2021高中數(shù)學(xué)(人教A版)選修2-2課時(shí)作業(yè)20

課時(shí)作業(yè)(二十)一、選擇題1．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類(lèi)比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出全部三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的全部椅子都?jí)牧刷苋切蝺?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①② B．①③④C．①②④ D．②④答案C2．下列說(shuō)法正確的是()A．類(lèi)比推理是從一般到一般的推理B．類(lèi)比推理是從個(gè)別到個(gè)別的推理C．類(lèi)比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理D．類(lèi)比推理是從個(gè)別到一般的推理答案C3．平面內(nèi)平行于同始終線的兩直線平行，由類(lèi)比推理，我們可以得到()A．空間中平行于同始終線的兩直線平行B．空間中平行于同一平面的兩直線平行C．空間中平行于同始終線的兩平面平行D．空間中平行于同一平面的兩平面平行答案D4．在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d≠0，則有a4a6>a3a7.類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，則關(guān)于b5，b7，b4，bA．b5b7>b4b8 B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8 D．b7＋b8<b4＋b5答案C二、填空題5．正方形面積為邊長(zhǎng)的平方，則立體幾何中，與之類(lèi)比的圖形是________，結(jié)論是________．答案正方體正方體的體積為邊長(zhǎng)的立方6．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長(zhǎng)C(r)＝2πr，若將r看做(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr.①①式可用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)．對(duì)于半徑R的球，若將R看做(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于①的式子：_______________________________________；②式可用語(yǔ)言敘述為_(kāi)_____________________________．答案①(eq\f(4,3)πR3)′＝4πR2②球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)7．如圖(1)有關(guān)系eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，如圖(2)有關(guān)系：eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝________.答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)8．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類(lèi)比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝__________.類(lèi)比過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為_(kāi)_______．答案πabeq\f(x1x,a2)＋eq\f(y1y,b2)＝19．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類(lèi)比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則dn＝________時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．答案eq\r(n,c1c2…cn)10．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)積為T(mén)n，類(lèi)比等差數(shù)列的性質(zhì)，填寫(xiě)等比數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)(m，n，k，ω∈N*)．等差數(shù)列等比數(shù)列an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)d若m＋n＝k＋ω，則an＋an＝ak＋aω若m＋n＝2ω，則am＋an＝2aSn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列答案an＝a1·qn－1an＝am·qn－mam·an＝ak·aωam·an＝aeq\o\al(2,ω)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列11．如圖甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB2＝BD·BC，該結(jié)論稱(chēng)為射影定理．如圖乙，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內(nèi)，類(lèi)比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD之間滿(mǎn)足的關(guān)系式是________．思路分析常用方法：(1)將點(diǎn)擴(kuò)展為線；(2)將線(邊長(zhǎng))擴(kuò)展為面(面積)；(3)將面(面積)擴(kuò)展為體(體積)．解析連接DO延長(zhǎng)交BC于E，連接AE.∵AD⊥面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥面ABC，∴AO⊥BC.∴BC⊥面ADO，即BC⊥面ADE.∴BC⊥AE.在△ADE中，由射影定理，得AE2＝EO·ED.∴(eq\f(1,2)BC·AE)(eq\f(1,2)BC·AE)＝(eq\f(1,2)BC·EO)(eq\f(1,2)BC·ED)．∴Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD.12．對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”，仿此，記53的“分裂”中的最小數(shù)為a，而52的“分裂”中最大的數(shù)是b，則a＋b＝________.答案30三、解答題13．觀看等式sin220°＋sin240°＋sin20°·sin40°＝eq\f(3,4)；sin228°＋sin232°＋sin28°·sin32°＝eq\f(3,4).請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)與以上兩個(gè)等式規(guī)律相同的等式．解析∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝eq\f(1,2)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴歸納到一般有：“若α＋β＝γ，則sin2α＋sin2β＋sinα·sinβ＝sin2γ”．?重點(diǎn)班·選做題14.如右圖所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1.證明此結(jié)論，并通過(guò)類(lèi)比寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論，并加以證明．解析P為三棱錐A－BCD內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，ha，hb，hc，hd分別是相應(yīng)四個(gè)面上的高．求證：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1.證明如下：eq\f(Pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCDPa,\f(1,3)·S△BCD·ha)＝eq\f(VP－BCD,VABC)，同理eq\f(Pb,hb)＝eq\f(VP－ABC,V)＝eq\f(VP－CBD,V)，eq\f(Pc,hc)＝eq\f(VP－ADC,V)，eq\f(Pd,hd)＝eq\f(VP－ABD,V).∴eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝eq\f(VP－BCD＋VP－ABC＋VP－ADC＋VP－ABD,V)＝1.故結(jié)論正確．1．(1)已知a、b為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b.(2)已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.解析(1)兩邊作差，得ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)．∵|a|<1，|b|<1，則(a－1)(b－1)>0.∴ab＋1>a＋b.(2)如圖點(diǎn)P為斜三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于MPN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.①求證：CC1⊥MN；②在任意△DEF中，有余弦定理DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間，類(lèi)比三角形中的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．解析(1)證明略．(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A其中α為平面CC1B1B與平面CC1A∵CC1⊥平面PMN，∴α＝∠MNP.在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcosα，得