2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圓的證明與計(jì)算 基礎(chǔ)練習(xí) （學(xué)生版+解析版）

2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓的證明與計(jì)算練習(xí)

I.如圖，A3為。。的直徑，C、尸為。。上兩點(diǎn)，且點(diǎn)。為弧身邙勺中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作Ab的垂線，交4戶

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O.

(I)求證：DE是。。的切線；

(2)如果半徑的長(zhǎng)為3,tan。.，求的長(zhǎng).

4

2.如圖，A8是2。的直徑，A。是O。的弦，。是A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE工CD交CD于E,交

。于/，NEBC=2NDAC.

(1)求訐：C/)是O的切線：

3

⑵若COSN4^'=M，。。的半徑為5,求3。的長(zhǎng).

3.如圖，中，AB=ACf。為AC上一點(diǎn)，以。。為直徑的CQ與AB相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,

FGJ.AB,垂足為G.

⑴求證：尸G是，O的切線；

(2)若BG=1,BF=3,求C/的長(zhǎng).

B

4.如圖，A3是0。的直徑，。。是0。的弦，AB工CD,垂足是點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)。作直線分別與A8,AZ)的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且NECD=2NBAD.

(1)求證：C/是。的切線；

(2)如果A8=20,CD=12,求力石的長(zhǎng).

5.如圖，在，八4c中，AB=BC,AB為:。的直徑，AC與。相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE_LBC于點(diǎn)E,

6延長(zhǎng)線交O干點(diǎn)上

⑴求證：DE為。的切線；

Q)若BE=1,BF=2,求AQ的長(zhǎng).

6.如圖，O是48。的外接圓，AQ是。的直徑,E是A。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CO,CE且NQCE=NC4O.

(1)求證：CE是，O的切線；

3

(2)若cosB=g,4。=10,求瓦)的長(zhǎng).

2

7.如圖，已知A8是O。的直徑.點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。是上一點(diǎn).連接〃￡>,過(guò)點(diǎn)B作跖垂

直于P。，交。。的延氏線于點(diǎn)C、連接A0并延長(zhǎng)，交BE于點(diǎn)E,且=

(1)求證：PD是。的切線；

4

(2)若PA=2,lanB=-f求OO半徑的長(zhǎng).

8.如圖，在6AAe中，NACB=90。，點(diǎn)。是A3上一點(diǎn)，且"(7。=4乙4,點(diǎn)。在AC上，以點(diǎn)。為圓

心的圓經(jīng)過(guò)C,。兩點(diǎn).

⑴求證：A8是。的切線；

3

(2)若sin8=w，GO的半徑為3,求AC的長(zhǎng).

9.如圖，在.A4C中，AB=AC,以A8為直徑的。分別交AC、BC于點(diǎn)、D、E.點(diǎn)尸在AC的延長(zhǎng)

線上，且NCB尸=!NC48.

(1)求證：直線8/是。的切線；

⑵若AB=3,sinZCfiF=—,求即的長(zhǎng).

B

10.如圖，在RtZWBC中/48C=90°,斜邊八C的垂直平分線交BC與。點(diǎn)，交人。與￡點(diǎn)，連接座.

(1)若既是.OEC的外接圓的切線，求/C的大??？

(2)當(dāng)八9=1,8c=2時(shí)，求.OEC外接圓的半徑.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,A。平分N84。交8c于點(diǎn)。，。為4B上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、。的0。

分別交A3、AC于點(diǎn)E、F.

(1)求證：BC是。的切線；

(2)若8E=8,4]8=得，求O的半徑;

(3府(2)的條件下，求A。的長(zhǎng).

12.如圖，4B為。。的直徑，C為B4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CO是[一。的切線,。為切點(diǎn)，。產(chǎn)人心于點(diǎn)心

交CD于點(diǎn)、F.

(1)求證：ZADC=ZAOF；

4

(2)若cosNOCB=《，BD=24,求石廠的長(zhǎng).

4

13.如圖，以A3為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，DEJ.AC,垂足為瓦

(1)在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件：,使直線QE為。。的切線，并說(shuō)明理由;

2

(2底(I)的條件下，若。E=6,lan/AOE=7,求。。的半徑.

14.如圖，A8是：。的直徑，或8_LA4于點(diǎn)E,點(diǎn)?在：。上,

(1)求證：CB〃PD,、

(2)若KC=12,BE=8,求O的半徑.

15.如圖，在ABC中，AB=AC,以AA為直徑的O交邊AC于點(diǎn)D,連接8D,過(guò)點(diǎn)。作CE〃48.

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)8作。的切線，交CE于點(diǎn)、F；(不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明

字母)

(2底(I)的條件下，求證：BD=BF;

(3府(1)的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

16.如圖，在.ABC中，48=90。，點(diǎn)。是A3邊上的一點(diǎn)且47=8.

(1)實(shí)踐與操作：以BC為直徑作?O,交AB于點(diǎn)E;

(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2月隹理與計(jì)算：在(I)的條件下，延長(zhǎng)CO交0。于點(diǎn)尸，連接CE,EF.

①求證：CE=EF；

②若BE=2EF,BD=3也,求的半徑.

17.如圖，A8C內(nèi)接于O,AB是O的直徑，點(diǎn)。在A8的延長(zhǎng)線上，且4c。=NA,點(diǎn)E為AC的

中點(diǎn)，連接0E并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(1)求證：CO是。的切線;

(2)若CO=4,tanA=-,求C尸的長(zhǎng).

18.如圖，以口ABCD的邊BC為直徑的。0交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.連結(jié)BF.過(guò)點(diǎn)E作EG1CD

于點(diǎn)G,EG是。O的切線.

(I)求證：uABCD是菱形;

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的長(zhǎng).

6

19.如圖1,AA為的直徑，。為上一點(diǎn)，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接ADCD,過(guò)點(diǎn)C作C五〃A。

交A3于點(diǎn)E,連接DE,DB.

(1)證明：DC=DE.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡若AO=狡，且AC=4C，求七廠的長(zhǎng).

20.如圖，以平行四邊形的一邊A8為直徑的圓交邊4c十點(diǎn)E,交對(duì)角線AC十點(diǎn)F,G是邊CO上

的一點(diǎn)，連接AG,且BE=DG.

(1)請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件中任選一個(gè)：,證明：直線AG是圓M的切線.

①NAG￡>=NAC8：②尸是弧AE的中點(diǎn)：③E是8c的中點(diǎn).

(2)在第(1)間的條件下，若直徑為4,連接即并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)N,47=3,求四邊形A8C。的面枳.

21.如圖，A4為。。的直徑，C為〈。上一點(diǎn)，A。與過(guò)點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)。，A。交于

點(diǎn)、E，連接CE,CB.

(1)求證：CE=CB；

(2)若AC=6,CE=2,求CO的長(zhǎng).

22.如圖，是的外接圓，人。是C。的直徑，F(xiàn)是A0延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，。尸，且

ZDCF=ZCAD.

⑴求證：C廠是o切線；

3

(2)若直徑AO=5,cos^=-,求/。的長(zhǎng).

23.如圖，/4C內(nèi)接于CO,N8=60,CO是GO的直徑，點(diǎn)P是CO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)且=AC.

(1)求證：弘是，。的切線；

⑵若人K=3+3&,RC=6,求GO的半徑.

24.如圖，點(diǎn)。在以A8為直徑的一。上，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)交GO于點(diǎn)七，作NE4P=N￡4C,

4P交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(I)求證：PB是。的切線；

(2)若AC=2,PD=6,求OO的半徑.

8

25.如圖，A8是0。的直徑，點(diǎn)。是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,3重合），連接人C,BC.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出-ACB的平分線，交CQ于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)。作，。的切線，分別交C4、C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,連接DA、DB,

若AB〃EF,AC=6,BC=8,請(qǐng)求出E尸的長(zhǎng).

2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓的證明與計(jì)算練習(xí)

I.如圖，A3為。。的直徑，C、尸為。。上兩點(diǎn)，且點(diǎn)。為弧身，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交4戶

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O.

（I）求證：OE是。。的切線；

（2）如果半徑的長(zhǎng)為3,tan。.，求的長(zhǎng).

4

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【詳解】試題分析：（1）連接。C,如圖，由弧BC二弧。/得至IJ/84ON必C,加I上NOCA=NOAC.則

ZOCA=ZMC,所以O(shè)C〃A￡,從而得到。C_LOE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

3

（2）先在RSOC。中利用正切定義計(jì)算出CD=4,再利用勾股定理計(jì)算出。0=5,則sinZ>k，然后在

RtAAQE中利用正弦的定義可求出AE的長(zhǎng).

試題解析：解：（I）連接OC，如圖.???點(diǎn)C為弧8廠的中點(diǎn)，，弧40弧CK???N84C=N加C.???OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,AZOCA=ZFAC,：.OC//AE.*：AE1DE,：.OC1DE,是。。的切線;

QQ3_________

(2)在RtZkOCO中，VtanZ)=—=^-,OC=3,ACD=4,A0D=7oC2+CD2=5,：,AD=OEH-AO=S.在

R34DE中，VsinD=—=—=：.AE=—.

點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂

直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；有切線時(shí),

常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑

2.如圖，A3是的直徑，4）是G。的弦，。是A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)4作8E_LCO交C。于E,交

0。于產(chǎn)，/EBC=2/DAC.

10

⑴求證：CO是。的切線：

3

(2)若COS/A8F=M，OO的半徑為5,求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)BC=y

【分析】

(I)連接0力，由等腰邊對(duì)等角，三角形外角定理，可得/K8C=2/D4C,卜是NDOC=/EBC,得到

BE//OD,進(jìn)而即可得證，

3

(2)由3E〃OZ),cosNOOC=cos448/二二，根據(jù)余弦定義，M求0C,進(jìn)而可求8C,

5

本題考查了，切線的判定，平行線的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】(1)解：連接。。，

"：OA=OD,

???/DAO=zlADO,

/.NDOC=ZDAO+ZADO=2ZDAO,

NEBC=2/DAC,

???NDOC=NEBC,

:?BE〃OD,

■:BE1CD,

???（〃）_LC/J,

...8是。。的切線,

(2)解：由(1)得BE〃OD,

，4DOC=NFBA,

VOD1CD,

3

???cosZ.DOC=cosNABF=j,

.3日口5325

.,文二7即：文=“解得：℃=§'

???BC=0C-0B=—-5=—,

33

故答案為：4C=與.

3.如圖，A3C中，AB=AC,Q為4C上一點(diǎn)，以CD為直徑的CO與A〃相切于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,

FG1AB,垂足為G.

⑴求證：尸G是，。的切線；

（2）若BG=1,BF=3,求CF的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵殍

【分析】（1）連接?！辍Ｊ?，設(shè)NODF=4OFD=B,"FC=a,根據(jù)已知條件以及直徑所對(duì)的圓周角

相等，證明90。，進(jìn)而求得——即可證明尸G是。的切線；

（2）根據(jù)已知條件結(jié)合（I）的結(jié)論可得四邊形GEO尸是正方形，進(jìn)而求得。C的長(zhǎng)，根據(jù)

ZBFG=NFDC=0,sin,即可求解.

【詳解】（I）如圖，連接。尸，。尸，

OF=OD,

則NODF=N。肛

,設(shè)ZODF=4OFD=。，4）FC=a,

12

D

OF=OC,

"OFC=￡OCF=a,

DC為、O的直徑，

AZDFC=90°,

/DFO+OFC=Z.DFC=90°,

即a+尸=90。，

AB=AC,

.?."=ZACB=a,

?/FG±AB,

ZGFB=90°-ZB=90°-?=/7.

ZDFB=ZDFC=90°,

:"DFG=90。-NGFB=90°-。=a,

，GFO=GFD+DFO=a+/=90。,

?.OF為OO的半徑，

.：FG是OO的切線；

(2)如圖，連接OE,

AB是。的切線，則又OFtFG,FG工AB,

???四邊形GEO產(chǎn)是矩形，

OE=OF,

???四邊形GEO廠是正方形,

/.GF=OF=-DC

2t

在中，BG=1,8F=3,

FG=dBF'-GB?=2x/2，

DC=4y[i，

由(1)可得NBFG=NFDC=尸,

FGIA^DFIFC,

.?.疝6=0=生

BFDC

1二FC

解得?。=逑.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定.TF方形的性質(zhì)與判定.等腰二角形的性質(zhì).正弦的定義,掌握切

線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AA是1。的直徑，C。是（O的弦，ABA.CD,垂足是點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)C作直線分別與AB,A/）的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,且NECD=2NBAD.

⑴求證：。尸是。的切線;

(2)如果AB=20,6=12,求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接OC,BC,利用圓周角定理，垂徑定理，同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和圓的

切線的判定定理解答即可；

（2）利用勾股定理在RtOC〃中求出OH=8,同理求出8。=2而，八。=6屈，利用切線的性質(zhì)及勾

14

股定理建立等式解答即可.

【詳解】（I）證明：連接0C、BC,如圖所示:

是。的直徑，

/.Z4CB=9(F,AO=OB,

ABIC。，

.：,45平分弦。。，A3平分C。，

:.CH=HD,CB=DB，4cHA==4CHE,

4AD=NBAC=/DCB,

4ECD=2/BAD,

:.乙ECD=24BAD=2NBCD,

/ECD=NECB+/BCD,

/RCE=NBCD,

;.4CE=/BAC,

OC=OA,

:./BAC=ZOCA,

:.乙ECB=4OCA,

ZACB=90°=ZOC4+ZOCB,

..乙ECB+NOCB=90°,

???半徑CO_LR7,

.?.er是oo的切線；

(2)解：A8=20,8=12,

在(1)的結(jié)論中有AO=O8=10,CH=HD=6,

在Rt.OC”中，OH=>1OC2-CH2=71O2-62=8^則AH=OA—O"=10-8=2,

在中，BC=>JCH2+BH2=2710?

在RLACH中，HA=OA+OH=8+10=18,貝U"卅+C/T=6加,

HE=BH+BE,

???在RtAECH中，EC2=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

a7是，。的切線，

^OCB=90°f

在RtAECO中，EC2=OE2-OC~=(OB+BE)1-102=(10+BE)2-IO2,

.\（10+fiE）2-102=624-（2+BF）2,

解得8E=5,

545

/.AE=AB+BE=20+-=—.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是連接經(jīng)過(guò)切

點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線.

5.如圖，在,A3C中，AB=BC,AB為。的直徑，AC與。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)D作DEJ.BC于點(diǎn)E,

C8延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)F.

⑴求證：DE為。的切線；

（2）若BE=1,BF=2,求人。的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；

⑵2G.

【分析】（1）根據(jù)已知條件證得。。即可得到結(jié)論；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)。作0HJ.8/于點(diǎn)〃，則NODE=NDEH=NOHE=90。,構(gòu)建矩形根據(jù)矩形

的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?.?04=。/）,

:.^BAC=ZODA,

16

AB=BC,

:.^BAC=ZACB,

/ODA=ZACB,

:.ODBC.

DEJ-BC,

:.DE±ODt

OD是CO的半徑,

:.DE是（O的切線;

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作?！盻L86于點(diǎn)〃，則NODE=NDEH=NOHE=90。,

四邊形（九花〃是矩形,

:.OD=EH,OH=DE,

OHLBF,BF=2,

：.BH=FH=-BF=\,

2

;.0D=EH=BH+BE=2,

.?..48=28=4，OHZOB^-BH?=5

：.DE=OH=岳,

BD=\IDE2+BE?=2,

/.AD=>lAB2-BD2=V42-22=2G-

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì).解題的

關(guān)鍵：（1）熟練掌握切線的判定；（2）利用勾股定理和垂徑定理求長(zhǎng)度.

6.如圖，是A8C的外接圓，4。是CQ的直徑,E是AO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CO,CEZDCE=ZCAD.

B,

A

O

EC

⑴求證：CK是，。的切線;

(2)若cos2?=—,AD=10,求ED的長(zhǎng).

【答案】（I）證明見解析

釁

【分析】（I）根據(jù)切線的判定，連接。C,證明出OC_L”1即可，利用直徑所得的圓周角為直角可得答案；

33CD

（2）由cosB=5,根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得cos乙4OC=?=W，繼而證明△氐:￡>△E4C,

55AD

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案.

??,4)是【。的直徑,

???/ACD=90。.

,ZC47)+ZA7)C=90o,

VZDCE=ZC4D,ZADC=ZOCD,

???/DCE+NOCD=90。,

NOCE=W,

JOC1EC,

???CE是，O的切線；

(2)解：???/3與-ADC所對(duì)的弧都是AC，

???NB=ZADC,

3

*.*cosB=-,

18

3CD

：.cosZADC=-=—,

5AD

VAD=10,

：.CD=6,

工由勾股定理得AC=7102-62=8，

VZE=ZE,

???AECD-△E4C,

.ECEDCD3

??百一百一就一屋

設(shè)EC=4x,EO=3x,

在Rt.OCE中，OE=3x+5.OC=5,EC=4x,

根據(jù)勾股定理可得：OC、EC2=OE2,

即：52+(4x『=(3x+5『，

30

解得：X=y,

.八一,3090

..DE=3x=3x—=—.

77

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)，

掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提.

7.如圖，已知A8是4Q的直徑.點(diǎn)P在84的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。是。上一點(diǎn).連接尸。，過(guò)點(diǎn)8作3￡垂

直于PO,交P3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。、連接A。并延長(zhǎng)，交HE于點(diǎn)E,且AB=BE

(1)求證：PD是。的切線；

4

(2)若PA=2,tan/?=-,求。。半徑的長(zhǎng).

【答案】(1)見詳解

(2)3

【分析】（I）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出。?！?。石，再根據(jù)垂線、平行線的性質(zhì)得出

ODLCD,由切線的判定方法即可得出結(jié)論：

（2）在直角三角形OOP中由銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，

?"OAO=NOM

AR=RR,

:.4AE=/BEA,

:.ZODA=ZBEA,

：.OD〃BE,

BC±CD,

:.ODA.CD,

?！辏臼?。的半徑，

二.PD是OO的切線：

（2）解：由（1）可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在Rt.POQ中，tanZPOZ）=tanB=-,即無(wú)=§，

設(shè)PD=4x,則OD=3x,

：.OP=ylPD2+Ob2=5x?

PA=2=5x—3x,

解得x=l,

,-.OD=3x=3,

即半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考杳切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系,

圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵.

20

8.如圖，在A/C'44,ZAC8=90。，點(diǎn)。是AA上一點(diǎn)，且N5CO=一乙4,點(diǎn)。在8c'上，以點(diǎn)。為圓

2

心的圓經(jīng)過(guò)C,。兩點(diǎn).

(I)求證：人8是。的切線；

3

(2)若sinB=1,GO的半徑為3,求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形.熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵.

(I)連接。力，根據(jù)圓周角定理，得到N4OO=2N4C￡>=N4,進(jìn)而得到N4+NA=N3+N6O￡)=90。，

即可得出A3是OO的切線；

(2)解直角三角形。。8,求出。B的長(zhǎng)，進(jìn)而求出8C的長(zhǎng)，再解直角三角形AC8,求出AC的長(zhǎng)即可.

【詳解】(I)證明：直線A8與。O相切，理由如下：

連接OO,則：/BOD=2/BCD,

A

VZBCD=-ZA,即：2ZBCD=ZA,

2

:?/BOD=ZA,

「Z4CB=90°,

I.zlB±zlBOD=ZB+zL4=90°,

???NODB=90。,

：.ODLAB,

???o。為OO的半徑，

工直線AB是的切線；

3

(2)解：VZODB=90Q,sin5=-,。的半徑為3,

/.OD=(JC=3,sinli=,

OB5

：.0B=5,

???BC=0B+0C=8,

???ZACB=90°,

..aAC3

??sinB==一,

AB5

設(shè)AC=3x,AB=5x,

則：BC=\lAB2-AC2=4X=8?

：.x=2t

AC=3x=6.

9.如圖，在ABC中，AB=AC,以AB為直徑的分別交4?、BC于點(diǎn)D、E.點(diǎn)尸在AC的延長(zhǎng)線

上，且/C8尸二,NC4B.

2

A

BF

⑴求證：直線3廠是O的切線；

⑵若AB=3,sinZCBF=^y,求班'的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握各種性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

(I)連接人E,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直

角，從而證明結(jié)論；

(2)作CG_L3/于點(diǎn)G,利用已知條件證明AGC^ABF,利用比例式求出線段長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：連接AE,

A8是O的直徑，

/.ZA￡B=90°,

:.NEAB+NERA=9(r,

22

AB=AC,

/.ZE4B=ZE4C,

/CBF=L/CAB,

2

:"CBF=/EAB,

NCBF+/EBA=90P,

即NAB尸=90。，

「?直線?是”的切線；

(2)解：作CG_L4/「于點(diǎn)G,

在RtAAB石中，sinZEAB=sin^CBF=—

5

,EB_x/5

「?----=----,

AB5

AB=3,

；.BEW

5

BC=2BE=—,

5

在RiBCG中,sinZCBF=—=—,

BC5

BC=還，

5

/.CG=1,

CG//AB,

GFCG

——=——,

BFAB

BG=ylBC2-CG2=—,

5

GF=BF-BG=BF-—,

5

CG=§,AB=3,

5

BF5

解得4"=4.

D

oC

10.如圖，在RtaA3c中N4BC=90。，斜邊AC的垂直平分線交BC與。點(diǎn)，交AC與E點(diǎn),連接5E.

（1）若隨是,。氏?的外接圓的切線，求NC的大小？

（2）當(dāng)A4=l,8c=2時(shí)，求.OEC外接圓的半徑.

【答案】（1）30。

⑵i

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，；

（I）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)判斷出圓心。，連接根據(jù)廢是＜。的切線可得NMO+NBO￡=9（）。,

最后結(jié)合直角三角形斜邊上中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)勾股定理求得AC=火,進(jìn)而證明得出獸=空，進(jìn)而計(jì)算求解即可.

DCEC

【詳解】（I）解：OE垂直平分AC,

ZD￡T=90°,

；.DC為.。瓦;外接圓的直徑,

.??。。的中點(diǎn)。即為圓心.

連接

8E是圓。的切線,

???ZZiBO+ZZ?OE=9(r,

24

在中石是斜邊八C的中點(diǎn),

BE=EC,

二.ZEBC=ZC,

又；/BOE=2/C,

???ZC+2ZC=90°,

「?ZC=30°.

（2）在RtZ\A8C中AC=NAB?+心=石，

???EC=-AC=—,

22

ZABC=ZDEC=90°,

???4ABCs/\DEC,

：.——AC=——BC,

DCEC

/.DC=-,

4

力EC外接圓半徑為

o

11.如圖，在RlZiABC中，ZC=90°,A。平分NBA。交8c于點(diǎn)。，。為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、。的O。

分別交A3、AC于點(diǎn)￡、F.

(1)求證：BC是。的切線；

(2)若3七=8,sinB=^,求0。的半徑;

⑶在(2)的條件下，求入。的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)5

⑶但基

13

【分析】(1)先判斷出OD〃AC',得出NO/M=9U。，即可得出結(jié)論;

（2）由銳角二角函數(shù)可得s】n8=岑二不組工二工，即可求解;

BOBE+C）D13

AnAp

（3）由銳角三角函數(shù)可求"的長(zhǎng)’通過(guò)證明△D48SAE4?！傻靡?而’可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。,

圖1

則。4=0。，

ZODA=NOAD，

4/）是N8AC的平分線,

ZOAD=ZCAD,

ZODA=ZCAD,

OD//AC,

NOD8=NC=90°,

點(diǎn)。在。上,

BC是，。的切線.

(2)解：VZ^D0=90°,

BOBE+OD13

：.OD=5,

???O的半徑為5；

圖2

TAE是直徑,

26

.,.ZAF￡=90°=ZACB,

???EF〃BC,

，ZA￡F=4,

又,：ZAEF=ZADF,

:,ZB=ZADF,

又「ZOAD=ZCAD,

/.ADABsAFAD,

.ADAF

??=,

ABAD

,AD2=AI3AF.

??,8E=8,OE=AO=5,

A8=18,4E=10,

A.p5

VsinB=sinZ^EF=—=—,

AE13

.“50

..AF=—,

13

?.?AD=1.O8x—5()=-9-0--0-,

1313

.4n30屈

??AD=--------.

13

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，切線的判定，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

12.如圖，A/3為的直徑，C為胡延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，C。是的切線，。為切點(diǎn)，OP_L/1D于點(diǎn)E,

交CD于點(diǎn)F.

4

(2)若cos/OCB=《，80=24,求放的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析

(2)3

【分析】(I)連接。。，得到NODC=90。，結(jié)合408=90。求得NAOC=NOOA,然后利用OD=OB得

到NOQ8=NOBO,從而得到4Z)C=NOB。，再利用O尸_L/W得到O/〃9。，從而ZA"'=NOa)，最后

得證結(jié)果；

（2）根據(jù)三角形的中位線定理得到。七=12,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到麻的長(zhǎng)度.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，則8=08,

C。是(O的切線，A4是。。的直徑,

:.Z0DC=ZADB=9()0,

.\ZADC=ZODB,

ZADC=NOBD,

又.OFLAD,

.?.NOE4=ZADB=90°,

/.OF//BD,

:&OF=4OBD,

:.^ADC=ZAOF；

(2)解：OF//BD,OA=OB,

,AEAO

??-----=------=It,

DEOB

:,AE=DE,

.?.OE是△A8O的中位線，

：.OE=-BD=-x24=\2,

22

CD4

cosZDCB=—=-,

OC5

設(shè)CD=4x,OC=5x,

OD=\IOC2-CD2=3A-，

;.0R=3x,

CB=OC+OB—8x,

???OF//BD,

:.△COFs^CBD,

OCOF

...——=——,

BCBD

28

.Sr

..-=-O--F.

8x24

:.0F=15,

:.EF=OF-OE=\5-\2=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、解直角三角形，三角形的中位線定理、相似

三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，以48為直徑的。。交8c于點(diǎn)。，DE1AC,垂足為E.

(1)在不添加新的點(diǎn)和線的前提下，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件：，使直線OE為。。的切線，并說(shuō)明理由;

2

(2府(1)的條件下，若DE=6,tanZADE=-,求。。的半徑.

【答案】(1)增加條件：AB=AC,見解析

【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法,

屬于中考常考題型.

⑴添加條件：AB=AC(答案不唯一).證明OD〃AC,推出0。工力E即可；

(2)解直角三角形分別求出A￡,EC,再證明得出A4=AC=13,進(jìn)而可得答案.

【詳解】(1)增加條件：AB=AC.

證羽：連接。。，

〈AB為O的直徑，

ZAD^=90°,

；AB=AC,ZADB=90°,

??.BD=CD,

VAO=BO,BD=CD,

on//AC,

又???〃￡_￡AC,

ZODE=ZDEC=9(F,

即O01OE,

???o。為半徑，

二?DE為O的切線；

2

(2)在RSAOE中，DE=6,tanZADE=j,

2

AE=DEtanZADE=6x—=4,

3

*/ZA￡>B=ZADC=90°,

Z4DE+ZEDC=90°,

'：DEJLAC,

/.ZD￡C=90°.

ZEZ)C+ZC=90o,

4C=ZADE,

DEDE6c

?'?tanZCtanZ.ADE2，

3

AC=A￡+EC=4+9=13,

又?：NC=N4DE,ZADE=ZABD,

4C=ZABD,

.?.AB=AC=\3,

13

.?.AO=OB=—

2f

13

即O的半徑為

14.如圖，A/3是OO的直徑，弦C7)_LAA于點(diǎn)七，點(diǎn)P在G。上，NPBC=NC.

(1)求證：CB〃PD：

30

(2)若9C=12,BE=8,求。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

(2)9

【分析】本題主要考查了勾股定理，同弧所對(duì)■的圓周角相等，平行線的判定：

(I)根據(jù)同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得NP=NC,再由條件NP8C=/C可得NP=NP4C,然后

可得CB〃PD:

(2)設(shè)OC=O8=x,則OE=OB-8E=(x-8),利用勾股定理建立方程Y=12?-82,解方程即

可得到答案.

【詳解】(1)證明：VZP=ZC,NPBC=/C,

NP=NPBC,

:,CB〃PD；

(2)解：如圖所示，連接8,

設(shè)OC=O8=x,則OE=OB-3E=(x-8),

在Rtz^COE中：由勾股定理得。爐=。。2一。爐,

在RtZXCBE中：由勾股定理得CE'BCJB爐，

/.X2-(X-8)2=122-8\

解得x=9

???CO的半徑為9.

15.如圖，在X8C中，AB=AC,以AB為直徑的。O交邊AC于點(diǎn)。，連接80,過(guò)點(diǎn)。作CE〃A8.

⑴請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖；過(guò)點(diǎn)U作。的切線，交CE于點(diǎn)八(不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明

字母)

(2)在(1)的條件下，求證：BD=BF；

(3府(1)的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

【答案】(1)畫圖見解析

(2)證明見解析

(3)00的半徑為5.

【分析】(I)根據(jù)尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)8作人4的垂線，交CE于點(diǎn)產(chǎn)，即可求解；

(2)根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，證明=根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等

腰三角形的性質(zhì)得出=進(jìn)而證明BC哈BCF(AAS),即可得證.

(3)由(2)得:BD=BF=6,CD=CF=2,設(shè)A8=AC=2r,再利用勾股定理可得⑵+6]=(2"，

再解方程即可.

【詳解】(1)解：方法不唯一，如圖所示.

(2)AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

又???CE〃A8,

JZABC=/BCF,

???NBCF=ZACB.

???點(diǎn)。在以A3為直徑的圓上,

J2403=90。，

???ZBZ)C=90°.

又???斯為co的切線，

???ZABF=90°.

9：CE//AB,

32

???ZBFC+ZABF=180°,

???ZBFC=90°,

???/BDC=/BFC.

???在△BCD和△6b中，

NBCD=NBCF、

<NBDC=/BFC,

BC=BC,

A.BCD^BCF(AAS).

,BD=BF.

(3)由(2)得：BD=BF=6,

VRtBFC,

：.CD=CF=2,

設(shè)A8=AC=2r,

***AD=2r—2，

VZADB=90°,

A(2r-2)2+62=(2r)2,

解得：r=5,

?1。。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾

股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在A8C中，Z4CB=90°,點(diǎn)。是A8邊上的一點(diǎn)且AC=C"

--------------

(1)實(shí)踐與操作：以8C為直徑作O,交AB于點(diǎn)E；

(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2灘理與計(jì)算：在(1)的條件下，延長(zhǎng)。。交G。于點(diǎn)尸，連接CE,EF.

①求證：CE=EF；

②若BE=2EF,8。=3石，求0。的半徑.

【答案】(1)見解析:

(2)?見解析；②10.

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

(I)作線段8。的垂直平分線，垂足為。，以。為圓心，08為半徑作QO即可；

(2)①證明NECF=NJ/。即可；

②證明4E=2￡C,EC=2DE,設(shè)=再利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示：

(2)①證明：3C是直徑，

/.ZC￡B=90°,

.?.CEJLAO,

?.CA=CD,

:.^ACE=ZECD.

ZACB=90°,

;4CE+NECB=90。,/EC8+N'8=90°,

ZAC￡=ZB,

/斤=N8,

ZECF=ZF,

:.CE=EF；

②解：;CE=EF,BE=2EF,

;.BE=2CE,

Ir)F

/.tanZB=tanZECD=-=—,

2EC

設(shè)?！?x,則EC=2x,EB=41,

BD=3x=3小，

/..v=75,

;.EC=2后,BE=44,

CB=JEC?+EB?=J(2石f+(4后c=[(),

34

。的半徑為5.

17.如圖，4?C內(nèi)接于O,是。的直徑，點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上，且N8C￡>=NA,點(diǎn)七為4c的

中點(diǎn)，連接0E并延長(zhǎng)與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(1)求證：C。是。的切線；

(2)若8=4,tanA=g,求CP的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】(I)根據(jù)A8是。的直徑，可得4CB=90。，由OA=OC得NA=NACO,結(jié)合已知條件，根據(jù)

可得NBCD+NOCB=90。,即可得證；

(2)證明△DC8SZXD4C,得出三二蕓=笠，根據(jù)tanA=；,可得丁二^,從而求得D8的長(zhǎng)，進(jìn)

ADDCAC2AC2

而求得0。的長(zhǎng)，由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理以及NAC3=90。，證明O尸〃AC,根據(jù)平行線分線

段成比例即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

:.ZA=ZACO,

/BCD=ZA,

/.^BCD=ZACO

人區(qū)是。的直徑，

.-.ZAC?=90°,

ZACO4-ZOCfi=90°,

/.ZBCD+ZOCB=90°,

即ZOC￡>=90°,

。。是半徑，

。。是〔。的切線：

(2)ZBCD二ZA,ZD=ZD,

???4cBs4DAC，

.CDDBCB

AD-DC-AC，

A田8

lanA=—1,可-r得1,

2AC，

4DB1

/.——=——=-，

AD42

.\AD=S,DB=2,

/.0B=^AB=^^AD-BD)=3,

?點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

??.OF_LAC,

又ZACB=90°,

OF//BC,

DCBDnn42

CFOBCF3

:.CF=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理的推論，相似三角形的性質(zhì)與判定，

正切，平行線分線段成比例，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，以。ABCD的邊BC為直徑的OO交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.連結(jié)BF.過(guò)點(diǎn)E作EG1CD

于點(diǎn)G,EG是。O的切線.

(I)求證：uABCD是菱形；

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的長(zhǎng).

36

【答案】（I）見解析：（2）3

【分析】（1）如圖，連接0E,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OEJ_EG,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE〃CD〃AB,

推出AB=BC,于是得到結(jié)論；

（2）如圖，連接BD,由（1）得，CE：AC=1：2,得到點(diǎn)E是AC