第19講-拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(高階拓展)(教師版)

第19講拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展）（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義3能運(yùn)用拉格朗日中值定理解題【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)知識講解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當(dāng)時，．考點一、拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)，列方程求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，令為在上的“拉格朗日中值點”，則有，即，解得，所以函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【分析】利用中值點的定義分別求解兩函數(shù)的中值點即可【詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為1，即，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，作出函數(shù)和的圖像如圖所示，，當(dāng)時，，由圖可知，函數(shù)和的圖像在區(qū)間上有一個交點，即方程區(qū)間上有1個解，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為1，即，所以，故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一點，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”．【答案】【分析】先求，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得求得的值即可.【詳解】由可得，所以，由拉格朗日中值的定義可知，即，所以．故答案為：.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容.其定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點.則函數(shù)在區(qū)間上的中值點的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)中給出的“拉格朗日中值點”的定義，結(jié)合函數(shù)進(jìn)行分析，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的解的個數(shù)問題，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可..【詳解】由題意，函數(shù)，所以，所以，所以由拉格朗日中值定理得：，即，所以，由于時，所以在無解，在上有2解.所以函數(shù)在區(qū)間上的中值點的個數(shù)為2個.故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)題中給出的“拉格朗日中值點”的定義分析求解即可．【詳解】函數(shù)，則，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為2．故選：B.3．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校├窭嗜罩兄刀ɡ硎俏⒎謱W(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的定義可構(gòu)造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值點”的個數(shù).【詳解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.故答案為：.考點二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用設(shè),求證:當(dāng)時,對任意,有證明:由拉格朗日中值定理可知只需證對恒成立由,因為所以則設(shè),當(dāng)時,若對任意的成立,求的取值范圍解:由拉格朗日中值定理,可知必存在,使得,當(dāng)且時,由題意,即設(shè),若對任意,都有,求的范圍解:時,等價于,由拉格朗日中值定理,存在使得,故只需恒成立即可又,所以1．已知函數(shù)，若對任意都有恒成立，求的取值范圍解：因為，所以，注意到，則恒成立。由拉格朗日中值定理知:存在使得所以恒成立.顯然在單調(diào)遞增，故，所以.設(shè)的導(dǎo)函數(shù)是,對任意兩個不相等的正數(shù),當(dāng)時,證明:解：令,由拉格朗日中值定理,存在使得對任意兩個不相等的正數(shù),只需證明當(dāng)時,都有即證明恒成立,而故當(dāng)時,成立,故原命題成立3．（2022秋·云南保山·高二校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（1）求證：的導(dǎo)數(shù)；（2）若對任意都有求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）（﹣∞，2]【分析】（1）先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用a+b≥2當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．得到f'（x）≥2；（2）把不等式變形令g（x）＝f（x）﹣ax并求出導(dǎo)函數(shù)令其＝0得到駐點，在x≥0上求出a的取值范圍即可．【詳解】解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）＝ex+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立）．（2）令g（x）＝f（x）﹣ax，則g'（x）＝f'（x）﹣a＝ex+e﹣x﹣a，（?。┤鬭≤2，當(dāng)x＞0時，g'（x）＝ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以，x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）＝0的正根為，此時，若x∈（0，x1），則g'（x）＜0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，x∈（0，x1）時，g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾．綜上，滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，2]．【點睛】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力．4．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè),證明.【答案】（1）0；(2)詳見解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值．（2）先將代入函數(shù)得到的表達(dá)式后進(jìn)行整理，根據(jù)（1）可得到，將放縮變形為代入即可得到左邊不等式成立，再用根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮．然后整理即可證明不等式右邊成立．【詳解】(1）由已知可得x>-1,-1，令0得x=0.當(dāng)-1<x<0時，>0當(dāng)x>0時，<0所以f(x)的最大值為f(0)=0（２）證明：只需證＜（ｂ－）整理得＋＜０即證＜０上式兩邊除以，整理得設(shè)＞１令Ｆ（ｘ）＝當(dāng)ｘ＞１時＜０Ｆ（ｘ）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減，又Ｆ（１）＝０Ｆ（ｘ）＜０＝g()﹢g(b)﹣＜（b﹣）ln2.【點睛】考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2.平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用．【能力提升】一、單選題1．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）以羅爾中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理為主體的“中值定理”反映了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的重要聯(lián)系，是微積分學(xué)重要的理論基礎(chǔ)，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，其定理陳述如下：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在區(qū)間上的中值點.若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上“中值點”個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，由拉格朗日中值定理可得，故該方程根的個數(shù)為即為函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)，由函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)在閉區(qū)間上的中值點為，由，由拉格朗日中值定理可得：，因為，所以，可得，即，作出函數(shù)和的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)和的圖象在上有兩個交點，所以方程在上有兩個解，即函數(shù)在區(qū)間上有2個中值點，所以，只有符合，

故選：C.二、解答題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在可導(dǎo)，且，又對于內(nèi)所有的點有證明方程在內(nèi)有唯一的實根．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在原理，結(jié)合拉格朗日中值定理進(jìn)行證明即可.【詳解】令，又∵，則∴函數(shù)g（x）在（0，1）內(nèi)至少有一個實根．假設(shè)方程在（0，1）內(nèi)有兩個實根不妨設(shè)為，則有，對函數(shù)）在上運(yùn)用拉格朗日中值定理有．因此這和已知條件矛盾．∴方程在（0，1）內(nèi)有唯一的實根．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間．【答案】證明見解析【分析】不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則由拉格朗日中值定理可得，代入化簡即可證明.【詳解】證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而有，即，解得，結(jié)論成立．4．（2023·北京東城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對實數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）的定義域為.當(dāng)時，，曲線在處的切線方程為（II）當(dāng)時，等價于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時，令得.由和得，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【名師點睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且．求證：存在，使．【答案】證明見解析【分析】從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)，然后再利用羅爾中值定理，便得結(jié)論．【詳解】證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗證定理的正確性．【詳解】∵在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件．又，，∴要使，只要：，∴，使，驗證完畢．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的．【答案】【分析】由拉格朗日中值定理可知，，解方程即可得出答案.【詳解】要使，只要，從而即為滿足定理的．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，證明：對任意的實數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恒有實數(shù)解．【答案】證明見解析【分析】結(jié)合函數(shù)解析式，將原問題轉(zhuǎn)化為證明，由此分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，證明該不等式成立即可.【詳解】由題意，當(dāng)時，方程即為,于是要證關(guān)于x的方程在區(qū)間上恒有實數(shù)解，只需證明．令，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，∴,即；令，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，∴，即，故成立，從而對任意的實數(shù)，當(dāng)時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恒有實數(shù)解．9．（高考真題）設(shè)a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x－2a