【初中競賽資料】初三數(shù)學競賽班講義35講（學生版）

初三數(shù)學競賽班講義

、高次根式及根式方程

二、因式分解（高級復習）

三、分式

四、一元二次方程判別式及其應用

五、一元二次方程韋達定理及其應用

六、一元二次方程整數(shù)根問題（復習）

七、高次方程

八、二元二次方程組與二元對稱方程組

九、不等式綜合

十、函數(shù)的性質（復習鞏固）

十一、二次函數(shù)初步

十二、函數(shù)最值問題

十三、三角函數(shù)

十四、解直角三角形

十五、面積問題與面積方法

十六、直線型幾何

十七、圓的基本性質

十八、兩圓的位置關系

十九、共圓點問題

二十、圓綜合題

二十一、點共線與線共點

二十二、平幾定值問題

二十三、平兒最值問題

二十四、平幾著名定理

二十五、三角形中的巧合點

二十六、數(shù)論（一）

二十七、數(shù)論（二）

二十八、組合

二十九、反證法

三十、解題思想方法

三十一、數(shù)學建模初步

三十二、應用題

三十三、測試題

三十四、聯(lián)賽試卷講解（一）

三十五、聯(lián)賽試卷講解（二）

一、高次根式及根式方程

未知數(shù)含在根號下的方程叫作無理方程（或根式方程），這是數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一些特殊形式的方

程中的一種.解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解,在變形時要注意根據(jù)方程的

結構特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、設輔助元素法、利用比例

性質法等.本講將通過例題來說明這些方法的運用.

例1解方程

V3x-3+V5x-19-V2x+8=0.

例2解方程

4X2+2XV3X2+X+X-9=0.

例3解方程

-Vx+Jx+2+2Vx2+2x=4-2x.

例4解方程

瓜+力-1+&-2=g(x+y+z)?

例5解方程

x+/、=2、反

&-1

例6解方程

73X2-2X+9+73X2-2X-4=13.①

例7解方程

V2x2-1+Vx2-3x-2=J2x」+2x+3+Vx2-x+2.

例8解方程

42+x=1-Jx+1.

例9解方程

J,x+2a-Jx_-2a=x

Jx-2a+Jx+2a2a

練習

1.填空：

(1)方程(父+石X)?+7x2-5=0的根是.

⑵方程Jx?-X+2-2收-27T=3的所有根的和為

(3)方程,限T5+用？-辰玉的根是

(4)若方程后二7有兩個不相等的實根，則p的取值范圍是

(5)若則方程Ja-m+x=x的所有實根之和等于

2.解方程

7x2+5x-6+73X2-8x+5=3x-3.

3.解方程

2(x+Vx2-1)=(x-1+Vx+I)2?

4.解方程

+6x+2-7x2+x+2=x.

5.解方程

7x2-1+7x2+4x+3=J3x2+4x

6.解關于x的方程

x+Jl2axVa+1

----------------=---------

x-J12—xVa―1

7.化簡759+3072+J66-40匹

8,化簡V10+7V2+V10-7V2

9已知，1<aV3化簡J/+1+2j2>-2+Ja+1

10.一知x=刎歷+1）-^4（V5-1）,求為3+12%的值

V35+x+V26-x=l

11.解方程:

12.若好3+2亞，夕=3-2也已知a°+6°是一個正整數(shù)，求它的末尾數(shù)字

13.解方程x=+

二、因式分解（高級復習）

1.提公因式法

2.公式法

3.十字相乘法

4.分組分解法

5.雙十字相乘法

因式分解的方法《

6.換元法

7.主元法

8.拆添項法

9.求根法、因式定理法

10.待定系數(shù)法

下面重點復習一些進階的方法

1.運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式,現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式,例

如：

(l)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a'±2ab+b=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a~-ab+bJ);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補充幾個常用的公式：

⑸a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a:i+b3+c:t-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-,+an-2b+an_3b2+-+abn_2+bn_l)X+n為正整數(shù);

(8)an-bn=(a+b)(an'-an2b+an3b2—+abn2-b"'),其中n為偶數(shù)；

(9)an+bn=(a+b)(an-l-a,v2b+an-3b2——abF”其中n為奇數(shù).

運用公式法分解因式時,要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇

公式.

例1分解因式：

(l)-2x5n-'yn+4x3n-1ynt2-2xn-,ynH;

⑵x3-8y3-z:l-6xyz;

(3)a~+bJ+c2-2bc+2ca-2ab;

⑷a7-a5b2+a2b5-b7.

例2分解因式：a'+b'+c。3abe.

例3分解因式：x1+xl,+xl3+,**+x2+x+l.

2.拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一

項,或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并

或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項,或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項,

前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解.

例4分解因式：x3-9x+8.

例5分解因式：

(1)x9+x6+x:-3;

(2)(m'-l)(n2-l)+4mn;

(3)(x+D'+Cx-D^Cx-l)1;

(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

3.換元法

換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體,并用一個新的字母替代這個整

體來運算,從而使運算過程簡明清晰.

例6分解因式：(x2+x+l)(X2+X+2)-12.

例7分解因式:

(x2+3x+2)(4X2+8X+3)-90.

例8分解因式:

(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

例9分解因式：6X4+7X3-36X2-7X+6.

例10分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

4.雙十字相乘法

分解二次三項式時,我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy、dx+ey+f),我們也

可以用十字相乘法分解因式.

例如I,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降鼎排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變

形為

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

可以看作是關于x的二次三項式.

對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法,分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解

2x(-lly+1)

所以

原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過程,實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起,

可得到下圖：

它表示的是下面三個關系式:

(x-2y)(2x-lly)=2x~-7xy-22y\

(x-3)(2x+l)=2xz-5x-3;

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey4-f進行因式分解的步驟是：

(D用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列.匕要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于

原式中的ey,第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

⑵x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

⑷6x'-7xy-3y'-xz+7yz-2z\

5.求根法

nn

我們把形如anx+a.-1x-4—+aIx4-afl(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式,并用

f(X),g：x),…等記號表示，如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,—,

當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0;

f(-2)=(-2)z-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)二0成立,則多項式f(x)有一個因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式

f(x),要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式札經(jīng)

常用下面的定理來判定它是否有有理根.

定理2

若既約分數(shù)目是整系數(shù)多項式

p

n

f(x)=aox+a/n-1+ajK^+'--+a^x+an

的根,則必有p是?的約數(shù),q是a0的約數(shù).特別地,當出二1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an

的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理,用求多項式的根來確定多項式的一次因式,從而對多項式進行因式分解.

例2分解因式：xf-4x2+6x-4.

例3分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.

6.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法,應用很廣泛,這里介紹它在因式分解中的應用.

在因式分解時:一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某兒個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚

未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式

恒等的性質，兩邊對應項系數(shù)應該相等,或取多項式中原有字母的幾個特殊值,列出關于待定系數(shù)的方

程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x1+3xy+2y2+4x+5y+3.

例5分解因式:X-2X-27X2-44X+7.

練習

1.分解因式:

(1)x%+xn-gy?+；;

⑵x-

3

(3)X4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+-y2)

(4)(x5+x4+x3+x2+x+l)2-x\

2.分解因式:

(l)x:i+3x2-4;

⑵41口勺2+丫2；

(3)X3+9X2+26X+24;

(4)x-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2X-3X+1)-22X2+33X-1;

(2)X*+7X3+14X2+7X+1;

(3)(x+y)3+2xy(l-x-y)-l;

(4)(x+3)(x-l)(x+5)-20.

4.用雙十字相乘法分解因式:

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

(2)x'-xy+2x+y-3;

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

5.用求根法分解因式:

(1)X'+X2-10X-6;

(2)X'+3X-3X2-12X-4;

(3)4X'+4X-9X2-X+2.

6.用待定系數(shù)法分解因式;

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;

(2)X*+5X3+15X-9.

7.關于x,y的二次式/+7.9+〃娟-51+43》-24可分解為兩個一次因式的乘積,則m的值是

8.設px'+mx2+nx+r是X的一次式的完全立方式,求證3mr=n

9.分解因式：x5+x+l

10.分解因式：ay(b-c)+b3(c-a)+c\a-b)

11.分解因式(y-z)’+(z-x)5+(x-yf

三、分式

1.解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程.

2.解分式方程的一般步驟：

⑴在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

(2)解這個整式方程；

(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是否等于零，使最簡公分母等于零的根是原方程的

增根，必須舍去，但對于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗.

3.列分式方程解應用題和列整式方程解應用題步驟基本相同,但必須注意,要檢驗求得的解是否為

原方程的根，以及是否符合題意.

分式的有關概念和性質與分數(shù)相類似,例如,分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時

才有意義;也像分數(shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，

這?性質是分式運算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，

從而對分式進行求值.除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準確的解

答.

例1.解方程：———?-=1

x-1x+1

例2.解方程三口+*=匕2+山

x十2x+7人十3人十6

例工解方程：蕓+簽士警六陪

例4?解方程:詈指-1T4。

例5.若解分式方程2一9=±±1產(chǎn)生增根，則m的值是()

X+1X+XX

A.-1或-2B.-1或2

C.1或2D.1或-2

例7.輪船在一次航行中順流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小時;在另一次航行中，用相

同的時間，順流航行40千米,逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度

例8.m為何值時'關于x的方程七+個=未會產(chǎn)生增根？

例9.化簡分式：

222

2--a-?--+--3--a--+--2--a-----a-----5-----3--a-----4--a----5-+"2■a-8a..+5.

a+1a+2a-2a-3

例10.求分式

1124gl6

------+-------+-------5-+------T-+------不-------fT-

1-a1+a1+a1+a1+a1+a6

當a=2時的值.

c

------------+-------------的值

例11.若abc=l,求ab+a+1bc+b+1ca+c+1

例12化簡分式:

111

x?+3x+2x'+5x+6x2+7x-12

例13化簡計算（式中a,b,c兩兩不相等）：

2a-b-c2b-c-a2c-a-b

-------------------+--------------------+--------------------

a-ab-ac*beb-ab-be+acc-ac-be+ab

例14已知：x+y+z_3a（a740,且x,y,z不全相等），求

(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)

的值

(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2

例15化簡分式:

練習

1.化簡分式：

____5_x___H-------2--x------5----------7--x------1--0---

x2+x-6x2-x-12x2-6x+8

2.計算：

111

------------------+-------------------+------------------

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)

+???+-------------1------------

(x+100)(x+101),

3.已知：

(y-z)*2+(z-x)2+(x-y)2

=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

(yz+l)(zx+1)(xy+1)

求的值.

(1+l)(y2++1)

4ab

4.已知a盧b,a盧0,b滬0,a+b戶0,x=-求

a+b

2+2ax+2b

x-2ax-2b

的值.

lxyz.八-xy+yz+zx

5.如果=求刀式乃產(chǎn)？■的值.

6.已知：----=a,-----=b,----=c,且abc井0,求x的值.

x+yx+zy+z

7.解方程：

(1)—!—+-----!------+------!-----+…-------!------=2

A+10(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)

/-、xx2x4x八

(2)+--------+--------+-------=0

1-XI+Xl+x~\+rx

8.設正實數(shù)a、b、c滿足"+爪+a="c?則代數(shù)式

1I

1+-++

JF

a+b+cp

四、一元二次方程判別式及其應用

元二次方程的根的判別式(△)是重耍的基礎知識，它不僅能用丁直接判定根的情況,而且在二次三

項式、二次不等式、二次函數(shù)等方面有著重要的應用，是初中數(shù)學中的一個重要內(nèi)容,在高中數(shù)學中

也有許多應用.熟練掌握它的各種用法,可提高解題能力和知識的綜合應用能力.

1.判定方程根的情況

例1已知方程x2-2x-m=0沒有實數(shù)根,其中m是實數(shù).試判定方程x2+2mx+m(m+l)=0有無實數(shù)根.

例2已知常數(shù)a為實數(shù)，討論關于x的方程

(a-2)'2+(-2a+l)x+a=0

的實數(shù)根的個數(shù)情況.

2.確定方程中系數(shù)的值或范圍

例3關于x的一元二次方程

有實根,其中a是實數(shù),求a—x"的值.

例4若方程

x+2(1+a)x+3a2+4ab+4b"+2=0

有實根，求a,b的值.

例5AABC的一邊長為5,另兩邊長恰是方程

2xJ-12x+m=0

的兩個根，求m的取值范圍.

3.求某些方程或方程組的解

例6求方程5x25y，8xy+2y-2x+2=0的實數(shù)解.

例7解方程組

x+?方+y=l,

7x+4&?-y=2.②

4.證明不等式，求最大值和最小值

用判別式證明不等式，常常把要證明的內(nèi)容通過韋達定理以及其他代數(shù)變形手段,放到某個一元

二次方程的系數(shù)中去.

例8滿足(x-3)2+(y-3)2=6的所有實數(shù)對(x,y)中，工的最大值

x是多少？

例9x,y為實數(shù)，且滿足y=1^,求y的最大值和最小值.

X+x+1

例10實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2,且對任何實數(shù)t,都有不等式

-V+2t^ab+bc+ca^9t2-18t+10,

4

求證：04a,b,.

練習

1.選擇：

(1)某一元二次方程根的判別式△=2m2-6m+5,此方程根的情況是[]

(A)有兩個不相等的實根

(B)有兩個相等的實根

(。沒有實根

(D)由實數(shù)m的值而定

(2)關于x的方程2kx?+(8k+l)x=-8k有兩個實根，則k的取值范圍是[]

(A)k>$(B)k>金且50

1010

(Qk=-1(D)k>-1fik^0

It)10

(3)如果關于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒有實根，那么關于x的方程(m-5)x?-2(m+2)X+DFO的

實根個數(shù)為[]

(A)2個⑻1個

(C)0個(D)不確定

⑷方程(x+l)2+(y-2)2=l的整數(shù)解有［

(A)1組(B)2組

(04組(D)無數(shù)組

⑸若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，則判別式△=b?-4ac與平方式M=(2axo+b)’的關

系是［J

(A)A>M(B)△二M

(C)A<M(D)不確定

2.填空：

(1)關于x的方程(a?-于x2-2方+2)x+l=0

恰有一個實根,則a=—.

⑵設m是不為0的整數(shù),二次方程mx2-(m-l)x+l=O有有理根，則m=—.

(3)當m=___時，二次方程(m'_2)x2_2(m+1)x+1-O

有兩個不等的實數(shù)根.

(4)p,q是正數(shù)，如果方程x2+px+q=O的兩個根之差是1,那么p=—.

⑸若x為實數(shù),且有4y、4xy+x+6=0,則使y取實數(shù)值的所有x值的范圍是

3.求方程5x2-12xy+1Oy-6x-4y+13=0的實數(shù)解.

4.解方程組

|x2+y2+3-xy-3x=0,

[x?+y2+z2-xy-yz-2zx+3=0.

22

5.已知a,b是整數(shù),x-ax+3-b=O有兩個不相等的實根,x+(6-a

)x+7-b=0有兩個相等的實根,X2-F(4-

a)x+5-b=0沒有實根,求a,b的值.

6.已知a是實數(shù)，且關于x的方程x-ax+a=O有兩個實根u,v,求證:u2+v2>2(u+v).

五、一元二次方程韋達審理及其應用

2

如果一元二次方程ax+bx+c=O(a^O)的兩根為x?x2,那么

Xi+x2=上，.這就是根與系數(shù)的關系，也稱為韋達定理.

aa

反過來,如果X1,x?滿足xt+x2=p,x,x2=q,則Xi,X2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根.一元二次方程

的韋達定理,揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系.利用這個關系,我們可以解決諸如已知一根求另一

根、求根的代數(shù)式的值、構造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學數(shù)學中的一個有用的工具.

1.已知一個根，求另一個根

利用韋達定理,我們可以通過方程的一個根,求出另一個根.

例1方程(1998x)2-1997?199例1=0的大根為a,方程x24-1998x-1999=0的小根為b,求a-b的

值.

例2設a是給定的非零實數(shù),解方程

11

x+—=

a

2.求根的代數(shù)式的值

在求根的代數(shù)式的值的問題中，要靈活運用乘法公式和代數(shù)式的恒等變形技巧.

例3已知二次方程/-3*+1=0的兩根為。，6,求：

⑴1+；(2)|a-B|；

ap

⑶a3+83;⑷a3-B3.

例4設方程4X2-2X-3-0的兩個根是J和B,求4a?+2B的值.

例5已知a,B分別是方程x'+x-lR的兩個根，求2a'sip的值.

例6設1元二次方程ax°+bx+c=O的兩個實根的和為Si,平方和為s2,立方和為s3,求as^+bs2+csl

的值.

3.與兩根之比有關的問題

例7證：如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的根之比等于常數(shù)k,則系數(shù)a,b,c必滿足:

kb2=(k4-l)2ac.

例8已知xi,x?是一元二次方程

4x2-(3m-5)x-6m"=0

的兩個蟋根，且巴=熱，求m的值.

X,2

4.求作新的二次方程

例9己知方程2X2-9X+8=0,求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一根為

原方程兩根差的平方.

例10設x2-px+q=o的兩實數(shù)根為Q,B.

(1)求以酎為兩根的一元二次方程；

(2)若以a\B3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有這樣的一元二次方程.

5.證明等式和不等式

利用韋達定理可以證明一些等式和不等式,這常常還要用判別式來配合.

例11已知實數(shù)x,y,z滿足

x=6-y,z2=xy-9,

求證：x=y.

例12若a,b,c都是實數(shù)，且

a+b+u=O,abc=l,

則a,b,c中必有一個大于g.

例13知x?x?是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個實根.

(1)是否能適當選取a的值，使得(XI-2X2)(X2-2x1)的值等于：？

⑵求使五+左的值為整數(shù)的a的值(a為整數(shù)).

練習

1.選擇：

⑴若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，則判別式△=b?-4ac與平方式M=(2axo+b)“'的關

系是[]

(A)A>M(B)△二M

(C)A=<M⑴)不確定

(2)方程x，px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根xbx2,則

P的值是

(x】+苑+1)[]

(A)l(B)-l(Q-1(D)|

(3)設X],x?是方程x?+x-3=0的兩個根，那么x；-4x；+19的值是[

]

(A)-4(B)8

?06(D)0

(4)已知方程2x2+kx-2k+l=0的兩實根的平方和為二，則k的值f「

4為[]

(A)3(B)-11

?3或-11(D)11

2填空.

《如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么,p,q滿足的關系式是.

(2)已知關丁x的一元二次方程日/十bx十c=0沒有實數(shù)根，甲由丁看錯了二次項系數(shù)，誤求得兩根

為2和4,乙由于看錯了某一項系數(shù)的符號，

誤求得兩根為-1和4,那么竺主=.

a-----------

(3)方程x??ax?a=O的根X],叼滿足關系式x；+x；+x：x；=75,則

1993+5/+9a'=_______.

(4)已知a是方程X2-5X+1=0的一個根,那么a”a-4的末位數(shù)是_____.

(5)已知方程/-Q+73泣+2、5=0的一根為直角三角形的斜邊口另一根為直角邊a,則此直隹三角

形的第三邊b=______.

3.已知a,B是方程x2-x-l=0的兩個實數(shù)根,求aB的值.

4.作一個二次方程,使它的兩個根a,B是正數(shù)，并且滿足關系式

a?6+外_31J_+1?Z

a2+支6+儼43'a62

5.如果關于x的方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根之比為4：5,方程的判別式的值為3,求a,b的值.

6.設實數(shù)s、t分別滿足19『+99s+i=0/+99r+19=0,并且s,",

求絲也里的值

7.設a、b、c、d為互不相等的正實數(shù)，且卜-犬)(〃2-戶)=1,代-2M2-/)=1

求〈J//—H

8.己知X,y均為實數(shù),且滿足外+工+戶17,/3，+92=66,求/+山，+]2),2+盯3+,4的值

9.已知一直角三角形兩直角邊的長分別為a、b(aWb)均為整數(shù)，且a+h=〃z+2,"=4〃z,求這個直角

三角形的三功長

10.已知工+y=5/2=xy+y-9,於+2y+3z

11.已知aABC的三邊a、b、c滿足：b+c=8力c=/-12。+52,試確定^ABC的形狀

5.

六、一元二次方程整數(shù)根問題(復習)

常用方法：

(1)因式分解法：有些整系數(shù)一元二次方程可用因式分解求出兩根，

再用整除知識求解即可

⑵判別式法：整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根,常用判別式為平方數(shù)或通過判

別式確定系數(shù)的變化范圍來處理

(3)利用韋達定理：由兩根之和、積的表達式中消去字母參數(shù)，將問題轉化為

整數(shù)問題,尤其多用于系數(shù)不為整數(shù)的時候

(4)變更主元法：用上述方法均不方便時,看成是關于參數(shù)的方程來處理

例1m是什么整數(shù)時，方程

(m2-l)x2-6(3m-l)x+72=0

有兩個不相等的正整數(shù)根.

例2已知關于x的方程

a'x2-(3c?-8a)x+2aJ-13a+15=0

(其中a是非負整數(shù))至少有一個整數(shù)根,求a的值.

例3設m是不為零的整數(shù),關于x的二次方程

mxz-(m-1)x4-1=0

有有理根，求m的值.

例4關于x的方程

ax2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一個整數(shù)解，旦a是整數(shù)，求a的值.

例5已知關于x的方程

x'+(a-6)x+a=0

的兩根都是整數(shù)，求a的值.

例6求所有有理數(shù)r,使得方程

rx"+(r+1)x+(r-l)=0

的所有根是整數(shù).

例7已知a是正整數(shù),且使得關于x的一元二次方程

ax2+2(2a-l)x+4(a-3)=0

至少有一個整數(shù)根，求a的值.

22

例8已知方程x+bx+c=0與x+cx+b=0各有兩個整數(shù)根xb溝和x；,x；,且X/2〉。,X；X；〉0.

(1)求證：X]<0,x2<0,x；<0,x；<0;

⑵求證:bTWcWb+l;

(3)求b,c的所有可能的值.

練習

1.填空：

則-----------的值是

⑴方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根xbx2,J1+1)儀2+1)

(2)已知k為整數(shù)，且關于x的方程

(k-l)x2-3(3k-l)x+18=0

有兩個不相同的正整數(shù)根,則k二

⑶兩個質數(shù)a,b恰好是關于x的方程x2-21x+t=0的兩個根，則E=——

(4)方程x24-px+q-0的兩個根都是正整數(shù)，并且p+q-1992,則方程較大根與較小根的比等于

(5)已知方程(a?-l)x2-2(5a+l)x+24=0有兩個不相等的負整數(shù)根,則整數(shù)a的值是

2.設m為整數(shù)，且4VmV40,又方程

(x-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0

有兩個整數(shù)根,求m的值及方程的根.

3.已知關于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0

的兩個根都是正整數(shù),求整數(shù)m的值.

222

4.求使關于x的方程ax4-ax+l-7a=0的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)a.

5.求所有的整數(shù)a,使得關于x的二次方程

ax'4-2ax4-a-9=0

至少有一個整數(shù)根.

6.當k為何整數(shù)時，關于x的方程(klk)x-(l+k)x?2=0

(1)至少有?個整數(shù)根(2)有兩個整數(shù)根

7.當m為何整數(shù)時:關于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0有整數(shù)解

8.已知關于x的方程mx2+(m+l)x+m-1=0的根為整數(shù),求實數(shù)m的值

9.已知關于x的方程ax??2（a-3）x+a-2=（）,當a為何整數(shù)時：（D方程至少有一整數(shù)根⑵方程有兩

整數(shù)根

10.關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩整數(shù)根恰好分別比方程x?+ax+b=o的兩根都大1,試

求a+b+c的值

11.是否存在整數(shù)a、b、c使得關于x的方程ax'+bx+cuO及(a+1)X，(b+l)X+C+l=0均有兩個整

數(shù)根

12.求使關于x的方程(a+l)x\G+l)x+2a3-6=()的根均為整數(shù)的所有整數(shù)a

13.已知關于x的方程x2+ax+b+l=0的兩根均為正整數(shù),求證：a2+b?為合數(shù)

14.設P是大于2的質數(shù),k為正整數(shù),若函數(shù)y=X?+px+(k+l)p-4的圖像與X軸的兩個交點的橫坐

標至少有一個為整數(shù)，求k的值

15.若m為整數(shù),且關于X的方程n?x+(m+l)x+l=()有有理根,求m的值

16.當k為何值,關于x的方程k2x2+(3k+l)x+2=0有有理根

七、高次方程

?股地,我們把次數(shù)大于2的整式方程,叫做高次方程.由兩個或兩個以上高次方程組成的方程

組,叫做高次方程組.對于一元五次以上的高次方程,是不能用簡單的算術方法來求解的.對于一元五

次以下的高次方程，也只能對其中的一些特殊形式的方程，采用〃±1判根法"、〃常數(shù)項約數(shù)法”、〃

倒數(shù)方程求根法”、〃雙二次方程及推廣形式求解法”等方法，將一元五次以下的高次方程消元、換

元、降次，轉化成一次或二次方程求解.

1.±1判根法

在一個一元高次方程中，如果各項系數(shù)之和等于零,則1是方程的根;如果偶次項系數(shù)之和等于奇

次項系數(shù)之和，則7是方程的根.求出方程的±1的根后，將原高次方程用長除法或因式分解法分別

除以(xT)或者(x+1),降低方程次數(shù)后依次求根.〃土1判根法”是解一元高次方程最簡捷、最快速

的重要方法，一?定要熟練掌握運用.

例1解方程x,+2x-9x-2x+8=0

解：觀察方程,因為各項系數(shù)之和為：1+2-9-2+8=0(注意：一定把常數(shù)項算在偶數(shù)項系數(shù)當中)，

根據(jù)歌訣〃系和零,+1根”，即原方程中可分解出因式(xT),

,?*(x'+2x-9x2-2x+8)(x-l)=xs+3x2-6x-8

觀察方程x、3x2-6x-8=0,偶次項系數(shù)之和為：3-8=-5;奇次項系數(shù)之和為：1-6=-5,根據(jù)歌訣〃偶

等奇，根T”，即方程中含有因式(x+1),(X3+3X2-6X-8)(x+l)=x2+2x-8,對一元二次方程

X2+2X-8=0有(x+4)(x-2)=0,原高次方程x*+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式為：(xT)(x+1)(x-

2)(x+4)=0,即:當(x—l)=O時，有XLI;當(x+D=O時，有X2=-1;當(x—2)=0時，有xE;當(X+4)=0

時,有x,=-4

點撥提醒：在運用〃±1判根法"解高次方程時，一定注意把“常數(shù)項”作為〃偶次項”系數(shù)計算.

2.常數(shù)項約數(shù)求根法

根據(jù)定理：〃如果整系數(shù)多項式a4+anTxi+…+&X+&可分解出因式PX-Q,即方程anx1+an遙叫

…+aix+a0=O有有理數(shù)根&(P、Q是互質整數(shù))，那么，P一定是首項系數(shù)①的約數(shù),Q一定是常數(shù)項

P

%的約數(shù)”，我們用〃常數(shù)項約數(shù)”很快找到求解方程的簡捷方法.

〃常數(shù)項約數(shù)求根法”分為兩種類型：

第一種類型：首項系數(shù)為L對首項(最高次數(shù)項)系數(shù)為1的高次方程，直接列出常數(shù)項所有約

數(shù),代入原方程逐一驗算，使方程值為零的約數(shù),就是方程的根.依次用原方程除以帶根的因式,逐次降

次,直至將高次方程降為二次或一次方程求解.

例1解方程X'+2X3-4X-5X-6=0

例2解方程3X3-2x2+9x-6=0

3.倒數(shù)方程求根法

定義：系數(shù)成首尾等距離的對稱形式的方程，叫做倒數(shù)方程.如ax'+bx3+cx2+dx+e=0,其中，a=e,

b=d或者a=-e,b=-d

性質：倒數(shù)方程有三條重要性質：

(1)倒數(shù)方程沒有零根；

(2)如果a是方程的根，則1也是方程的根；

(3)奇數(shù)次倒數(shù)方程必有一個根是T或者1,分解出因式(x+1)或(xT)后降低一個次數(shù)后的方

程仍是倒數(shù)方程.

倒數(shù)方程求解方法：

如果ax*+bx3+cx2+dx+e=0是倒數(shù)方程，由于倒數(shù)方程沒有零根，即xW0,所以,方程兩邊同除以

X?得：a(x2+-L)+b(x+l)+e=0,令x+l=y,乂?+!=y?—2,即原方程變?yōu)椋?/p>

XXX

ay2+by+(e-2a)=0,解得y值，再由x+-=y,解得x的值.

例1解方程2X*+3X3-16X2+3X+2=0

例2解方程6/-4/-3xW-4x-6=0

例3：X'+5X3+2X2+20X+16=0

4.雙二次方程及推廣形式求根法

雙二次方程有四種形式：

第一種是標準式，如：ax4bx?+c=0，此時設丫=(原方程化為含y的一元二次方程ay2+by+c=0,求

出y值在代入(之值,從而求出x之值.

第二種形式雙二次方程的推廣形式.

/IO：(ax2+bx+c)2+m(ax2+bx+c)+d=0,此時設y=(ax2+bx+c),也可轉化為含y的一元二次方程

y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y

從而求出原方程的根x之值.

第三種形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此時,方程左邊按照〃創(chuàng)造相同的多項式,換元替換”

的要求，將(x+a)(x+c);(x+b)(x+d)結合(一一般是最小數(shù)與最大數(shù)，中間數(shù)與中間數(shù)組合)，展開相乘,

創(chuàng)造相同的多項式(ax?+bx+c)或成比例的多項式m(ax、bx+c),然后設y=ax2+bx+c,將原方程轉化為含

y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，將y值代入ax'+bx+c=y求x之值.

第四種形式是(x-a)」+(x-b)的形式，此時，將〃-a"換成〃+b”或將〃-b”換成〃+a"，利用y=x+

(-〃)+(-"),消去*的三次項和一次次變成雙二次方程人+生心『+仁一巴心丫的形式求解.

2I2JC2)

例1解方程X'+3X2-10=0

例2解方程(X2-3X+2)2=9X-3X2-2

例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x?

例4解方程(x-6)'+(x-8)J16

練習

1、解方程x3-9x2+20x=0

2、解方程x4x4x+16=0

3、解方程x1-x20=0

4、解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0

5、解方程(x2+3x)(x2+3x+2)=120

6、解方程x4+5x3+2x2+5x+1=0

7、解方程x3-10x2+9x=0

8、解方程x3-3x2-6x+18=0

9、解方程5x'-21x2+4=0

10、解方程（6x27x)2-2(6x7x)3=0

11>解方程(x2-2x+3)2=4x“-8x+9

12、解方程(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=40

八、二元二次方程組與二元對稱方程組

在教科書上,我們已經(jīng)知道了二元一次方程組、三元一次方程組以及簡單的二元二次方程組的解

法.利用這些知識，可以研究一次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的圖像以及與此有關的問題.本講再介紹一

些解方程組的方法與技巧.

1.二元二次方程組

解二元二次方程組的基本途徑是〃消元”和〃降次”.

由一個二次和一個一次方程組成的二元二次方程組的一般解法是代入法，由兩個二次方程組成的

二次方程組在中學階段只研究它的幾種特殊解法.

如果兩個方程的二次項的對應系數(shù)成比例，可用加減消元法消去二次項.

例1解方程組

2x2+4xy-2x-y+2=0,①

’3x?+6xy-x+3y=0.②

例2解方程組

A/-4xy+y?+2x-y+2=0,?

x2-2xy-y2+x-2y+4=0.②

例3解方程組

3+/=5,①

2x2-3xy-2y2=0.②

例4解方程組

3x2-y2=8,①

x2+xy+y2=4.②

2.二元對稱方程組

方程中的未知數(shù)x,y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對稱方程.例如

x2-5xy+y2-3x-3y=7,

:1

-+—=9,Jx+3+Jy+3=5

xy

等都是二元對稱方程.

由二元對稱方程組成的方程組叫作二元對稱方程組.例如

x2+y2+x+y=18,

x2+xy+y2=19；

x2+3xy+/-4x-4y+3=0,

{xy+2x+2y-5=0

等都是二元對稱方程組.

我們把

x+y=a,

{xy=b

叫作基本對稱方程組.基本對稱方程組通常用代入法或韋達定理求解.

例5解方程組

x+y=5,(!)

xy=4.②

例6解方程組

x+xy+y=2+3貶,

x2+y2=6.

例7解方程組

x+y=10.②

例8解方程組

x2+2xy-10x=0,①

y2+2xy-10y=0.②

例9解方程組

(J5K+++J4y+5-6,①

練習

1.填空：

(1)方程組

2

x.2y<y=l,

2x2-4y2+x=6

的解有組.

(2)若x,y是方程組

1995x+1997y=5989,

1997x+1995y=5987

的解，則*

(3)已知3a+b+2c=3,且a+3b+2c=l,則2a+c=

(4)已知實數(shù)x,y,z滿足方程組

8x+13y+13z=154,

13x+8y+13z=154,

43x+36y+87z=846,

則xyz二.

2.解方程組：

*+3xy+y?+2x+2y=8,

(1)(2x2+2y2+3x+^=14；

x+y+xy=11,

(2)〈2o

x2y+xy2=30；

x+y-z=4,

(3)卜2+y2-z』2,

x3+y3-z3=34.

3.設a,b,c,x,y,z都是實數(shù).若

a2+b2+c2=25,

x2+y2+z2=36,

ax4-by+cz=30,

+a+b+cAAH

求一I的僅

4.已知一元二次方程

a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=0

有兩根0,1,求a：b：c.

5.(1)解方程組

x+y+z=18,

中=學=中.⑵已知二=，=3=匕救的值.

I345xyz

九、不等式綜合

絕對值不等式

14第業(yè)+小14+網(wǎng)

14T4業(yè)那I4+W

取整函數(shù)(高斯函數(shù))：不超過X的最大整數(shù)

性質一：[x]KxV[x]+l

當且僅當X為整數(shù)時取到等號

性質二：[〃+x]=〃+[x](n為整數(shù))

[x+y]>[A]+[.y]

若x之0,2。，則[x?y]W[x]?[y]

設a2b,c2d則ac+bdN；(a+〃)(c+d)

常用方法：作差法、作商法比較大