為，有，即，所以，故令，則所以在單調(diào)遞減，因為，所以，兩邊取對數(shù)得：，即，令，則，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；所以的最小值為，故.故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和滿足關(guān)系式．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，，由，則當(dāng)時，有，則，故，當(dāng)時，有，故，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，故，則，則，.18.在中，，且．（1）求的大小；（2）若為邊上一點，且，求．解：（1）由得，又即又（2）如圖，由及正弦定理得，得，即，即，由已知，（或由，得）中，由余弦定理得，中，由正弦定理得：，19.如圖，在四棱臺中,底面是邊長為2的菱形，，，點分別為的中點．（1）證明：直線面；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：如圖，設(shè)與相交于點，連接，分別中點，且，又且，且，∴四邊形為平行四邊形，，又面面直線面；（2）解：因為為中點，所以，連接，則且，四邊形為平行四邊形，，等邊中，，，從而，因為平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，由，可取，設(shè)平面的法向量為，由，可取，所以，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．20.已知