第8講-萬有引力綜合應(yīng)用-高一物理同步講義-原卷版

第8講萬有引力綜合應(yīng)用知識點(diǎn)碎片難度衛(wèi)星變軌及追及問題★★★☆☆宇宙速度★★★☆☆同步衛(wèi)星與近地衛(wèi)星★★★☆☆計算中心天體的質(zhì)量和密度★★★☆☆模塊一：天體運(yùn)動的一般規(guī)律1．衛(wèi)星變軌問題(1)圓軌道上的穩(wěn)定運(yùn)行圓周運(yùn)動：萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力(球心間距等于軌道半徑)(2)變軌運(yùn)行分析橢圓運(yùn)動：萬有引力提供橢圓運(yùn)動向心力(球心間距不等于軌道半徑)①當(dāng)v增大時，所需向心力增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進(jìn)入新的軌道運(yùn)行，由知其運(yùn)行速度要減小，但重力勢能、機(jī)械能均增加．②當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，向心力減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運(yùn)行時由知運(yùn)行速度將增大，但重力勢能、機(jī)械能均減少．規(guī)律總結(jié)：(1)穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度由計算．(2)衛(wèi)星繞過不同軌道上的同一點(diǎn)(切點(diǎn))時，其加速度大小關(guān)系可用比較得出．(3)衛(wèi)星在不同軌道上的運(yùn)行周期大小可以借助開普勒第三定律再結(jié)合半長軸比較得出．2．衛(wèi)星的追及和相遇問題兩天體(行星、衛(wèi)星或探測器)相遇，實際上是指兩天體相距最近．若兩環(huán)繞天體的運(yùn)動軌道在同一平面內(nèi)，則兩環(huán)繞天體與中心體在同一直線上，且位于中心天體的同側(cè)時相距最近．兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上，且位于中心天體的異側(cè)時相距最遠(yuǎn)．設(shè)衛(wèi)星1(離地球近些)與衛(wèi)星2某時刻相距最近，如果經(jīng)過時間t，兩衛(wèi)星與地心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差的整數(shù)倍，則兩衛(wèi)星又相距最近，即：；如果經(jīng)過時間，兩衛(wèi)星與地心連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差的奇數(shù)倍，則兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，即：．例1.★★☆☆☆2013年12月2日凌晨1時30分，嫦娥三號月球探測器搭載長征三號乙火箭發(fā)射升空．這是繼07年嫦娥一號、10年嫦娥二號之后，我國發(fā)射的第3顆月球探測器，也是首顆月球軟著陸探測器．嫦娥三號攜帶有一臺無人月球車，重3噸多，是我國設(shè)計最復(fù)雜的航天器．如圖所示為其飛行軌道示意圖，則下列說法正確的是()A．嫦娥三號的發(fā)射速度應(yīng)該大于11.2km/sB．嫦娥三號在環(huán)月軌道1上P點(diǎn)的加速度大于在環(huán)月軌道2上P點(diǎn)的加速度C．嫦娥三號在環(huán)月軌道2上運(yùn)行周期比在環(huán)月軌道1上運(yùn)行周期小D．嫦娥三號在下降段中一直處于完全失重狀態(tài)練1-1.★★☆☆☆發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖所示．則以下說法不正確的是()A．要將衛(wèi)星由圓軌道1送入圓軌道3，需要在橢圓軌道2的近地點(diǎn)Q和遠(yuǎn)地點(diǎn)P分別點(diǎn)火加速一次B．由于衛(wèi)星由圓軌道l送入圓軌道3被點(diǎn)火加速兩次，則衛(wèi)星在圓軌道3上正常運(yùn)行速度要大于在圓軌道l上正常運(yùn)行的速度C．衛(wèi)星在橢圓軌道2上的近地點(diǎn)Q的速度一定大于7.9km/s，而在遠(yuǎn)地點(diǎn)P的速度一定小于7.9km/sD．衛(wèi)星在橢圓軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度等于它在圓軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度練1-2.★★★☆☆如圖所示，搭載著“嫦娥二號”衛(wèi)星的長征三號丙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進(jìn)入距離月球表面100km、周期為118min的工作軌道，開始對月球進(jìn)行探測，則()A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運(yùn)動速度比月球的第一宇宙速度大B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度速度與在軌道II上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度相等C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行周期比在軌道Ⅰ上大D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時的大例2.★★★☆☆如圖所示，A為太陽系中的天王星，它繞太陽O運(yùn)行可視為做軌道半徑為R0，周期為T0的勻速圓周運(yùn)動．天文學(xué)家經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，天王星實際運(yùn)動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t0時間發(fā)生一次最大偏離，形成這種現(xiàn)象的原因是天王星外側(cè)還存在著另一顆行星B，假設(shè)行星B與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同，繞O作勻速圓周運(yùn)動，它對天王星的萬有引力導(dǎo)致了天王星軌道的偏離，由此可推測行星B的運(yùn)動軌道半徑是()A．R0 B．R0C．R0 D．R0練2-1.★★★☆☆甲，乙兩顆人造衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向做勻速圓周運(yùn)動，甲衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的，乙衛(wèi)星距離地面的高度是地球半徑的5倍．某時刻兩衛(wèi)星相距最近，問：經(jīng)過多少個乙衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的周期，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)？練2-2.★★★☆☆“行星沖日”是指當(dāng)?shù)厍蚯『眠\(yùn)行到某地外行星和太陽之間且三者排成一條直線的天文現(xiàn)象．2014年4月9日發(fā)生了火星沖日的現(xiàn)象．已知火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的方向相同，軌跡都可近似為圓，公轉(zhuǎn)軌道半徑為地球的1.5倍，以下說法正確的是()A．火星的公轉(zhuǎn)周期比地球大B．火星的運(yùn)行速度比地球大C．每年都會出現(xiàn)火星沖日現(xiàn)象D．2015年一定會出現(xiàn)火星沖日現(xiàn)象

模塊二：雙星及多星問題1．雙星模型在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近且在相互之間萬有引力作用下，繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動的行星稱為雙星．模型特點(diǎn)如圖所示為質(zhì)量分別是m1和m2的兩顆相距較近的恒星。它們間的距離為L.此雙星問題的特點(diǎn)是：(1)兩星的運(yùn)行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點(diǎn)。(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供，故兩行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力大小相等()．(3)兩星的運(yùn)動周期、角速度相同。(4)兩星的運(yùn)動半徑之和等于它們間的距離，即r1＋r2＝L.雙星問題的處理方法兩顆行星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的，有：：；：，且．于是有：(1)，，則某恒星的運(yùn)動半徑與其質(zhì)量成反比，即r1:r2=m2:m1；(2)，，則質(zhì)量之和：m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。注意：萬有引力定律表達(dá)式中的R表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L，而向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動的半徑，在題目中為r1、r2，一定要注意．2．多星模型(1)三星現(xiàn)實中三顆恒星組成的系統(tǒng)往往是兩顆質(zhì)量較大的恒星以較小的軌道半徑互相繞轉(zhuǎn)組成雙星系統(tǒng)，同時第三顆質(zhì)量較小的恒星以較大的半徑圍繞這個雙星系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)．比如北極星就是這樣的一個三星系統(tǒng)．然而在高中物理考題中，三星問題一般只研究幻想出來的等質(zhì)量的三顆恒星組成的系統(tǒng)，這種三星問題有兩種基本形式．①三顆星等間距地位于同一條直線上，外側(cè)的兩顆星繞中央星在同一軌道上運(yùn)行，故外側(cè)的兩顆星的軌道半徑、線速度大小、角速度、周期和向心加速度都相等(如圖甲所示).向心力==解得：，②三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，并都圍繞等邊三角形的中心，沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行，故三顆星的軌道、線速度大小、角速度、周期和向心加速度大小都相等(如圖乙所示).任意兩個星體之間的萬有引力F=每一顆星體受到的合力為：F1=由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑為：r=…①合力提供它們的向心力：…②聯(lián)立①②，解得：v=，a=，T=(2)四星①四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(如圖丙所示).由星體均圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動可知，星體做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r＝a由萬有引力定律和向心力公式得：G＋2Gcos45°＝m解得v＝，T＝，a＝＝②三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點(diǎn)上，另一顆位于中點(diǎn)O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)動半徑為R，外圍三顆星間距離r(如圖丁所示)中心星體受到其余三顆星體的引力大小相等，方向互成120°；根據(jù)力的合成法則，中心星體受到其他三顆星體的引力的合力為零；對圓形軌道上任意一顆星體，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：G＋2Gcos30°＝m由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑為：r＝2Rcos30°由以上兩式可得三顆星體運(yùn)動的線速度為：v＝(3)分析多星問題的步驟①要明確各星體的幾何位置，畫出示意圖；②明確各星體的轉(zhuǎn)動方式，找出各星體共同做圓周運(yùn)動的圓心位置，確定各星體運(yùn)動的軌道半徑；③受力分析，確定每顆星體向心力的來源；④抓住每顆星體做勻速圓周運(yùn)動的周期和角速度相同這一特點(diǎn)．

例3.★★★☆☆質(zhì)量不等的兩星體在相互間的萬有引力作用下，繞兩者連線上某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動，構(gòu)成雙星系統(tǒng)．由天文觀察測得其運(yùn)動周期為T，兩星體之間的距離為r，已知引力常量為G．下列說法正確的是()A．雙星系統(tǒng)的平均密度為B．O點(diǎn)離質(zhì)量較大的星體較遠(yuǎn)C．雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為D．若在D點(diǎn)放一物體，則物體受兩星體的萬有引力合力為零練3-1.★★★☆☆宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)．在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)．設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示．若，則()A．星球A的質(zhì)量一定大于星球B的質(zhì)量B．星球A的線速度一定小于星球B的線速度C．雙星間距離一定，雙星的總質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越大D．雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越大練3-2.★★★☆☆雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運(yùn)動的周期為()A．T B．T C．T D．T例4.★★★☆☆如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，星球A和B兩者中心之間距離為L．已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)．引力常數(shù)為G．(1)求兩星球做圓周運(yùn)動的周期．(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1．但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做勻速圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周T2．已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg．求T2與T1兩者平方之比．(結(jié)果保留3位小數(shù))練4-1.★★★☆☆經(jīng)長期觀測人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”，“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體．如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的某點(diǎn)O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動．已知兩顆星球之間的距離為L，質(zhì)量m1=3m，m2=2m，引力常量為G．請你算出：(1)m2的軌道半徑；(2)雙星運(yùn)動的周期．練4-2.★★★★☆神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律．天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX﹣3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v=2.7×105m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×104s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67×10﹣11N?m2/kg2，ms=2.0×1030kg)例5.★★★☆☆高中物理考慮的三星問題有兩種：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m，萬有引力常量為G．(1)試求第一種形式下，星體運(yùn)動的線速度和周期．(2)假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？練5-1.★★★☆☆有一種想象出來的三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)，三角形邊長為L．忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動，引力常量為G．下列說法正確的是()A．每顆星做圓周運(yùn)動的線速度為B．每顆星做圓周運(yùn)動的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)C．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍例6.★★★☆☆（多選）設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上．已知引力常量為G．關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動B．四顆星的軌道半徑均為C．四顆星表面的重力加速度均為GD．四顆星的周期均為

第8講作業(yè) 萬有引力綜合應(yīng)用1． 發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3．軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則()A．衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B．衛(wèi)星在軌道3上的角速度等于在軌道1上的角速度C．衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時的速率小于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時的速率D．衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度大于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時的加速度2． 假設(shè)某衛(wèi)星在距地面高度為4200km的赤道上空繞地球做勻速圓周運(yùn)動，該衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星繞地球同向運(yùn)動．已知地球半徑約為6400km，地球同步衛(wèi)星距地面高度36000km．每當(dāng)兩者相距最近時，衛(wèi)星向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送至地面接收站．從某時刻兩者相距最遠(yuǎn)開始計時，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為(不考慮信號傳輸所需時間)()A．4次 B．6次 C．7次 D．8次3． 經(jīng)長期觀測，人們在