【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-1教案：第3章-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-參考教案2

4.1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)過(guò)程：一．創(chuàng)設(shè)情景函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，爭(zhēng)辯函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是格外重要的．通過(guò)爭(zhēng)辯函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)爭(zhēng)辯函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在爭(zhēng)辯函數(shù)中的作用。二．新課講授1．問(wèn)題：圖（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像．運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)分？通過(guò)觀看圖像，我們可以發(fā)覺(jué)：運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而削減，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀看下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．（圖3.3-3）在處，，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)在四周單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在四周單調(diào)遞減．結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，假如，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；假如，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．說(shuō)明：（1）特殊的，假如，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．三．典例分析例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，試畫(huà)出函數(shù)圖像的大致外形．解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，或時(shí)，，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”．綜上，函數(shù)圖像的大致外形如圖3.3-4所示．例2．推斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）由于，所以，因此，在R上單調(diào)遞增，如上圖所示．（2）由于，所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示．（3）由于，所以，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如上圖所示．（4）由于，所以．當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；函數(shù)的圖像如下圖所示．注：（3）、（4）生練例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開(kāi)頭階段高度增加得慢，以后高度增加得越來(lái)越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化狀況．同理可知其它三種容器的狀況．解：思考：例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的狀況嗎？一般的，假如一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的確定值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”．例4．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．證明：由于當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．說(shuō)明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）推斷在內(nèi)的符號(hào)；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．例5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，解之得：所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．說(shuō)明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來(lái)求解，留意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解．例6．已知函數(shù)y=x+，試爭(zhēng)辯出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(－1，0)和(0，1)四．課堂練習(xí)1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.f(x)=2x3－6x2+7