2025屆安徽省A10聯(lián)盟高三上學期11月段考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三上學期11月段考數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，則.故選：D2.若，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意得，，故復數(shù)在復平面內所對應的點為，位于第一象限，故選：.3.已知空間向量，，若，則（）A. B. C.32 D.【答案】D【解析】由可得，解得，則.故選：.4.若，則（）A. B.1 C. D.或【答案】C【解析】由題意得，，則.故選:.5.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：.6.在三角形內到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利數(shù)學家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當?shù)娜齻€內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點即為費馬點，在中，若，且，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（）A. B.C D.【答案】B【解析】設的內角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以頂點為費馬點，故點到各頂點的距離之和為，故選：.7.已知函數(shù)若方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】作出圖像，令，則方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，且，則，解得，故選：.8.已知某圓臺的側面展開圖如圖所示，其中，若此圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓臺的上、下底面圓半徑分別為，由題意得，，，解得.如圖，設圓臺的上、下底面圓心分別為，則圓臺的高為.設球的半徑為，球心到點所在的底面的距離為，則到點所在的底面的距離為，由題意得，，解得，所以球的表面積為.故選:.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】對于A，，，所以或，而，故，故正確；對于B，如圖，長方體中，，則，故B錯誤；對于C，如圖，長方體中，，則，故C錯誤；對于D，若α//β，，則，而，故，故正確.故選：AD.10.已知平面向量均為單位向量，且，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，則，故錯誤；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為，所以，所以，則，故C正確；對于D，因為，，所以在上的投影向量為，故正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)有2個零點，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，令，，則，即為偶函數(shù)，當時，，且，即函數(shù)在上單調遞增，所以關于x=1對稱，且在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，解得，故正確，故錯誤；由知，，故C錯誤；由知，，令，，即φx在上單調遞減，所以，所以，故正確.故選：.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為________.【答案】20【解析】由題意得，，當且僅當，即，時等號成立.故答案為：20.13.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則________.【答案】【解析】由題意得，，，，，所以為周期數(shù)列，所以.14.已知曲線在點處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意得，，因為，所以，則，所以，所以，解得，故.令，解得，解得，因為在區(qū)間上沒有零點，所以（），解得，因為，所以，解得，由，得，所以，因為，所以或，當時，；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，解得，因為，所以.當時，，此時的定義域為，關于原點對稱，滿足題意.綜上，（2）由題意得，，由（1）知，，易得在上單調遞增，故.，當時，，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.16.在△中，內角的對邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，且是邊的中點，求的最小值.解：（1）設△內角，、、的對邊分別是、、.∵，∴，整理得，由正弦定理得.（2）∵，且是邊的中點，∴，由余弦定理得，，則.∵，∴，由，得（當且僅當時等號成立.），∴，∴，故的最小值為.17.已知四棱錐中，°，平面平面，.點分別在線段上，且四點共面，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因為.所以為的中點.因為°，故//.因為平面，所以//平面.因為平面平面，所以//.所以//，所以為的中點.又，所以.（2）解：分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設平面的向量為，則，即令，則，于是.因為平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.則.故平面與平面所成角的余弦值為.18.已知數(shù)列的前項和分別為，其中為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的前項和；（2）在（1）的條件下，比較與0.7的大小關系，并說明理由.解：（1）當時，，則；當時，；當時，，相減得，，整理得，即，累加可得，，即，故.綜上所述，.由可知等比數(shù)列的公比不為1，則，解得，故，解得，則.由題意得，，故，，故，故（2）因為，所以，當時，因為，所以，當時，.綜上所述，.19.定義：記函數(shù)的導函數(shù)為f'x，若f'x在區(qū)間上單調遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f'x在區(qū)間上單調遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).（1）求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；（2）若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當時，.（1）證明：由題意得，，記f'x的導函數(shù)為f則，所以f'x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù).（2）解：由題意得，，則，令，則，故.令，則，故在上單調遞增，故，則，故，故實數(shù)的取值范圍為.（3）解：由題意得，.當時，，符合題意，當時，因為，則，則即證，即證，設，則，所以在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，故.故當時，，即成立.當時，由（1）知在0,+∞上單調遞增，又，所以，使得，所以，因為，所以，所以.i）當時，，即證，設，則，所以Fx在上單調遞減，所以.ii）當時，，即，即證，設，則，令，則，故在上單調遞增，則，故在上單調遞增，則，則，則在上單調遞增，故當時，.綜上，當時，.安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三上學期11月段考數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，則.故選：D2.若，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意得，，故復數(shù)在復平面內所對應的點為，位于第一象限，故選：.3.已知空間向量，，若，則（）A. B. C.32 D.【答案】D【解析】由可得，解得，則.故選：.4.若，則（）A. B.1 C. D.或【答案】C【解析】由題意得，，則.故選:.5.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：.6.在三角形內到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利數(shù)學家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當?shù)娜齻€內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點即為費馬點，在中，若，且，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（）A. B.C D.【答案】B【解析】設的內角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以頂點為費馬點，故點到各頂點的距離之和為，故選：.7.已知函數(shù)若方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】作出圖像，令，則方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，且，則，解得，故選：.8.已知某圓臺的側面展開圖如圖所示，其中，若此圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓臺的上、下底面圓半徑分別為，由題意得，，，解得.如圖，設圓臺的上、下底面圓心分別為，則圓臺的高為.設球的半徑為，球心到點所在的底面的距離為，則到點所在的底面的距離為，由題意得，，解得，所以球的表面積為.故選:.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】對于A，，，所以或，而，故，故正確；對于B，如圖，長方體中，，則，故B錯誤；對于C，如圖，長方體中，，則，故C錯誤；對于D，若α//β，，則，而，故，故正確.故選：AD.10.已知平面向量均為單位向量，且，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，則，故錯誤；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為，所以，所以，則，故C正確；對于D，因為，，所以在上的投影向量為，故正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)有2個零點，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，令，，則，即為偶函數(shù)，當時，，且，即函數(shù)在上單調遞增，所以關于x=1對稱，且在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以，解得，故正確，故錯誤；由知，，故C錯誤；由知，，令，，即φx在上單調遞減，所以，所以，故正確.故選：.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為________.【答案】20【解析】由題意得，，當且僅當，即，時等號成立.故答案為：20.13.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則________.【答案】【解析】由題意得，，，，，所以為周期數(shù)列，所以.14.已知曲線在點處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意得，，因為，所以，則，所以，所以，解得，故.令，解得，解得，因為在區(qū)間上沒有零點，所以（），解得，因為，所以，解得，由，得，所以，因為，所以或，當時，；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，解得，因為，所以.當時，，此時的定義域為，關于原點對稱，滿足題意.綜上，（2）由題意得，，由（1）知，，易得在上單調遞增，故.，當時，，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.16.在△中，內角的對邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，且是邊的中點，求的最小值.解：（1）設△內角，、、的對邊分別是、、.∵，∴，整理得，由正弦定理得.（2）∵，且是邊的中點，∴，由余弦定理得，，則.∵，∴，由，得（當且僅當時等號成立.），∴，∴，故的最小值為.17.已知四棱錐中，°，平面平面，.點分別在線段上，且四點共面，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因為.所以為的中點.因為°，故//.因為平面，所以//平面.因為平面平面，所以//.所以//，所以為的中點.又，所以.（2）解：分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設平面的向量為，則，即令，則，于是.因為平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.則.故平面與平