【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)-蘇教版-江蘇專-課時(shí)作業(yè)-第十三章-選修系列4部分-1-

第1講幾何證明選講1．(2022·江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C.證明如圖，連接OD，由于BD＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.由于OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.由于點(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.2.(2011·江蘇卷)如圖，圓O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值．證明如圖，連接AO1，并延長分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D，連接BD、CE.∵圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，∴點(diǎn)O2在AD上，故AD、AE分別為圓O1，圓O2的直徑．從而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2)，∴AB∶AC為定值．3.(2021·常州一中期中)如圖，從圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，求證：O、C、P、D四點(diǎn)共圓．證明∵PA、PB為圓O的兩條切線，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圓O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不過圓心O，∴O、C、P、D四點(diǎn)共圓．4.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F.求證：FD2＝FB·FC.證明∵E是Rt△ACD斜邊AC的中點(diǎn)，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.5.如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長線于點(diǎn)P，交AD的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切線PC的長．(1)證明∵AD∥BC，∴eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD).∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC與⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴eq\f(DC,BC)＝eq\f(DE,DC).∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝eq\f(AB2,BC)＝eq\f(62,9)＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(4,9).又∵PB－PD＝9，∴PD＝eq\f(36,5)，PB＝eq\f(81,5).∴PC2＝PD·PB＝eq\f(36,5)·eq\f(81,5)＝eq\f(542,52).∴PC＝eq\f(54,5).6.(2021·南京、鹽城模擬)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AB＝AC，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形ACBE為平行四邊形；(2)若AE＝6，BD＝5，求線段CF的長．(1)證明由于AE與圓相切于點(diǎn)A，所以∠BAE＝∠ACB.由于AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC＝∠BAE，所以AE∥BC.由于BD∥AC，所以四邊形ACBE為平行四邊形．(2)解由于AE與圓相切于點(diǎn)A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.依據(jù)(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.設(shè)CF＝x，由BD∥AC，得eq\f(AC,BD)＝eq\f(CF,BF)，即eq\f(4,5)＝eq\f(x,6－x)，解得x＝eq\f(8,3)，即CF＝eq\f(8,3).7.(2022·泰州調(diào)研)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC.(1)求證：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝3eq\r(3)，求AD的長．(1)證明∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解∵AB是圓的直徑，∴∠ACD＝90°.∵∠EAC＝120°，∠DAC＝eq\f(1,2)∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝3eq\r(3)，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.8.(2021·宿遷聯(lián)考)如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長線交⊙O于N，過點(diǎn)N的切線交CA的延長線于P.(1)求證：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半徑為2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的長．(1)證明連接ON.由于PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.由于OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.由于BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝PA·PC.(2)解OM＝2，BO＝2eq\r(3)，BM＝4.由于BM·MN＝CM·MA＝(2eq\r(3)＋2)(2eq\r(3)－2)＝8，所以MN＝2.9.(2021·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．(1)證明如圖，連接DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又由于DB⊥BE，所以DE為圓的直徑，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC邊的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，則∠BOG＝60°，從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑為eq\f(\r(3),2).10.(2022·南京模擬)如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，點(diǎn)P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C、D，且PC＝PD，求證：(1)l是⊙O的切線；(2)PB平分∠ABD.證明(1)如圖，