《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修2)教師用書：4.3直線和圓的位置關(guān)系-講義

第3課時直線和圓的位置關(guān)系1.理解直線與圓的位置關(guān)系的種類.2.利用平面直角坐標(biāo)系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3.會用方程思想(判別式法)或點到直線的距離來推斷直線與圓的位置關(guān)系.重點:利用代數(shù)法和幾何法推斷直線與圓的位置關(guān)系;直線與圓相交時求解相交弦的問題.難點:推斷直線與圓的位置關(guān)系的方法選擇.一艘船在沿直線返回港口的途中,接到臺風(fēng)預(yù)報:臺風(fēng)中心位于船正西70千米處,受影響的范圍是半徑為30千米的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40千米處,假如這艘船不轉(zhuǎn)變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)影響?這個問題可歸結(jié)為直線和圓是否有公共點的問題,也是我們這節(jié)課爭辯的對象.問題1:直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.

推斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法:(1)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程與圓的方程消去x或y整理成一元二次方程后,計算判別式Δ,當(dāng)判別式Δ<0時,直線和圓相離;當(dāng)判別式Δ=0時,直線和圓相切;當(dāng)判別式Δ>0時,直線和圓相交.

(2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相離.

問題2:過確定點是否都存在圓的切線?假如存在,如何求圓的切線方程?(1)若點在圓內(nèi),此時直線和圓相交,不存在圓的切線.(2)若點在圓上,則過該點的切線只有一條,切線方程求法如下:

①直接法,先求該點與圓心的連線的斜率,再利用垂直關(guān)系求出切線斜率,最終用點斜式求出切線方程.②設(shè)元法,先設(shè)出切線方程(留意斜率不存在時的爭辯),再利用圓心到切線的距離等于半徑,求出所設(shè)參數(shù).③公式法,設(shè)A(x0,y0)是圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的一點,則過點A的切線方程為:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特殊地,當(dāng)圓心在原點時,即:A(x0,y0)是圓x2+y2=r2上一點,則過點A的切線方程為:x0x+y0y=r2.

(3)若點在圓外,則過該點的切線有兩條,切線方程求法如下:

首先分析斜率不存在是否滿足條件,再分析斜率存在時:設(shè)斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑求出斜率,從而求出切線方程.問題3:計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何法:運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算.(2)代數(shù)法:運用韋達定理及兩點距離公式有|AB|=

·|xA-xB|=.

問題4:用直線與圓的學(xué)問解決實際問題的步驟(1)認真審題,理解題意;(2)引入數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型;

(3)用直線與圓的學(xué)問解決已建立的數(shù)學(xué)模型;(4)用結(jié)果解釋實際問題.

北京時間2022年7月28日凌晨,第三十屆夏季奧林匹克運動會在英國倫敦開幕,開幕式藝術(shù)總監(jiān)丹尼·博伊爾以“奇跡之島”為主題,向全世界奉獻了一場視覺盛宴,其中讓我們難忘的是其次章《喧囂》——提前鑄造的巨型的圓環(huán)漸漸飄向空中,發(fā)出彩色光線的五環(huán)就像是工業(yè)革命時代的產(chǎn)物,濺射著火星,漸漸地聚集在一起.1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是().A.相交B.相切C.相離 D.相切或相交【解析】∵d==1<4,∴直線與圓的位置關(guān)系是相交.【答案】A2.自點A(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,則切線長為().A. B.3C. D.5【解析】由于過圓外一點作圓的切線,兩條切線長相等,故切線長為=3,或2-(-1)=3.【答案】B3.若直線y=kx+2與圓(x-2)2+(y-3)2=1有兩個不同的交點,則k的取值范圍是.

【解析】依題意有<1,解得0<k<,∴k的取值范圍是(0,).【答案】(0,)4.過原點作圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線,求切線方程.【解析】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,所以圓與坐標(biāo)軸相切,所以切線方程為x=0或y=0.圓的切線方程已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.【方法指導(dǎo)】可依據(jù)切線與過切點的直徑的垂直關(guān)系求解.【解析】(法一)當(dāng)點M不在坐標(biāo)軸上時,設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,∵圓的切線垂直于過切點的半徑,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴經(jīng)過點M的切線方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵點M(x0,y0)在圓上,∴+=r2.∴所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上時,可以驗證上面的方程同樣適用.(法二)設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點,當(dāng)P與M不重合時,△OPM為直角三角形,OP為斜邊,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當(dāng)P與M重合時同樣適合上式,故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.(法三)設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點(M與P不重合),當(dāng)點M不在坐標(biāo)軸上時,由OM⊥MP得kOM·kMP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以驗證,當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上時,同樣適合上式;當(dāng)P與M重合時亦適合上式.故所求的切線方程是x0x+y0y=r2.【小結(jié)】(1)求圓的切線方程一般有三種方法:①設(shè)切線斜率,利用判別式,但過程冗長,計算簡潔,易出錯,通常不接受此法,但該法卻是推斷直線和曲線相切的通法,以后會經(jīng)常用到;②設(shè)切線斜率,利用圓心到直線的距離等于半徑;③設(shè)切點,利用過圓心和切點的直線與切線垂直.前兩種方法要驗證斜率是否存在.(2)過圓外一點可作圓的兩條切線.求圓的弦長求直線x-y+2=0被圓x2+y2=4截得的弦長.【方法指導(dǎo)】利用代數(shù)方法求出交點,或利用幾何方法構(gòu)造關(guān)系求解.【解析】(法一)直線x-y+2=0和圓x2+y2=4的公共點坐標(biāo)就是方程組的解.依據(jù)x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共點坐標(biāo)為(-,1)和(0,2),直線x-y+2=0被圓x2+y2=4截得的弦長為=2.(法二)如圖,設(shè)直線x-y+2=0與圓x2+y2=4交于A,B兩點,弦AB的中點為M,則OM⊥AB(O為坐標(biāo)原點),所以O(shè)M==,所以AB=2AM=2=2=2.【小結(jié)】在本題的兩種方法中,前一種方法是代數(shù)法,后一種方法是幾何法.在處理與直線和圓相交形成的弦的有關(guān)問題時,我們經(jīng)常用到如下解法:(1)設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),代入圓的方程后尋求坐標(biāo)與弦的關(guān)系,然后加以求解;(2)涉及圓的弦長問題時,為了簡化運算,常利用垂徑定理或半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進行運算.利用圓的方程求最值已知實數(shù)x,y滿足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.【方法指導(dǎo)】將代數(shù)式3x2+4y2轉(zhuǎn)化為x或y的一元二次關(guān)系式,再求出其最值,應(yīng)留意圓的方程x,y中有其限制.【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8時有最大值64,沒有最小值.[問題]在圓的方程中變量x的取值范圍是R嗎?[結(jié)論]將x=8代入圓方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,沖突,所以上述解法是錯誤的.由于y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值范圍不是R.于是,正確解答為:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以當(dāng)x=y=0時,3x2+4y2取得最小值0;當(dāng)x=4,y=0時,3x2+4y2取得最大值48.【小結(jié)】確定圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的變量的取值范圍的方法:先配方,再依據(jù)平方項非負來確定.圓的方程中變量的范圍一般是以隱含條件的形式毀滅在試題中,因此在解題時留意挖掘出這個隱含條件.求過點P(4,5)的圓(x-2)2+y2=4的切線方程.【解析】把點P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即點P在圓(x-2)2+y2=4外.設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圓心坐標(biāo)為(2,0),r=2,由圓心到切線的距離等于半徑,得=2,解得k=.將k代入所設(shè)方程得此時切線方程為21x-20y+16=0.當(dāng)直線的斜率不存在時,還有一條切線是x=4.因此切線方程為x=4或21x-20y+16=0.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點,且AB=2時,求直線l的方程【解析】將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到標(biāo)準(zhǔn)方程x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為C(0,4),半徑為2.(法一)過圓心C作CD⊥AB交AB于點D,則依據(jù)題意和圓的性質(zhì),得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直線l的方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)聯(lián)立方程組消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=Δ=-16(4a+3)>0,即a<-設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,由韋達定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直線l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.已知點P(x,y)在圓x2+(y-1)2=1上運動,則的最大值為;最小值為.

【解析】由于表示的幾何意義是圓上的動點與(2,1)連線的斜率,所以設(shè)=k,即kx-y+1-2k=0,當(dāng)直線與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時=1,解得k=±.所以的最大值為,最小值為-.【答案】-1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是().A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離【解析】由于圓心(0,0)到直線x-y+1=0的距離d=<1,故直線與圓相交,又(0,0)不在直線上,所以直線不過圓心.【答案】B2.圓C:x2+y2-4x=0在點P(1,)處的切線方程為().A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0 D.x-y+2=0【解析】由于點P在圓C上,kPC=-,所以切線的斜率為,所以切線方程為y-=(x-1),即x-y+2=0.【答案】D3.直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實數(shù)m等于.

【解析】由題設(shè)知圓心坐標(biāo)為(1,0),由于直線與圓相切,所以d==r=,解得m=或-3.【答案】-3或4.已知圓x2+y2=8內(nèi)一點P(-1,2),過點P的直線l的傾斜角為135°,直線l交圓于A、B兩點,求AB的長.【解析】∵kAB=-1,∴直線AB的方程為y-2=