學(xué)習(xí)-函數(shù)的單調(diào)性資料講解

§1.3函數(shù)的單調(diào)性蒸蒸日上每況愈下波瀾起伏yxoyxoABCyxo連線題:觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個(gè)圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？1、在區(qū)間____上，f(x)的值隨著x的增大而______．2、在區(qū)間_____上，f(x)的值隨著x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大減小畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：

x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…y246810O-2x84121620246210141822D圖象在區(qū)間D逐漸上升OxDy區(qū)間D內(nèi)隨著x增大，y也增大x2x1f(x2)f(x1)NMxDy對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x2<x1時(shí)，有f(x2)<f(x1)圖象在區(qū)間D逐漸上升OxDy區(qū)間D內(nèi)隨著x增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)對(duì)區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意的區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升D設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，<區(qū)間D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.那么就說f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，定義那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù),寫出單調(diào)減函數(shù)的定義.xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間DI.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增

函數(shù),D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<>

1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；注意：2、必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)

分別是增函數(shù)和減函數(shù).（2）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);（1）在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：判斷:1)函數(shù)f(x)=x2在是單調(diào)增函數(shù)；xyo注意：（3）x1,x2取值的任意性（1）在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。（2）函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);yxO12f(1)f(2)判斷：2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上是增函數(shù)；例1、下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個(gè)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。例2、下圖為函數(shù),的圖像，指出它的單調(diào)區(qū)間。123-2-3-2-11234567xo-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6]解：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]單調(diào)減區(qū)間為例3、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號(hào)變形作差結(jié)論練一練試用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)。例4.試判斷函數(shù)f(x)=x2+２x在（－１，＋∞）上是增函數(shù)還是增函數(shù)？并給予證明。設(shè)x1，x2為區(qū)間（－1,+∞

）上的任意兩個(gè)值，且x1<x2，解：函數(shù)y=x2+２x在（－1,+∞

）上是增函數(shù)證明：則f(x1)–f(x2)=(x12+２

x1

)–(x22+２x2

)=(x12–x22)+２(x1–x2)=(x1–x2)(x1+x2)+２(x1–x2)=(x1–x2)(x1+x2+２)∵

x1<x2

，∴x1–

x2<0，又∵

x1〉－1,x2〉－1，

∴x1+x2+２〉0,∴f(x1)–f(x2)<

0,即f(x1)<

f(x2)所以函數(shù)y=x2+２

x在（－1,+∞

）上是增函數(shù)定號(hào)判斷取值作差變形判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：1、圖象法2、定義法證明函數(shù)的單調(diào)性常用步驟：(１)取值(２)作差(４)定號(hào)(５)判斷(３)變形證明函數(shù)單調(diào)性的方法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式分解和配方）；4定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；5下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：思考？思考：畫出反比例函數(shù)f(x)=1/x的圖象．

1這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？ 2它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論．

證明：函數(shù)f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。證明：設(shè)x1,x2是(0，+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數(shù)。取值定號(hào)變形作差判斷填表,.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間練一練yoxyox在是增函數(shù)在是減函數(shù)在是增函數(shù)在是減函數(shù)在(-∞,+∞)是減函數(shù)