《高等幾何》習(xí)題答案

高幾習(xí)題集及參考解答

第一章仿射幾何的基本概念

1、證明線段的中點(diǎn)是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。

證明：設(shè)T為仿射變換，根據(jù)平面仿射幾何的基本定理，T可使等腰△ABC(AB=AC)與

一般△ABC相對(duì)應(yīng)，設(shè)點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則ADJ_BC,且p=y,T(D)=D'

(圖1)。???T保留簡比不變,

即(BCD)=(BCD)=-1,

???立是的中點(diǎn),因此線段中點(diǎn)是仿射不變性。

?.?在等腰ZiABC中，p=ya

設(shè)T(。)=凡T(y)=y\

但一般△ABC中，過A'的中線ATT并不平分NA，，

即與丫，一般不等,

，角平分線不是仿射不變性。

在等腰△ABC中，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，則AD升BC,

T(AABC)=△ABC(一般三角形)，D仍為BC的中點(diǎn)。

由于在一般三角形中，中線AD，并不垂直底邊BC。得下題

2、兩條直線垂直是不是仿射不變性？

答:兩直線垂直不是仿射不變性。

3、證明三角形的中線和重心是仿射不變性。

證明：設(shè)仿射變換T將△ABC變?yōu)椤鰽BC,D、E、F分別是BC、CA,AB邊的中點(diǎn)。

由于仿射變換保留簡比不變，所以D=T(D),E'=T(E),F=T(F)分別是BC,CASE

的中點(diǎn)，因此AD',BE,CF是△ABC的三條中線(圖2)。

設(shè)G是^ABC的重心，且G'=T(G)

VGeAD,由結(jié)合性得G'WA'D'；

又「(AGD)=(A'G'D')即四=畋=。

GDG'D'1

同理可得嘿"器/CFCF3

~GF~~GP~~\

.??6'是4A'BC的里心。

4、證明梯形在仿射對(duì)應(yīng)下仍為梯形。

證明：設(shè)在仿射對(duì)應(yīng)下梯形ABCD(A&CD)與四邊形ABCD相對(duì)應(yīng)，

由于仿射對(duì)應(yīng)保持平行性不變，因此A'B^C'D',所以ABCTT為梯形。

5、證明兩個(gè)全等矩形經(jīng)過仿射變換為兩個(gè)等積平行四邊形。

證明：設(shè)T為仿射變換,A歷ICDI與AzB2c2D2為兩個(gè)全等矩形,其面枳分別以SkS：。

由于T保留平行性，所以：

T(AIBICIDI)=平行四邊形A'BCQi面積記為：S'i

T(A2B2C2D2)=平行四邊形AAB，2c2D2,面積記為:S'2,

且S'尸KSi，S'2=KS2,=昱=監(jiān)=I=S：=S：

S；KS21-

???A'lB'iCiD1)與八22。2?2是等積的平行四邊形。

6、經(jīng)過A(-3,2)和B(6,1)兩點(diǎn)的吏線被比線X+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡比(ABP)

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo，yo)

..APAP](小孰1Hzl而—3+622+A,

(ABP)=——=-------=-2(分割L匕)，而:％=-------,%=-----

BPPBY1+A01+2

且P在直線x+3y-6=O上，/.I；；7)+3(鬻)-6=0

解得入=1,即P是AB中點(diǎn)，且(ABP)=-1。

7、證明直線Ax+By+C=O將兩點(diǎn)Pi(x.,y1)和P2(x2,y2)的聯(lián)線段分成

By\+C

的比是-At]+

AX2+By,+C

證明設(shè)分點(diǎn)為P(xo,yo)，則分割比入=”,

PB

_芭+迎_X+>為

(4工一1)

P(xo，yo)在直線Ax+By+C=()上,

f)+喈"=。

Axi+Byi+C+X(Ax2+By2+C)=0

圖(3)

Ax+By+C

A—111

AX2+By2+C

8、證明一直線上二線段之比是仿射不變量。

證明：若直線a上兩線段AB和CD經(jīng)仿射變換T后與直線以上的兩段

A'B，和C'D對(duì)應(yīng)圖(3)

ABBCA'13'得證

~CD~~BC'CD~~^C'CD'~~CD,y°

9、證明圖形的對(duì)稱中心是仿射不變性，圖形的對(duì)稱軸和對(duì)稱平面是不是仿射不變性？

證明：設(shè)仿射變換T將中心對(duì)稱圖形F變?yōu)閳D形F,點(diǎn)。是F的對(duì)稱中心，

A.B為圖形F上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)。

設(shè)T(O)=Of,T(A)=A'T(B)=B'(>

VT(F)=F',由結(jié)合性，點(diǎn)A,,B在圖形F上;

由簡比不變性,（ABO）=（A'B'O%

所以F是中心對(duì)稱圖形，從而圖形的對(duì)稱中心是仿射不變性。

如果點(diǎn)A、B關(guān)于直線/（平面兀）對(duì)稱，則線段AB_L/（AB±n）o

但仿射變換不保留角的度量，所以當(dāng)T（A）=A',T（B）=B',

T（7）=r（T（71）=尸）時(shí)，線段AB不一定垂直線r（平面兀）

10、在仿射坐標(biāo)系下，直線方程是一次的。

證明：設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下直線方程為：Ax+By+C=O（1）

（x,y）為笛氏坐標(biāo)，（（，y'）為仿射坐標(biāo)。

笛氏到仿射的變換式為：四％工0（2）

［），'=東+價(jià)+44A

x=ax,+ay,+a電力。

設(shè)其逆變換為:r2（）4⑶

y=bix+b2y+b0瓦b2

將（3）式代入（1）,得

A（a/A,+a2.V，+a>）1B（6*+歷），'+尻）tC=0,

即：（Aai+Bb]）V+（Aa2+Bb2）y'+Aao+Bbo+C=O,

記為：Af+By+C=O是M,y，的一次式。

其中A=Aa）+Bbi,B=Aaz+Bb?,C=Aao+Bb（）+C（）

且木月不全為0,若不然，Aa）+Bbi=O,Aa2+Bb2=0

4q

=0與，工o矛盾、

ab、

11、利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的?

（從而明確1.2定理5所指常數(shù)的意義）。

解:△AiA2A3V和△XIA\A'3的面積分別以S,S'表示,

0x+q2yl+%a2\X\+〃22>1+〃23

-n

ax+ay+a

K卬々十%必+/2]222223

anx3+ai2y3+a13aux3+a22y3+a23

0

1I=>=＞弓=。|（常數(shù)）

=-a

2>21k1222。

%HI%%

這結(jié)果與§1.2系2一致，三角形（從而多邊形或曲線形）的面積經(jīng)仿射變換后乘以

一個(gè)常數(shù)匕此地進(jìn)一步明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對(duì)值，仿射變

換式不同，這常數(shù)也不同。

12、在等腰悌形中，兩底中心，兩對(duì)角線交點(diǎn)，兩腰（所在直線）交點(diǎn)，這四點(diǎn)顯

的像點(diǎn),

???(ABC)—=2,而(ABCs)=任二1,

BCBC

???(ABC)(ABiCx)，即中心投影一般不保留共線三點(diǎn)的簡比。

2、以下面的坐標(biāo)表示的直線是怎樣的直線？

(1)(1,1-1)：(2)(1,-1,0)；(3)(0,1,0)。

解利用點(diǎn)線結(jié)合方程：U[Xi+U2X2+U3X3=O.

(1)*.*U1=1,U2=1,U3=—1,/.X1+X2-X3=0,北齊次化為：X+y—1=0.

(2)X]—X2=0或x-y=o。(3)X2=0或y=0是x軸的方程。

3、求聯(lián)接點(diǎn)(1,2,-1)與二直線(2,1,3),(1,-1,0)之交點(diǎn)的直線方程。

解先求二直線(2.1,3),(1,一1,0)的交點(diǎn)坐標(biāo)：

13322

XI：X2：X3==3:3:-3=1:1:-1

-10011-1

再求兩點(diǎn)(1,1,—1)?(1,2,-1)的聯(lián)線的坐標(biāo):

1-1-1111

U|：U2：U3==1:0:1所求直線方程為：xi+x?=0或x+l=0

2112

4、求直線(1,-1,2)與二點(diǎn)(3,4,—1),(5,—3,1)之聯(lián)線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：先求二點(diǎn)(3,4,-1),(5,—3,1)的聯(lián)線坐標(biāo):

4-i-1334

Ul：U2：U3==l:-8:-29

-31155-3

再求二直線(1,-1,2),(1,-8,-29)的交點(diǎn)坐標(biāo):

X|：X2：X3=二;邪;卜國=45:31:-7

所求交點(diǎn)坐標(biāo)為(45,31,-27)o

5、方程ULU2+2U3=0代表什么?U|2—U22=0代表什么？

解：方程川一U2+2U3=0表點(diǎn)（I,—I,2）的方程

或表示以點(diǎn)（1，-1,2）為中心的線束方程。

VU|2-U22=（U1+U2）（Ui-U2）=0,

???U|+U2=0表示點(diǎn)（1,1,0）的方程；U]—U2=0表示點(diǎn)（1,—1,0）的方程。

???山2一武二。表示兩點(diǎn)（1,1,0）和（1,-L0）的方程。

6、將2x-y+l表示成3x+y-2,7x-y的線性組合，這種表達(dá)的幾何依據(jù)何在？

解：設(shè)2x—丫+1=九（3x+y—2）+n（7x—y）=（3X+7g）x+（X—ji）v—2k,

32+7〃=2

得方程組=解得：A=—,//=-

-22=122

2x—y+1=—（3x+y—2）+l（7x—y）o依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線共點(diǎn)，

22

7、將（2,1,1）表成（1,一1,1）和（I,0,0）的線性組合，這說明什么幾何性質(zhì)？

解：設(shè)（2,1,1）=X（1,-1,1）+g（1,0,0）（1）

4+〃=2

則-4=1此方程組無解，

2=1

即找不到入和d滿足（1）式，這說明它們表示的三點(diǎn)（線）不共線（點(diǎn)）。

8、求直線x-2y+3=0上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。

解；x_,=0是無窮遠(yuǎn)直線方程

.Jx]-2X2+3xy=0

七二°

從而X1—2X2=0,取X1=2,得X2=l,所求無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1.0）。

9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？

①非平行線段的相等;②不垂直的直線；

③四邊形；④梯形；

⑤菱形：⑥平行移動(dòng)；

⑦關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱；⑧關(guān)于直線的對(duì)稱;

⑨繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)；⑩面積的相等。

答：①歐氏；②歐氏；③仿射；④仿射；⑤歐氏；

⑥仿射；⑦仿射；⑧歐氏：⑨歐氏；⑩仿射。

第三章一維射影幾何

1、設(shè)A、B、C、D、E為直線上五點(diǎn)，證明(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)=1。

ACBDADBEAEBC.

證明：(AB,CD)(AB,DE)(AB,E。---------------------------------------=i

ADBCAEBDACBE

2、證明一線段中點(diǎn)是這直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共規(guī)點(diǎn)。

證明：設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，為直線AB上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

(ABCDx)=ACBl^=—=-\

ADC-BCBC

3、直線上順序四點(diǎn)A、B、C、D相鄰兩點(diǎn)距離相等，計(jì)算這四點(diǎn)形成的六個(gè)交比的值。

解：(AB,CD)=^D=2^2=4

ADBC3x13

13

(AB,DC)=-------------=-

(AB,CD)4

4?

(AC,BD)=1-(AB,CD)=1一一=一一

33

(AC,DB)=------!------=-3

(AC^BD)

3I

(AD,BC)DC)=\--=-

44

(AD,CB)=------!-------=4

(AD,BC)

4、求四點(diǎn)(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)順這次序的交比。

解：以(2,1,一1)和(1,-1,I)為基底。

則(2,1,-1)+陽(1,一1,1)=(1,0,0〕

2+M_I_4】_1+4

=1；

1-0-0

(2,1,—1)(1，—1，1)=(1,5,-5)

?2+也_1-必__]+〃2_〃__2

,,丁一丁一"^-"一5

所求交比為.??旦=-2

〃23

5、設(shè)P|,P2,P4三點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,1),(1，-1,1),(1,0,1)旦(PR,P3P4)=2,

求點(diǎn)P3的坐標(biāo)。

解：以P1，P2為基底，貝|J(1，1，1)+&(1，一1,1)8(1，0,Do

設(shè)山是基底h，P2表示P3的參數(shù)，由已知條件(P|P2,P3P4)=叢=2,且收=1,

〃2

?,?陽=2,因此，P?的坐標(biāo)為(1,1,1)+2(1,-1,1)=(3,-1,3)。

6、設(shè)A、B、C、D為共線四點(diǎn)，O為CD的中點(diǎn)，1.OC2=OAOB,證明(AB,CD)

證明：???OC2=OAOB=>qg=絲，由合分比得OC—OA二°B一℃

OAOCOC+OAOB+OC

因此———=———,(VOC=-OD)

OA-ODOB-OD

,日口…「八、

=——AC=——CB=-A-C---B--D-=-l,即：(A3,CO)=-11,

DADBADBC

7、設(shè)A、B、C、D成調(diào)和點(diǎn)列，即(AB,CD)=-1,求證-=

CD2CACB

證明：由假設(shè)得：(AB,CD)="C?=-1nAC?BD+BC?AD=0(1)

ADBC

VBD=CD-CB,AD=CD-CA,代入(1)式得

AC(CD-CB)+BC(CD-CA)=0,

化簡得：ACCD-ACCB+BCCD-BCCA=O,

-CACD+CACB-CBCD+CBCA=O

2CBCA=CACD+CBCD(2)

以CACBCD除(2)式兩邊，得：—=1(—+—).

CD2CACB

8、證明在X軸上由方程anx2+2ai2X+a22=O和bnx2+2bi2x+b22=O之根所決定的兩個(gè)點(diǎn)偶

成調(diào)和分割的充要條件是a11b22—2a12b12+a22bli=0。

證明：必要性，設(shè)兩方程的根依次是X|,X2和X3,X4,則

X|+X2=--?^-，X|-X2=也

即?1|

X3+X4=--^^-?X3-X4=組(1)

*久

若(X|X2,X3X4)=-1，即(-一止乂丁5)=_]

(%-x4)(x2-x3)

有(X|-X3)(X2-X4)+(X[-X4)(X2-X3)=0,

2(X1X2+X3X4)—(X1+X2)(X3+X4)=0,(2)

將(I)代入(2),得：也+%.一招&=0

仇]a”44

anb22+a22bn-2a122bl2=0。

充分性，以二一乘a“b22+a22bli-2ai2bl2=0的兩邊，得

2力22+2/2_2的.助12_0

3%%如

將(1)代入上式后按必要性步驟倒推即得：(X|X2,X3X4)=-lo

9、試證四直線2x—y+l=0,3x+y—2=0,7x一尸0,5x—l=0共點(diǎn)，并順這次序求其交比。

證明：以2x—y+l=O和3x+y—2=0為基線表示7x—y=0,5x—1=0,

,.,7x—y=0與(2x—y+1)+Xi(3x+y—2)=0重合,

.7-I0,1

2+34-1+41-24”2

???5x—l=0與(2x-y+l)+/(3x+y-2)=0重合.

.50-1.

??---------=----------=----------=Z0,=1,

2+34-I+/L1-2%'

所求交比為a二,，由于交比存在，所以四直線共點(diǎn)。

42

10、試證，一角的兩邊和它的內(nèi)外分角線成調(diào)和線束。

證明：設(shè)直線c、d是a、b為邊的角的內(nèi)外分角線，

以直線/截a、b、c、d分別于A、B、C、D

V(AB,CD)二一".史二一”堂

ADECCBADSBSA

(ab,cd)=(AB,CD)=—I<>

II、ABCD為平行四邊形，過A引AE與對(duì)角線BD平行，證明A(BD,CE)=-1。

證明：設(shè)ACxBD—O,AEKBD-PX>(圖7),4

因此A(BD.CE)=(BD,OP*)

=(BDO)=—=-lP'/V

DO

圖7

12、AB為圓之直徑，C為直徑延長線上一點(diǎn)，從C句圓引切線CT,證明T在AB上的

垂直射影D是C對(duì)于A、B的調(diào)和共枕點(diǎn)，若C在線段AB本身上，如何作它的調(diào)

和共匏點(diǎn)？

證法1：設(shè)O是AB的中點(diǎn)，???OT_LCT,TD1AB

.\OT2=ODOC,epOA2=ODoc,

由本章6題結(jié)論得(AB,CD)=-1。A\^°

證法2：NATD=/ATE,ZDTB=ZBTC,

ATB,TA是NDTC的內(nèi)外分角線(圖8),圖8

因此(AB,CD)=T(AB,CD)二一1。

如果C在線段AB內(nèi)部，過C作CT_LAB交圓于T,過T作圓的切線交AB的

延長線于D,則A,B調(diào)和分割C.D.因?yàn)楫?dāng)C確定后，T也確定，所以點(diǎn)D

唯一確定。

13、設(shè)兩點(diǎn)列同底，求一射影對(duì)應(yīng)使0,1,8分別變?yōu)?,oo,0

解：設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為X,X',由于射影對(duì)應(yīng)保留交比不變，

所以(01,8X)=(loo,Ox')

由交比性質(zhì)得：［10,xoo)=(0x,?loo),即：(1Ox)=(Ox'l)>

展開得：言=￥=八七'且0

=1^0

-11

14、設(shè)點(diǎn)列上以數(shù)X為笛氏坐標(biāo)的點(diǎn)叫做X,試求一射影對(duì)應(yīng)，使點(diǎn)列I:的三點(diǎn)1,2,3

對(duì)應(yīng)于點(diǎn)列上三點(diǎn)：

(1)4,3,2；(2)1,2,3;(3)-1,-2-3

解:設(shè)第四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)x,x\

(1)*/(12,3x)=(43,2x')

2(x—2)—2(V—3)5

(x-1)-13-4)'1

10

(2)???(12,3x)=(12,3x),??.x'=x為恒等變換，且二1工0

01

-10

(3),:(12,3x)=(-1-2,-3x,),,?.x'=-x且

01

15、當(dāng)射影對(duì)應(yīng)使一點(diǎn)列上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于另一點(diǎn)列上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),證明兩點(diǎn)列的

對(duì)應(yīng)線段成定比。

證法1：???三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)ATA，,B—BTCsfC's決定射影對(duì)應(yīng)，

設(shè)MTM'為任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),則由(AB,CzM)=(AB,CW)得:

(ABM)=(A'B'M'),

AM'AMA"B'M'A:B'

即----=----=>=------==/Etuo

B'M'BMAMBMAM-BMAB

b

a+—

,ax+bb

證法2：射影變換式為:x=----且-----W。或：X=——y

cx+dda

c+一

X

因?yàn)楫?dāng)X-8時(shí)，X1—所以C=0。

此時(shí)射影變換式為：/=竺土2,或dx'—ax—b=O。

d

設(shè)Xi—?Xi',X2X2’為兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此

dxf-axi-b=0①

dxi'_axz-b=0②

①式減②式，得d(xi'—X2')=a(xi—X2)=>土二土"二g二定比。

%-X-,d

16-.圓周上的點(diǎn)和其上二定點(diǎn)相聯(lián)得兩個(gè)線束，如果把線束交于Mi

4

圖9

圓周上的兩線叫做對(duì)應(yīng)直線，證明這樣的對(duì)應(yīng)是射影的。

證明：設(shè)A,A，為圓周上二定點(diǎn)，Mi(i=l,2,3,4)為圓周上

任意四點(diǎn)(圖9)

.A(MiM2，M3M4)=------------------=---

sinZ.M}AMA-sin

sinNM|A'M『sinNM、A'M4

sin/Mm'M.sinNA^A'M，

=A'(M1M2M3M4)>

AA'(MJM2,M3M4AA'(MIM2,M3M4)

17、從原點(diǎn)向圓(X-2)2+(y—2)2=1作切線U,t20試求X軸，y軸，U,t2順這次序的交

比。(設(shè)h是鄰近X軸的切線)

解：設(shè)直線y=kx與圓相切，則羋W=1,兩邊立方得:33一弘+3=0,

y/l+k2

解得：kl,2=生".

3

??“鄰近X軸，???t|的斜率為k尸七二目.t2的斜率為k2=±1近，

33

因此ti的方程為y--——x=0,tz的方程為y-4+/x=0,

33

故(xy,ti,t2)=卜=4一4。

k24+V7

18、設(shè)點(diǎn)A(3,1,2),B(3,-1,0)的聯(lián)線與圓x2+y2—5x—7y+6=0相交于詼點(diǎn)C

和D,求交點(diǎn)C,D及交比(AB,CD)。

解:圓方程齊次化：X12+X22—5X1X3—7X2X3+6x?3=0,設(shè)直線AB上任一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是

(3+3九，1-X,2),若此點(diǎn)在已知圓上，則

(3+3九)2+(1-X)2-5(3+3入)2-7(1~k)2+6x22=0,

化簡得：1()九2—1()=0,Aki=l,k2=-h即直線AB與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)箱，入2分別對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)是C,D,則C的坐標(biāo)是(3,0,1),D的坐標(biāo)是(0.1,1)

且(AB,CD)=A=-1.

4

19、一圓切于x軸和y軸，圓的動(dòng)切線m交兩軸于M及Ml試證{M}A{M'}.

證明：設(shè)圓半徑為r,M(a,0),M'(0,b),a,b為參數(shù)(圖10),

則m的方程為2+看=1或bx+ay-ab=0,由于ni與圓相切,

因此廠=絲絲馬，此式兩邊平方，

得r2a2+rb2+a2b2+2abr-2a2br-2b2ar=a￥+b212,

1-2r

或ab—2ra—2rb+2r2=0=-2r0

1-2r2r2

圖10

???點(diǎn)M,M，的參數(shù)間有一個(gè)行列式不等于零的雙一次函數(shù)，

故{M}A{M'}o

20、x表直線上點(diǎn)的笛氏坐標(biāo)，這直線上的射影變換/=也土2,取一卸女),在什么條件

yx+d

下以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)徑為二重點(diǎn)。

解：設(shè)x=x，是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此

"2a

limx=Jim----=—=oo=>y=0

X-*XXB6y

r+-

X

所以，以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為二重點(diǎn)的射影變換是

：，="12=公+反其中4=0力=&

S66

21、設(shè)兩個(gè)重迭一維射影幾何形式有兩個(gè)二重元素Si、S2,證明它們之間的對(duì)應(yīng)式

nJ以寫作=攵匕?上是個(gè)常數(shù)。

〃'-S2〃-S2

證明：已知S|—S2，S2—?S2,設(shè)內(nèi)一>|1'|是第三對(duì)對(duì)元素，N—喂是任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素，

因?yàn)槿龑?duì)對(duì)應(yīng)元素確定唯一射影對(duì)應(yīng)，

:.(S)S2，陽N')=(S1S2,m'H'),因而(從一4)(〃-S2)=(4-$)("-5?)

(〃-S])(〃[-$2)(“-，)(〃：-52)

故.(〃'-、)_(〃：-3)(M-SD(〃-S|)_k(〃一卯其中k=(“-S])(〃|-$2)

(〃'一52)(X-S2)(/7(-st)(//-S2)(jU-S2)(〃:一邑)(〃一S1)

22、設(shè)Si.S2是對(duì)合對(duì)應(yīng)的二重元素，證明這對(duì)合可以寫作：巨二區(qū)+幺二2=0

〃'一§2P-S2

證明：設(shè)N-H是對(duì)合對(duì)應(yīng)下任一對(duì)對(duì)應(yīng)元素，從而(S|S2,卜￡)=-1,即

〃-S|〃’$2=_]或〃一，二〃’S]

52〃'一$52〃'一S2

23、一直線上點(diǎn)的射影變換是超，證明這直線上有兩點(diǎn)保持不變，且這兩點(diǎn)跟

x+4

任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比為一常數(shù)。

證明：設(shè)固定點(diǎn)為x=x',所以

x(x+4)=3x+2,§PX2+X-2=0,解得固定點(diǎn)為x=-2和x=l

設(shè)任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為x,2出，

x+4

3x+2)_5(JV-1)(X4-2)_5

交比：(1,—2,x(常數(shù))

x+42(A?十2)(內(nèi)一1)2

24、試證對(duì)合對(duì)應(yīng)的二線束中，一般只有一對(duì)互相垂直的對(duì)應(yīng)直線，若有兩對(duì)互垂的對(duì)

應(yīng)直線，則每對(duì)對(duì)應(yīng)直線都互垂。

證明：取二線束公共頂點(diǎn)為原點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)線的斜率為晨M則對(duì)合方程為

aM'+ba+X）+d=O,且ad-b2#O,互垂對(duì)應(yīng)線應(yīng)滿足狀=一1,

所以原?+乎+"）+"=°=>6儲(chǔ)一3々）2-〃=0CDA=（fl-6/）2+4/?2>0

所以當(dāng)方程（1）有兩個(gè)不等實(shí)根箱,治時(shí)，只有一對(duì)互垂對(duì)應(yīng)線,

這是因?yàn)橄渚?二—2=—1,因而入「二一_!_=九2,x'：=---=iio

b44

當(dāng)方程（1）有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，必須a-d=o,b=0,這時(shí)對(duì)合變?yōu)椴?=一1,

每對(duì)對(duì)應(yīng)線都互垂。

25、設(shè)A,A'：B,B'；C,C是對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試證(ABC)(BCAD(CAB,二1。

證明：由對(duì)合對(duì)應(yīng)的相互交換性，有ATA，，A->A,C->C,

所以(AB,A'C')=(AB',AC),

工曰舛AA'BC'A'ABrBCB'CACBNCB,.

于zt.得-------=-------------------=------------------------=1

ACA'CB'AACBAA'CB'ABCCA1AB1

/.(ABC)(BCA*)(CAB')=1

26、AB是定圓直徑，作一組圓使其中心都在直線AB上并且都跟定圓正交，證明這

組圓跟直線AB的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)雙曲對(duì)合。

證明：設(shè)圓O'是與定圓O正交的任一圓，T為一個(gè)交點(diǎn)，且圓O與直2交于點(diǎn)和

P（圖11）

222

己知OT_LOT,AOT=OPOP',即OA=OB=OPOP'aA

???點(diǎn)P,P'是以A,B為二重元素，O為中心的雙曲對(duì)合

的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

圖11

27、O是笛氏正交坐標(biāo)的原點(diǎn)，A是y軸上一定點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的直角繞A旋轉(zhuǎn)，證

明直角兩邊被x軸所截的點(diǎn)偶構(gòu)成一個(gè)橢圓型對(duì)合。

證明：設(shè)直角邊交x軸的任怠兩個(gè)位置為Ai，A2;BI，B?（圖12）

22

設(shè)OA=k,則0A?OA2=OBIOB2=OA=k,

因?yàn)锳”A2；BI，B2在x軸上的位置為一正一負(fù)，

故OAIOA2=OB「OB2VO,向

圖12

因而A”A2;BI，B2，......在x軸上構(gòu)成橢圓型對(duì)合

第四章代沙格定理、四點(diǎn)形與四線形

1、設(shè)△ABC的頂點(diǎn)，A,B,C分別在共點(diǎn)的三直線a,丫上移動(dòng)，&

且直線AB和BC分別通過定點(diǎn)P和Q,求證CA也通過PQ卜/

上一個(gè)定點(diǎn)（圖13）。

證：設(shè)Ao是a上的一個(gè)定點(diǎn)，AoP交p于Bo，B（）Q交丫于Co，

則A（Co是定直線（圖13）。若R是定直線AoCo與定直線PQ產(chǎn)青弓

的交點(diǎn)，從而R是PQ上的定點(diǎn)，若△ABC是合于條件的，\|/

因?yàn)樵凇鰽BC及△AoBoCa中，AoA,B（）B,CoC共點(diǎn)，

圖［3

根據(jù)代沙格定理，P,Q及AoCoxAC共線，即AC通過AoC（）xPQ=R（定點(diǎn)）。

2、△ABC的二頂點(diǎn)A與B分別在定直線a和0上移

動(dòng)，三邊AB,BC,CA分別過共線的定點(diǎn)P,Q,

R，求證頂點(diǎn)C也在一定直線上移動(dòng)。

證：設(shè)ax（3=0（定點(diǎn)），△AoBoCo是滿足條件的定三角形，

△ABC是滿足條件的任意三角形。

VAoBoxBC=Q,AoCoxAC=R,由代沙格定理逆定理得,

三線AoA,BoB,C（）C共點(diǎn)O,即C在定直線C0O上移動(dòng)（圖14）。

3、設(shè)P,Q,R,S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PSxQR,B=PRxQS,

C=PQxRS,

證明A尸BCxQR,B尸CAxRP,G=ABxPQ三點(diǎn)共線。

證：在AABC及^PQR中（圖15）,TAP,BQ,CR共點(diǎn)

,對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)C尸ABxPQ,B|=CAxRP,Ai=BCxRQ三點(diǎn)共線。

4、已知線束中的三直線a,b,c求作直線d使（ab?cd）=-1o

解:設(shè)線束中心為S,以直線I分別截a,b,c于A,B,C

在直線c上

任意取一點(diǎn)Q,聯(lián)AQ交d于R,聯(lián)BQ交a于P,聯(lián)

PR與1交于D（圖16）,則直線SD為所求。

因?yàn)椋?PQR構(gòu)成一完全四點(diǎn)形，/.（AB,CD）=-1,

從而(ab,cd)=(AB,CD)=-1?

5、設(shè)AD,BE,CF為△ABC的三高線，EFxBC=D',求證（BC,DD）=~1,

在等腰三角形AB=AC的情況，這命題給出什么結(jié)論？

證明：設(shè)P為△ABC的垂心，由完全四點(diǎn)形

AFPE（圖17）的性質(zhì)，

得（BC,DD）=-!＜）

在等腰△ABC中，若AB=AC,D為垂足，

因而D為BC的中點(diǎn)。：（BC,DD'）=-1,

圖17

所以。為BC直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

因而FE〃BC。

即在等腰三角形中，底邊的頂點(diǎn)到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。

第五章射影坐標(biāo)系和射影變換

ax+p

1、將一維笛氏坐標(biāo)與射影坐標(biāo)的關(guān)系:,aS-加工0⑴以齊次坐標(biāo)表達(dá)。

yx+6

解設(shè)一維笛氏坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)為X,則齊次坐標(biāo)為（Xi，X2），且*=%，

七

一點(diǎn)的射影坐標(biāo)為3齊次坐標(biāo)為（兀入2）且a=2,將入和X代入關(guān)系式（1）

4

a土+夕

有二二」一,化簡得：_i

（夕工0）

4y五+3ax}+（）x2yxx+Sx2p

占

且“'工0為齊次變換式。

成=/%+yb

2、在直線上取笛氏坐標(biāo)為2,0,3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的Ai,A2,E,（i）求此直線上任

一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)九的關(guān)系；（ii）問有沒有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？

解：笛氏坐標(biāo)!?3x

射影坐標(biāo)：A2AlE\

（i）由定義X=(A1A2，EP)=(20,3x)=(3-2)(.

(x—2)(3—0)3x-6

10

故一=六且=6*0

36

（ii）若有一點(diǎn)它的詼種坐標(biāo)相等,即I則有戶去,即3x2f;。，

???當(dāng)x=0及x=1時(shí)兩種坐標(biāo)相等。

3

3、在二維射影坐標(biāo)系F，求直線AiE,A2E,A3E的方程和坐標(biāo)。

解：坐標(biāo)三角形頂點(diǎn)Ai(1,0,0),A2(0，1,0),A3(0,0,1)和單位點(diǎn)E(L1,

Ax2x3

1)設(shè)P(xi，Xz,x3)為直線AiE上任一點(diǎn)，其方程為：100=0

111

即X2—X3=0,線坐標(biāo)為(0,1,—1)

內(nèi)X2工3

直線的方程為：=()，即XLX3=0,線坐標(biāo)為(1，0,—1);

A2E010

111

內(nèi)&x3

直線的方程為：=0?即X2—xi=0,線坐標(biāo)為（―1,1,0）

A3E001

111

4、寫出分別通過坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn)AI,A2,A3的直線方程。

解：設(shè)平面上任意直線方程為

uix1+112x2+113x3=0,過點(diǎn)Ai(l,0,0)時(shí)川二0,即為112X2+113X3=0,

過點(diǎn)A2(0,1,0)時(shí)U2=0,即為U[X]+U3X3=O，

過點(diǎn)A3(0,0,1)時(shí)113=0,即為111X1+112X2=0。

5、取笛氏坐標(biāo)系下三直線x—y=0,x+y—1=0,)<—2=0分別作為,

-,1）為單位點(diǎn)，

坐標(biāo)三角形的邊A2A3,A3A1，A\A?,取￡(

22\4

求一點(diǎn)的射影坐標(biāo)(X1，X2，X3)馬笛氏坐標(biāo)（x,y,t）的關(guān)系。

解：E(—,1),.*.e)=—二，e2=^=>e?=—

o（圖i8）

22-V2V2-2

0s

任意一點(diǎn)M(x,y)到三邊的距離為：

x-v_.V+y-1x-2圖18

二射影坐標(biāo)（Xi，X2，X3）與笛氏坐標(biāo)的關(guān)系為：

pxi=3=x—y：pX2=—:=x+y-3pX3=2=12x+4t

G