2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用直線(xiàn)的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.解：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為又直線(xiàn)斜率為，所以，又，所以，故選：C2.在正方體中，是BD的中點(diǎn)，則直線(xiàn)和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由空間向量求解異面直線(xiàn)夾角即可.以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，則，所以，，設(shè)直線(xiàn)和夾角為，所以.故選：A.3.設(shè)，則“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由兩條直線(xiàn)平行的充要條件判斷即可；解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以且，所以或.又因?yàn)椤啊背闪⒖傻谩盎颉背闪ⅲ盎颉背闪⒉荒艿玫健啊背闪ⅲ浴啊笔恰爸本€(xiàn)與直線(xiàn)平行”的充分不必要條件.故選：B.4.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），用空間向量表示，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用空間向量的運(yùn)算求解即可.∵E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)（靠近A點(diǎn)），∴.故選：C.5.已知、是橢圓長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，直線(xiàn)與斜率之積，則此橢圓的離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式以及已知條件可得出的取值范圍，再由可求得該橢圓離心率的取值范圍.設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，易知、，所以，，所以，，可得，故.故選：D.6.直線(xiàn)分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出AB，再求出點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離和最小距離，求出最大面積和最小面積即可.解：因?yàn)橹本€(xiàn)分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，所以,，所以，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為d=2+0+12所以點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為，最小距離為，所以的最大面積是；的最小面積為.故選：A.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著．書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，平面，底面是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，為直線(xiàn)CP上的動(dòng)點(diǎn)，，，若平面，則（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面垂直，則直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例關(guān)系.因?yàn)槠矫妫酌媸蔷匦?，在處建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以法向量為，設(shè)，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，則，所以，解得，則.故選：B8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線(xiàn)，其中的一種如圖所示．用過(guò)M點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線(xiàn)的一部分，已知高，底面圓的半徑為8，M為母線(xiàn)PB的中點(diǎn)，平面與底面的交線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】交于，以過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得雙曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)夾角的余弦值.設(shè)交于，以過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳A錐的高，是的中點(diǎn)，且截面垂直于底面，所以，所以，又底面圓半徑,所以，所以，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，代入，，代入解得，則雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知兩條漸近線(xiàn)所夾銳角的正切值為，雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角的余弦值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓和圓，以下結(jié)論正確的是（）A.若和只有一個(gè)公共點(diǎn)，則B.若，則和關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.若和外離，則D.若，則和內(nèi)含【正確答案】BD【分析】求兩圓圓心距與半徑和、差，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的等價(jià)條件判斷可得.圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.則兩圓圓心距.A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，兩圓內(nèi)切，和只有一個(gè)公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)圓的半徑相等，圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則和關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；C項(xiàng)，若圓和圓外離，則，即，解得，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，所以，所以?xún)蓤A內(nèi)含，故D正確.故選：BD.10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則以下正確是（）A.B.夾角的余弦值為C.共面D.點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離是【正確答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算以及夾角計(jì)算公式判斷AB，根據(jù)共面向量基本定理可得C，根據(jù)點(diǎn)線(xiàn)距離的向量法即可得D.A項(xiàng)，由，，得，則，故A正確；B項(xiàng)，因?yàn)?，，，則，夾角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)?，，則，又，所以，所以共面，故C正確；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為，故D正確．故選：ACD．11.拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線(xiàn)從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線(xiàn)上另一點(diǎn)反射后，沿直線(xiàn)射出，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.與之間的距離為4【正確答案】ABC【分析】由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，于是根據(jù)二級(jí)結(jié)論可判斷選項(xiàng)A；點(diǎn)與均在直線(xiàn)上，于是可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，可判斷選項(xiàng)C；由于與平行，所以與之間的距離，可判斷選項(xiàng)D．如圖所示，由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，，即選項(xiàng)A正確；由題意可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即選項(xiàng)B正確；由拋物線(xiàn)的定義可知，，即選項(xiàng)C正確；與平行，與之間的距離，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC本題考查拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力和作圖分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．，則方向的單位向量為，向量在向量上的投影向量為，故．13.已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為_(kāi)___________．【正確答案】2.【分析】通過(guò)向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)可得從而由可求離心率.如圖，由得又得OA是三角形的中位線(xiàn)，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線(xiàn)，得又，得．又漸近線(xiàn)OB的斜率為，所以該雙曲線(xiàn)的離心率為．本題考查平面向量結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．14.如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是__________．【正確答案】##【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，再利用空間向量將的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．連接，如圖，由題意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，則，∴向量與向量夾角為，且，設(shè)，，，則，且由題意，∴，，令，圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，即的最小值為，∴的最小值是．故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）證明：直線(xiàn)直線(xiàn)BC；（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系求證即可；（2）利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1】不妨設(shè)，則，如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，．所以，所以，所以【小問(wèn)2】解：因?yàn)?，所以．易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則16.已知雙曲線(xiàn)：的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求弦長(zhǎng).【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)弦可得直線(xiàn)方程，即可根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解.【小問(wèn)1】由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線(xiàn)方程為，所以，由可得，解得，故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2】設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則兩式子相減得：，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的方程為，即.將代入得，，則，,17.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線(xiàn)斜率的最大值．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，方法一，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解可得答案；方法二，設(shè)直線(xiàn)OQ的方程為，則當(dāng)直線(xiàn)OQ與拋物線(xiàn)相切時(shí)可得答案．【小問(wèn)1】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意，該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以該拋物線(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2】方法一：F1,0，設(shè)，則，所以，由在拋物線(xiàn)上可得，即，所以直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；綜上，直線(xiàn)OQ的斜率的最大值為；方法二：F1,0，設(shè)，則，所以，由在拋物線(xiàn)上可得，得到點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，其斜率取到最值．聯(lián)立，得，其判別式，解得，所以直線(xiàn)斜率的最大值為．18.如圖，矩形中，，，，將沿直線(xiàn)DE翻折成，若M為線(xiàn)段的點(diǎn)，滿(mǎn)足，設(shè)二面角的平面角為．（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）當(dāng)為直角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在翻折過(guò)程中（點(diǎn)不在平面內(nèi)），求線(xiàn)段長(zhǎng)取值范圍．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形得到，即可證明平面.（2）分析得為二面角的平面角，即，當(dāng)為直角時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，表示和平面的法向量，利用公式求點(diǎn)到平面的距離.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間距離公式表示的長(zhǎng)，根據(jù)可得結(jié)果.【小問(wèn)1】在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問(wèn)2】由題意得，，、為等腰直角三角形，取中點(diǎn)，連接，則，故為二面角的平面角，即.∵，∴，.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，∴點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)3】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，在翻折過(guò)程中，由題意知，二面角的平面角，，則，由（2）知，∴，又∵，∴，∴．故的取值范圍是．19.已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)垂直于，垂足為點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，在曲線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得以為直徑的圓與有除、外的公共點(diǎn)，若存在求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，．【分析】（1）根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離公式得到，可得，進(jìn)而結(jié)合離心率求解即可；（2）根據(jù)題意得到，可得點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，進(jìn)而求解；（3）設(shè)，，，且，，由結(jié)合向量可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得，再根