中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點精講專題06 一元二次方程及其應(yīng)用（解析版）

專題06一元二次方程及其應(yīng)用中考命題解讀中考命題解讀一元二次方程是歷年中考的必考內(nèi)容，在中考中一般為2-3道題，分值為10-16分，常見直接單獨考查其解法，也會與不等式、函數(shù)等知識結(jié)合在一起考查根的判別式及簡單的根與系數(shù)關(guān)系運用等，這部分內(nèi)容常與直角三角形、菱形、垂徑定理等融會，利用一元二次方程解決實際問題是歷年中考的高頻考點。考標要求考標要求1．經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型．2．能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力．3．了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一元二次方程（數(shù)字系數(shù)人并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．4．經(jīng)歷在具體情境中估計一元二次方程解的過程，發(fā)展估算意識和能力．考點精講考點精講考點1：一元二次方程（1）概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。考點2：一元二次方程的解法（1）直接開平方法：①當(dāng)方程的一次項位0時，即方程ax2+c=0(a≠0，ac＜0）②形如（x+m)2=n,(n≥0）的方根（2）配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b≤0，則原方程無解．（3）公式法：用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次多項式的乘積；（3）令每個因式分別為零；（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解?？键c3：一元二次方程的判別式：①時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③時，方程無實數(shù)根，反之亦成立考點4：一元二次方程的根與系數(shù)：根與系數(shù)的關(guān)系：即的兩根為，則，。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如考點5：一元二次方程的應(yīng)用（1）變化率問題：設(shè)基準數(shù)為a，兩次增長（或下降）后為b；增長率（下降率）為x，第一次增長（或下降）后為；第二次增長（或下降）后為2．可列方程為2=b。（2）傳染、分裂問題有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：（3）握手、比賽問題握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握次手。贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送張卡片。（4）銷售利潤問題：①常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；②每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數(shù)量為（5）幾何面積問題（1）如圖①，設(shè)空白部分的寬為x,則；（2）如圖②，設(shè)陰影道路的寬為x,則（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則（6）動點與幾何問題關(guān)鍵是將點的運動關(guān)系表示出來，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.母題精講母題精講【典例1】（2022?西藏）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，∴，解得：m≥且m≠1．故選：D．【典例2】（2020?黔西南州）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了個人．【答案】10【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人．依題意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了10人．【典例3】（2022?青海）如圖，小明同學(xué)用一張長11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為21cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計）．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為．【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21【解答】解：由題意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，故答案為：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21 【典例4】（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【典例5】（2021?日照）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，將點（1，110）、（3，130）代入一次函數(shù)關(guān)系式得：，解得：，故函數(shù)的關(guān)系式為：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由題意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：這種消毒液每桶實際售價43元．【典例6】（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【解答】解：（1）設(shè)將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m．（2）設(shè)將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．【典例7】（2022?南岸區(qū)自主招生）北京冬奧會期間，某商店購進600個紀念品，每個紀念品的進價為6元，第一周以每個10元的價格售出200個．第二周商店為了適當(dāng)增加銷售量，決定降價銷售．根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個（售價不得低于進價）．第三周商店把每個紀念品的售價再在第二周售價的基礎(chǔ)上降低20%，剩余紀念品全部售完．注：銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價）（1）若第二周每個紀念品降價m元，用含m的代數(shù)式表示這批紀念品第二周的銷售利潤；（2）若前兩周商店銷售這批紀念品的利潤為1400元，求第二周每個紀念品的售價；（3）若這批紀念品共獲得銷售利潤1730元，求這批紀念品第三周的銷售數(shù)量．【解答】解：（1）依題意得：第二周每個紀念品的銷售利潤為（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，銷售量為（200+50m）個，∴這批紀念品第二周的銷售利潤為（4﹣m）（200+50m）元．（2）依題意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，整理得：m2﹣4＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合題意，舍去），∴10﹣m＝10﹣2＝8．答：第二周每個紀念品的售價為8元．（3）依題意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，整理得：m2+26m﹣27＝0，解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合題意，舍去），∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．答：這批紀念品第三周的銷售數(shù)量為150個．真題精選真題精選命題1命題1一元二次方程的解法1．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故選：B．2．（2022?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．【答案】x1＝2，x2＝﹣7【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．3．（2021?蘭州）解方程：x2+4x﹣1＝0．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0∴x2+4x＝1∴x2+4x+4＝1+4∴（x+2）2＝5∴x＝﹣2±∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．命題2命題2一元二次方程根的判別式4．（2022?郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．5．（2022?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故選：B．6．（2022?安順）定義新運算a*b：對于任意實數(shù)a，b滿足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】B【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．命題3命題3一元二次方程的實際應(yīng)用7．（2022?河池）某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個，若設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x．則所列方程為（）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50【答案】A【解答】解：設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x，由題意得，30（1+x）2＝50．故選：A．8．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【解答】解：設(shè)共有x支隊伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊伍參加比賽．故選：B．9．（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設(shè)該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【答案】A【解答】解：依題意得6.2（1+x）2＝8.9，故選：A．10．（2019?廣西）揚帆中學(xué)有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【答案】D【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故選：D．11．（2021?沈陽）某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，使得團體操表演隊伍增加的行、列數(shù)相同，求增加了多少行或多少列？【解答】解：設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x列，根據(jù)題意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，整理，得：x2+14x﹣51＝0，解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），答：增加了3行3列．12．（2022?眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊