2011年高考數學試卷（理）（廣東）（解析卷）

第頁|共頁試卷類型：A2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數學（理科）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。注意事項：答卷前，考生務必用黑色自己的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、和考生號、試室號、座位號，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無效。作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。考生必須保持答題卡得整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式 V=Sh其中S為柱體的底面積，h為柱體的高線性回歸方程中系數計算公式其中表示樣本均值。N是正整數，則…）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設復數滿足，其中為虛數單位，則=A．B.C.Ｄ．2．已知集合

∣為實數，且，為實數，且，則的元素個數為Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．33.若向量ａ，ｂ，ｃ滿足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，則Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．04.設函數和分別是Ｒ上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是Ａ．是偶函數Ｂ．是奇函數Ｃ．是偶函數Ｄ．是奇函數5.在平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定。若為上的動點，點的坐標為，則的最大值為A．B．C．4D．36.甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要在贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為A．B．C．D．7.如圖1－3，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A.B.C.D.8.設S是整數集Z的非空子集，如果有，則稱S關于數的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恒成立的是A.中至少有一個關于乘法是封閉的B.中至多有一個關于乘法是封閉的C.中有且只有一個關于乘法是封閉的D.中每一個關于乘法都是封閉的填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。(一）必做題（9-13題）9.不等式的解集是.10.的展開式中，的系數是（用數字作答）11.等差數列前9項的和等于前4項的和.若，則k=____________.12.函數在x=____________處取得極小值。13.某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_____cm.選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標系與參數方程選做題）已知兩面線參數方程分別為和，它們的交點坐標為___________.15.（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點使得=5，∠=∠,則=。解答題。本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟。（本小題滿分12分）已知函數求的值；設求的值.17.為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；當產品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時,該產品為優(yōu)等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量；從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列極其均值（即數學期望）。18.(本小題滿分13分)如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點.(1)證明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小題滿分14分)設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切。（1）求圓C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點M，且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標.20.（本小題共14分）設b>0,數列滿足a1=b，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數n，21.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L:.實數p，q滿足，x1，x2是方程的兩根，記。（1）過點作L的切線教y軸于點B.證明：對線段AB上任一點Q(p，q)有（2）設M(a，b)是定點，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0.過M(a，b)作L的兩條切線，切點分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明：M(a,b)X;（3）設D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.當點(p,q)取遍D時，求的最小值（記為）和最大值（記為）.2011年廣東高考理科數學參考答案一、選擇題題號12345678答案BCDACDBA二、填空題９.； 10.84； 11.10； 12.2； 13.185；14.； 15.；三、解答題16．解：(1);(2)，，又，，，，又，，.17．解：（1）乙廠生產的產品總數為；（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產的優(yōu)等品的數量為；（3），，的分布列為012PAＳBＳCＳPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE18.解：(1)取AD的中點G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(2)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.19．解：（1）兩圓半徑都為2，設圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點的雙曲線，設方程為，則，所以軌跡L的方程為．（２）∵，僅當時，?。ⅲ剑ⅲ芍本€，聯立并整理得解得或，此時所以最大值等于2，此時．20．解（１）法一：，得，設，則，（?。┊敃r，是以為首項，為公差的等差數列，即，∴（ⅱ）當時，設，則，令，得，，知是等比數列，，又，，．法二：（?。┊敃r，是以為首項，為公差的等差數列，即，∴（ⅱ）當時，，，，猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，猜想顯然成立；②假設當時，，則，所以當時，猜想成立，由①②知，，．（２）（?。┊敃r，，故時，命題成立；（ⅱ）當時，，，，以上n個式子相加得，．故當時，命題成立；綜上（ⅰ）（ⅱ）知命題成立．21．解：（１），直線AB的方程為，即，，方程的判別式，兩根或，，，又，，得，．（２）由知點在拋物線L的下方，①當時，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點；．②當時，點在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點；．根據曲線的對稱性可知，當時，，綜上所述，（*）；由（１）知點M在直線EF上，方程的兩根或，同理點M在直線上，方程的兩根或，若，則不比、、小，，又，；又由（１）知，；，綜合（*）式，得證．（３）聯立，得交點，可知，過點作拋物線L的切線，設切點為，則，得，解得，又，即，，設，，，又，；，，．2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試【廣東卷】（理科數學）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：（每小題5分，共60分）【2011廣東理，1】1．設復數滿足，其中為虛數單位，則()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】依題意得，故選．【2011廣東理，2】2．已知集合為實數,且,為實數,且,則的元素個數為()．A．0B．1C．2D．3【答案】C．【解析】題意等價于求直線與圓的交點個數,畫大致圖像可得答案．【2011廣東理，3】3．若向量，，滿足∥且⊥，則()．A．4B．3C．2D．1【答案】D．【解析】因為∥且⊥,所以⊥，從而．【2011廣東理，4】4．設函數和分別是實數集上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()．A．是偶函數B．是奇函數C．是偶函數D．是奇函數【答案】A．【解析】依題意,故,從而是偶函數，故選A．xyO2A【2011廣東理，5】5．已知平面直角坐標系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上的動點，點的坐標為，則的最大值為()．xyO2AA．B．C．D．【答案】C．【解析】目標函數即,畫出可行域如圖所示，代入端點比較之，易得當時取得最大值,故選C．【2011廣東理，6】6．甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()．A．B．C．D．【答案】D．【解析】設甲隊獲得冠軍為事件,則包含兩種情況:(1)第一局勝;(2)第一局負但第二局勝;故所求概率,從而選D．【2011廣東理，7】7．如圖，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】該幾何體是以正視圖所在的平行四邊形為底面，高為的四棱柱，又平行四邊形的底邊長為,高為,所以面積,從而所求幾何體的體積,故選B．【2011廣東理，8】8．設是整數集的非空子集，如果，有，則稱關于數的乘法是封閉的．若是的兩個不相交的非空子集,,且,有；,有,則下列結論恒成立的是()．A．中至少有一個關于乘法是封閉的B．中至多有一個關于乘法是封閉的C．中有且只有一個關于乘法是封閉的D．中每一個關于乘法都是封閉的【答案】A．【解析】因為,故必有或,不妨設,則令,依題意對,有,從而關于乘法是封閉的;(其實到此已經可以選A了,但為了嚴謹,我們往下證明可以有一個不封閉以及可以兩個都封閉),取,則為所有負整數組成的集合,顯然封閉,但顯然是不封閉的,如;同理,若奇數，偶數，顯然兩者都封閉，從而選A．二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）【2011廣東理，9】9．不等式的解集是．【答案】．【解析】解法一:原不等式或或，解得,從而原不等式的解集為.解法二(首選):的幾何意義為到點的距離與到點的距離的差,畫出數軸易得.解法三:不等式即,平方得,解得.．【2011廣東理，10】10．的展開式中的系數是（用數字作答）．【答案】84．【解析】題意等價于求的展開式中的系數,,令得,故所求系數為．【2011廣東理，11】11．等差數列的前9項和等于前4項和，若，則．【答案】10．【解析】由得,,故．【2011廣東理，12】12．函數在處取得極小值．【答案】2．【解析】,當或時，；當時，，故當時，取得極小值．【2011廣東理，12】13．某數學老師身高176cm，他爺爺，父親，兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高是cm．【答案】185．【解析】抓住“兒子的身高與父親的身高有關”提煉數據易得平均值,于是，，從而，,，所以線性回歸方程為，當時，．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）二、填空題：（每小題5分，共25分）【2011廣東理，14】14．（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為（0≤＜和（t∈R），它們的交點坐標為．【答案】．【解析】對應普通方程為,,聯立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交點坐標為．【2011廣東理，15】15．（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別做圓的切線和割線交圓于，兩點，且，是圓上一點使得，，則．【答案】．【解析】結合弦切角定理易得,于是,代入數據解得．三、解答題：（本大題共6小題，共80分）【2011廣東理，16】16．（本小題滿分12分）已知函數．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)設，，，求的值．【解析】．(Ⅰ)；(Ⅱ)因為，所以，因為所以，又所以，，所以．【2011廣東理，17】17．（本小題滿分13分）為了解甲，乙兩廠的產品質量，采取分層抽樣的方法從甲，乙兩廠的產品中分別抽取14件和5件，測量產品中微量元素的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號123451691781661751807580777081(Ⅰ)已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；(Ⅱ)當產品中微量元素滿足且時，該產品為優(yōu)等品．用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量；(Ⅲ)從乙廠抽出的上述5件產品中，隨即抽取2件，求抽出的2件產品中優(yōu)等品數的分布列及其均值（即數學期望）．【解析】．解：(Ⅰ)乙廠生產的產品數量為件；(Ⅱ)樣本中滿足，且的產品有件,故樣本頻率為,則可估計乙廠生產的優(yōu)等品數量為件；(Ⅲ)的可能取值為,且,,．【或者】故的分布列為012的數學期望．【2011廣東理，18】18．（本小題滿分13分）如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，PB=2，，分別是，的中點．(Ⅰ)證明：⊥平面；(Ⅱ)求二面角的平面角．【解析】．(Ⅰ)取AD的中點G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(Ⅱ)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，．另解：（Ⅰ）連接，，xyzM因為是邊長為的菱形，且，xyzM是的中點，所以均為正三角形，且，所以所以，從而，取的中點，連接，因為，，所以,又，所以平面，所以，在中，因為分別是的中點，所以，所以又，所以平面.（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知為二面角的平面角,易得,,在中,,由余弦定理得所以二面角的余弦值為．解法二:先證明平面，即證明即可，在中，；在中，，所以在中，，．在中，，故為直角三角形，從而.建立空間直角坐標系如圖所示,則,所以,設平面的一個法向量為，則，從而，解得，令得顯然平面的一個法向量為，從而，所以二面角的余弦值為．【2011廣東理，19】19．（本小題滿分14分）設圓與兩圓中的一個內切，另一個外切．(Ⅰ)求圓的圓心軌跡的方程；(Ⅱ)已知點,且為上動點，求的最大值及此時點的坐標．【解析】．（Ⅰ）設圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為,半徑為2；圓的圓心為,半徑為2；依題意,有或，所以．所以圓的圓心軌跡是以原點為中心,焦點在軸上,焦距為,實軸長為的雙曲線,因此,,故軌跡的方程為.（Ⅱ）易得過點的直線的方程為,聯立方程，消去得,解得,則直線與雙曲線的交點為,因為在線段外,所以,因為在線段內,所以,若點不住上,則,綜上,的最大值為,此時點的坐標為.解析二：(Ⅰ)兩圓半徑都為2，設圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點的雙曲線，設方程為，則，所以軌跡L的方程為．(Ⅱ)∵，僅當時，?。ⅲ剑?，由知直線，聯立并整理得解得或(舍去)，此時．所以最大值等于2，此時．【2011廣東理，20】20．（本小題滿分14分）設，數列滿足,．(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)證明：對于一切正整數，．【解析】．（Ⅰ）由得,當時,,所以是以首項為,公差為的等差數列,所以,從而.當時,,所以是首項為，公比為的等比數列,所以，從而.綜上所述，數列的通項公式為（Ⅱ）當時,不等式顯然成立；當時,要證,只需證,即證(*)因為所以不等式（*）成立，從而原不等式成立；綜上所述，當時，對于一切正整數,解析二：(Ⅰ)解法一：，得，設，則，（?。┊敃r，是以為首項，為公差的等差數列，即，∴（ⅱ）當時，設，則，令，得，，知是等比數列，，又，，．解法二：（?。┊敃r，是以為首項，為公差的等差數列，即，∴（ⅱ）當時，，，，猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，猜想顯然成立；②假設當時，，則，所以當時，猜想成立，由①②知，，．(Ⅱ)（ⅰ）當