教學(xué)多元函數(shù)的基本概念教學(xué)案例

推廣第八章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類(lèi)比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域例如，即為開(kāi)集．連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．例如，例如，有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．例如，（3）聚點(diǎn)

內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．

點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．（3）n維空間n維空間的記號(hào)為說(shuō)明：

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．設(shè)兩點(diǎn)為

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義．鄰域：二、多元函數(shù)的概念

引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（1）二元函數(shù)的定義類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．稱(chēng)為該函數(shù)的定義域，稱(chēng)為自變量，稱(chēng)為因變量數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域在點(diǎn)的值記為例1求的定義域．解所求定義域?yàn)槭怯薪玳]區(qū)域例如的定義域是無(wú)界開(kāi)區(qū)域的定義域不是區(qū)域（2）二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.圖形如右圖.例如,例如,左圖球面.單值分支:定義1設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑膬?nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果

以任何方式無(wú)限趨近于時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值總是無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)記為或這里三、多元函數(shù)的極限時(shí)的極限說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似．例2求證

證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例3求極限

解其中值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在.例4.討論函數(shù)函數(shù)趨于不同

若當(dāng)點(diǎn)以不同方式趨于解:設(shè)

沿直線(xiàn)

趨于點(diǎn),則有在點(diǎn)的極限.值不同極限不同!在

點(diǎn)極限不存在.例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：利用點(diǎn)函數(shù)的形式有四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3對(duì)二元函數(shù)，如果則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).例如,函數(shù)又如,函數(shù)上間斷.在圓周在點(diǎn)

極限不存在,

故

為其間斷點(diǎn).注（1）（2）二元連續(xù)函數(shù)是一個(gè)無(wú)孔無(wú)縫的曲面如果函數(shù)在上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱(chēng)此函數(shù)在

上連續(xù)例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，在上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（2）介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)例如等都是二元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例７解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義思考題思考題解答不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧【毩?xí)題3、若,則________.,則_________.的定義域是__________.4、若函數(shù)練