【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：合情推理與演繹推理

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：合情推理與演繹推理一、選擇題1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a<b.證明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a<b，其中，畫線部分是演繹推理的()A．大前提B．小前提C．結(jié)論 D．三段論2．觀看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2011(x)＝()A．－sinx－cosx B．sinx－cosxC．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx4．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四周體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四周體S－ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)5.正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，依次連接正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)動(dòng)身，沿正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蚺佬?，每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí)，沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蚺佬校绱讼氯?，爬行?0條線段．則這10條線段的長(zhǎng)度的平方和是()A.eq\f(1023,2048)a2 B.eq\f(1023,768)a2C.eq\f(511,1024)a2 D.eq\f(2047,4096)a26．把正整數(shù)排成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的挨次排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{an}，則a2013＝()A．3963 B．4002C．4501 D．4623二、填空題7．觀看下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第n個(gè)等式為________．8．已知結(jié)論：在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則eq\f(AG,GD)＝2.若把該結(jié)論推廣到空間中，則有如下結(jié)論：在棱長(zhǎng)都相等的四周體ABCD中，若△BCD的中心為M，四周體內(nèi)部一點(diǎn)O到四周體各面的距離都相等，則eq\f(AO,OM)＝________.9．觀看下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…由以上等式推想到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，(1)分別求f(2)＋f(eq\f(1,2))，f(3)＋f(eq\f(1,3))，f(4)＋f(eq\f(1,4))的值；(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2013))．11．在平面幾何中，爭(zhēng)辯正三角形內(nèi)任一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí)，我們有真命題：邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值eq\f(\r(3),2)a.類比上述命題，請(qǐng)你寫出關(guān)于正四周體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，并給出簡(jiǎn)要的證明．詳解答案一、選擇題1．解析：由三段論的組成可得劃線部分為三段論的小前提．答案：B2．解析：觀看可知，偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)都是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D3．解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，則其周期為4，即fn(x)＝fn＋4(x)．f2011(x)＝f3(x)＝－sinx－cosx.答案：A4．解析：設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為O，那么由V＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即：V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，可得：r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C5.解析：由題可知，這只小蟲爬行的第一段長(zhǎng)度的平方為aeq\o\al(2,1)＝(eq\f(1,2)a)2＝eq\f(1,4)a2，其次段長(zhǎng)度的平方為aeq\o\al(2,2)＝(eq\f(\r(2),4)a)2＝eq\f(1,8)a2，…，從而可知，小蟲爬行的線段長(zhǎng)度的平方可以構(gòu)成以aeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)a2為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10＝eq\f(\f(1,4)a2[1－\f(1,2)10],1－\f(1,2))＝eq\f(1023,2048)a2.答案：A6．解析：在圖乙中，前k行共有1＋2＋3＋…＋k＝eq\f(kk＋1,2)個(gè)數(shù)，若a2013位于第k行，則eq\f(kk－1,2)<2013≤eq\f(kk＋1,2)，而eq\f(63×64,2)＝2016，eq\f(62×63,2)＝1953，∴a2013位于第63行從右起的第4個(gè)數(shù)．又觀看圖乙可知，第k行的最終1個(gè)數(shù)為k2，∴a2013＝632－6＝3963.答案：A二、填空題7．解析：每行最左側(cè)數(shù)分別為1、2、3、…，所以第n行最左側(cè)的數(shù)為n；每行數(shù)的個(gè)數(shù)分別為1、3、5、…，則第n行的個(gè)數(shù)為2n－1.所以第n行數(shù)依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．解析：設(shè)四周體內(nèi)部一點(diǎn)O到四周體各面都相等的距離為d，則由題意知d＝OM.設(shè)該四周體各個(gè)面的面積均為S，則由等體積法得：4×eq\f(1,3)S×OM＝eq\f(1,3)S×AM，∴4OM＝AM，∵AO＋OM＝AM，從而eq\f(AO,OM)＝eq\f(3,1)＝3.答案：39．解析：留意到第n個(gè)等式的左邊有n項(xiàng)，右邊的結(jié)果的確定值恰好等于左邊的各項(xiàng)的全部底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的確定值等于1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n,2)，留意到右邊的結(jié)果的符號(hào)的規(guī)律是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，符號(hào)為正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，符號(hào)為負(fù)，因此所填的結(jié)果是(－1)n＋1eq\f(n2＋n,2).答案：(－1)n＋1eq\f(n2＋n,2)三、解答題10．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋f(eq\f(1,2))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\f(1,2)2,1＋\f(1,2)2)＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(1,22＋1)＝1，同理可得f(3)＋f(eq\f(1,3))＝1，f(4)＋f(eq\f(1,4))＝1.(2)由(1)猜想f(x)＋f(eq\f(1,x))＝1，證明：f(x)＋f(eq\f(1,x))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\f(1,x)2,1＋\f(1,x)2)＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝1.(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2013))＝f(1)＋[f(2)＋f(eq\f(1,2))]＋[f(3)＋f(eq\f(1,3))]＋…＋[f(2013)＋f(eq\f(1,2021))]＝eq\f(1,2)＋eq\o(1＋1＋1＋…＋1,\s\up6(,2012個(gè)))＝eq\f(1,2)＋2012＝eq\f(4025,2).11．解：類比所得的真命題是：棱長(zhǎng)為a的正四周體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是定值eq\f(\r(6),3)a.證明：設(shè)M是正四周體P－ABC內(nèi)任一點(diǎn)，M到面AB