【2021高考復習參考】高三數(shù)學(理)配套黃金練習：2.6

其次章２．6第6課時高考數(shù)學（理）黃金配套練習一、選擇題1．“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋3在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析本題為二次函數(shù)的單調性問題，取決于對稱軸的位置，若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋3在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，則有對稱軸x＝a≤1，故“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋3在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件．2．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是()答案C解析若a>0，A不符合條件，若a<0，D不符合條件，若b>0，對B，∴對稱軸－eq\f(b,a)<0，不符合，∴選C.3．函數(shù)y＝xα(x≥1)的圖象如圖所示，α滿足條件()A．α<－1B．－1<α<0C．0<α<1D．α>1答案C解析類比函數(shù)y＝xeq\f(1,2)即可．4．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)與f(2)的大小關系不確定答案C解析∵f(4)＝f(1)∴對稱軸為eq\f(5,2)，∴f(2)＝f(3)．5．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]答案C解析由函數(shù)的單調性和對稱軸知，1≤m≤2，選C.6設abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()答案D解析若a＞0，b＜0，c＜0，則對稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，函數(shù)f(x)的圖象與y軸的交點(c,0)在x軸下方．故選D.7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，則()A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)與f(x2)的大小不能確定答案B解析解法1：設A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1－a,2)∈(－1，eq\f(1,2))，又對稱軸x＝－1，∴AB中點在對稱軸右側．∴f(x1)<f(x2)，故選B.(本方法充分運用了二次函數(shù)的對稱性及問題的特殊性：對稱軸已知)．解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(axeq\o\al(2,1)＋2ax1＋4)－(axeq\o\al(2,2)＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)又0<a<3，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故選B.二、填空題8．已知y＝(cosx－a)2－1，當cosx＝－1時y取最大值，當cosx＝a時，y取最小值，則a的范圍是________．解析由題意知∴0≤a≤19．拋物線y＝8x2－(m－1)x＋m－7的頂點在x軸上，則m＝________.答案9或25解析y＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m－1,16)))2＋m－7－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,16)))2∵頂點在x軸∴m－7－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－1,16)))2＝0，∴m＝9或25.10．設函數(shù)f1(x)＝xeq\f(1,2)，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，則f1(f2(f3(2010)))＝________.答案eq\f(1,2010)解析f3(2010)＝20102f2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f1(2010－2)＝(2010－2)eq\f(1,2)＝2010－1＝eq\f(1,2010).11．在函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比數(shù)列且f(0)＝－4，則f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且該值為________．答案大－3解析∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b2＝a·c，∴a<0∴f(x)有最大值，最大值為c－eq\f(b2,4a)＝－3.12．已知冪函數(shù)f(x)＝xeq\f(1－α,3)在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，那么最小的正整數(shù)a＝________.答案313．方程x2－mx＋1＝0的兩根為α，β，且α>0,1<β<2，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案2<m<eq\f(5,2)解析令f(x)＝x2－mx＋1由題意知三、解答題14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)－xm，且f(4)＝－eq\f(7,2).(1)求m的值；(2)推斷f(x)在(0，＋∞)上的單調性，并賜予證明．答案(1)m＝1(2)遞減解析(1)∵f(4)＝－eq\f(7,2)，∴eq\f(2,4)－4m＝－eq\f(7,2).∴m＝1.(2)f(x)＝eq\f(2,x)－x在(0，＋∞)上單調遞減，證明如下：任取0<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(eq\f(2,x1)－x1)－(eq\f(2,x2)－x2)＝(x2－x1)(eq\f(2,x1x2)＋1)．∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，eq\f(2,x1x2)＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝eq\f(2,x)－x在(0，＋∞)上單調遞減．15．已知對于任意實數(shù)x，二次函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非負的，求函數(shù)g(a)＝(a＋1)(|a答案[－eq\f(9,4)，9]解由條件知Δ≤0，即(－4a)2－4(2a＋12)≤0，∴－eq\f(3,2)≤a≤2.①當－eq\f(3,2)≤a<1時，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2∴由二次函數(shù)圖象可知，－eq\f(9,4)≤g(a)<4.②當1≤a≤2時，g(a)＝(a＋1)2，∴當a＝1時，g(a)min＝4；當a＝2時，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.綜上所述，g(a)的值域為[－eq\f(9,4)，9]．16．函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象的示意圖如圖所示．設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出示意圖中曲線C1、C2分別對應哪一個函數(shù)？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并說明理由；(3)結合函數(shù)圖象示意圖，請把f(6)、g(6)、f(2007)、g(2007)四個數(shù)按從小到大的挨次排列．答案(1)C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f(x)＝2x(2)a＝1，b＝9(3)∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)解析(1)C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，則x1、x2為函數(shù)φ(x)的零點．∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x)＝f(x)－g(x)的兩個零點x1∈(1,2)，x2∈(9,10)，∴整數(shù)a＝1，b＝9.(3)從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．當x>x2時，f(x)>g(x)，∴g(2007)<f(2007)．∵g(6)<g(2007)，∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)．拓展練習·自助餐1．若函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．[5，＋∞)答案D解析f(x)的減區(qū)間為(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是減函數(shù)，則a≥5，故選D.2．設b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列圖象之一，則a的值為()A．1B．－1C.eq\f(－1－\r(5),2)D.eq\f(－1＋\r(5),2)答案B解析∵b>0，∴不是前兩個圖形，從后兩個圖形看－eq\f(b,2a)>0，∴a<0.故應是第3個圖形．∵過原點，∴a2－1＝0.結合a<0.∴a＝－1.3.如圖所示，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則|OA|·|OB|等于()A.eq\f(c,a)B．－eq\f(c,a)C．±eq\f(c,a)D．無法確定答案B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|eq\f(c,a)|＝－eq\f(c,a)(∵a<0，c>0)．4．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x>0，,x2＋bx＋cx≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關于x的不等式f(x)≤1的解集為________．答案－3≤x≤－1或x>0解析由f(－4)＝f(0)得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋4x＋4≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－2≤1，))可得－3≤x≤－1或x>0.5．設f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，則()A．f(1)＞c＞f(－1)B．f(1)＜c＜f(－1)C．f(1)＞f(－1)＞cD．f(1)＜f(－1)＜c答案B解析由f(－1)＝f(3)得－eq\f(b,2)＝eq\f(－1＋3,2)＝1，所以b＝－2，則f(x)＝x2＋bx＋c在區(qū)間(－1,1)上單調遞減，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．6．函數(shù)y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，則實數(shù)a的取值范圍是()A．0≤a≤1B．0≤a≤2C．－2≤a≤0D．－1≤a≤0答案D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x)在[0,1]上最大值是a2，則0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故選D.老師備選題1．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b＝()A．3B．2或3C．2D．1或2答案C解析函數(shù)在[1，＋∞)上單增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．2．若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，則f(x)＝________.答案x2－x＋1解析設f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.3．若函數(shù)f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函數(shù)，則在區(qū)間[0，＋∞)上f(x)是()A．減函數(shù)B．增函數(shù)C．常函數(shù)D．可能是減函數(shù)，也可能是常函數(shù)答案D解析函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴a2－1＝0當a＝1時，f(x)為常函數(shù)當a＝－1時，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)為減函數(shù)，選D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的兩個根(α<β)，則實數(shù)a、b、α、β的大小關系可能是()A．α<a<b<βB．a(chǎn)<α<β<bC．a(chǎn)<α<b<βD．α<a<β<b答案A解析設g(x)＝(x－a)(x－b)，則f(x)＝g(x)－2，分別作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，可得α<a<b<β，故選A.5．對一切實數(shù)x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥－1B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)≤1答案A解