【創(chuàng)新設(shè)計】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點突破：第12篇-第5講-復(fù)數(shù)

第5講復(fù)數(shù)[最新考綱]1．理解復(fù)數(shù)的基本概念．2．理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．3．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．4．會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算．5．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.知識梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up12(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o(→,\s\up7(一一對應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up7(一一對應(yīng)))平面對量eq\o(OZ,\s\up12(→)).3．復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．辨析感悟1．對復(fù)數(shù)概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材習(xí)題改編)復(fù)數(shù)1－i的實部是1，虛部是－i.(×)2．對復(fù)數(shù)幾何意義的生疏(4)原點是實軸與虛軸的交點．(√)(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．(√)(6)(2021·福建卷改編)已知復(fù)數(shù)z的共復(fù)軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限．(×)3．對復(fù)數(shù)四則運算的理解(7)(教材習(xí)題改編)eq\f(1,i)＝－i.(√)(8)(2021·浙江卷改編)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)[感悟·提升]1．兩點提示一是在實數(shù)范圍內(nèi)無解的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都有解，且方程的根成對消滅，如(1)；二是兩個虛數(shù)不能比較大小，如(2)．2．兩條性質(zhì)(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.同學(xué)用書第213頁考點一復(fù)數(shù)的概念【例1】(1)(2021·山東卷)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)為()．A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)(2021·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4－3i|，則z的虛部為()．A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)解析(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝eq\f(5,2－i)＋3＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.故選D.(2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5.∴z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(3＋4i,5)，∴z的虛部為eq\f(4,5).答案(1)D(2)D規(guī)律方法處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準復(fù)數(shù)的實部和虛部，從定義動身，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理．【訓(xùn)練1】(1)設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的()．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為()．A．0B．－1C．1D．－2解析(1)ab＝0?a＝0或b＝0，這時a＋eq\f(b,i)＝a－bi不肯定為純虛數(shù)，但假如a＋eq\f(b,i)＝a－bi為純虛數(shù)，則有a＝0且b≠0，這時有ab＝0，由此知選B.(2)∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虛部為0.答案(1)B(2)A考點二復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)(2021·湖南卷)復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i2,i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()．A．25B.eq\r(41)C．5D.eq\r(5)解析(1)z＝i＋i2＝－1＋i，對應(yīng)的點為(－1,1)，位于復(fù)平面其次象限．(2)∵z＝eq\f(4－4i－1,i)＝eq\f(3－4i,i)＝eq\f(3－4ii,i·i)＝eq\f(4＋3i,－1)＝－4－3i，∴|z|＝eq\r(－42＋－32)＝5.答案(1)B(2)C規(guī)律方法要把握復(fù)數(shù)的幾何意義就要搞清楚復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點以及向量三者之間的一一對應(yīng)關(guān)系，從而精確?????理解復(fù)數(shù)的“數(shù)”與“形”的特征．【訓(xùn)練2】(1)(2021·四川卷)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()．A．AB．BC．CD．D(2)(2021·湖北卷)i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________.解析(1)設(shè)z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝－a－bi，它的對應(yīng)點為(－a，－b)，是第三象限的點，故選B.(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi與點(a，b)一一對應(yīng)．∵點(a，b)關(guān)于原點對稱的點為(－a，－b)，則復(fù)數(shù)z2＝－2＋3i.答案(1)B(2)－2＋3i同學(xué)用書第214頁考點三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算【例3】(1)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝________.(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i)＝________.(3)已知復(fù)數(shù)z滿足eq\f(i,z＋i)＝2－i，則z＝________.解析(1)法一|z|＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i2|)＝eq\f(1,2)，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,4).法二z＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(i,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(i,4)))＝eq\f(1,4).(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i3i5－4i,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i4i,2)＝eq\r(2)i(1＋i)4＝eq\r(2)i[(1＋i)2]2＝eq\r(2)i(2i)2＝－4eq\r(2)i.(3)由eq\f(i,z＋i)＝2－i，得z＝eq\f(i,2－i)－i＝eq\f(i2＋i,5)－i＝eq\f(2,5)i－eq\f(1,5)－i＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i.答案(1)eq\f(1,4)(2)－4eq\r(2)i(3)－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i規(guī)律方法在做復(fù)數(shù)的除法時，要留意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)將分母實數(shù)化．【訓(xùn)練3】(1)(2022·臨沂模擬)設(shè)z＝1＋i，則eq\f(2,z)＋z2等于()．A．1＋iB．－1＋iC．－iD．－1－i(2)(2021·安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，則z＝()．A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析(1)eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(21－i,2)＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z·eq\x\to(z)i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，故2＝2a，a2＋b2＝2解得a＝1，b＝1即z＝1＋i.答案(1)A(2)A1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．2．在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)留意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合．3．要記住一些常用的結(jié)果，如i，－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i的有關(guān)性質(zhì)等，可簡化運算步驟提高運算速度．思想方法12——解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想【典例】(2021·天津卷)已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，則a＋bi＝________.解析(a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0,a＋1＝b))解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i.答案1＋2i[反思感悟](1)復(fù)數(shù)相等是一個重要概念，它是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的重要工具，通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，借助兩個復(fù)數(shù)相等，可以列出方程(組)來求未知數(shù)的值．(2)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法．【自主體驗】1．(2022·濱州模擬)已知eq\f(a－2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，則a－b＝()．A．1B．2C．－1D．－3解析a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.答案A2．(2022·湖北卷)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b＝________.解析由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,b－a＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案3對應(yīng)同學(xué)用書P387基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2021·北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2－i)2對應(yīng)的點位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，對應(yīng)的點為(3，－4)，位于第四象限，故選D.答案D2．(2021·廣東卷)若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2＋4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是()．A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)解析由已知條件得z＝eq\f(2＋4i,i)＝4－2i，所以z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(4，－2)，故選C.答案C3．(2022·武漢模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(3－4i)(1＋2i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()．A．－2B．2C．－2iD．2i解析z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為2.答案B4．(2021·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2i，則z＝()．A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析由題意得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i·1＋i,2)＝－1＋i，故選A.答案A5．(2021·陜西卷)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()．A．若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析A中，|z1－z2|＝0，則z1＝z2，故eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，成立．B中，z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，則|z1|2＝|z2|2，即z1eq\x\to(z)1＝z2eq\x\to(z)2，C正確．D不肯定成立，如z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2，則|z1|＝2＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝－2＋2eq\r(3)i，zeq\o\al(2,2)＝4，zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D二、填空題6．(2021·江蘇卷)設(shè)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為________．解析∵z＝(2－i)2＝3－4i，∴|z|＝eq\r(32＋－42)＝5.答案57．(2022·鄭州模擬)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))4＝________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,－2i)))2＝1.答案18．(2021·上海卷)設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，則m＝________.解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))解得m＝－2.答案－2三、解答題9．已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2.解(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)，則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.10．當(dāng)實數(shù)m為何值時，z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2＋5m＋6)i，(1)為實數(shù)；(2)為虛數(shù)；(3)為純虛數(shù)；(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的其次象限．解(1)若z為實數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m＋3≠0，))解得m＝－2.(2)若z為虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6≠0，,m＋3≠0，))解得m≠－2且m≠－3.(3)若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6≠0，,\f(m2－m－6,m＋3)＝0，))解得m＝3.(4)若z對應(yīng)的點在其次象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＜0，,m2＋5m＋6＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－3或－2＜m＜3，,m＜－3或m＞－2，))∴m＜－3或－2＜m＜3.力量提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(2022·陜西師大附中模擬)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＝()．A．－iB．iC．－1D．1解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))2014＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－i2,1＋i1－i)))2014＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2i,2)))2014＝(－i)2104＝i2014＝i4×503＋2＝－1.答案C2．方程x2＋6x＋13＝0的一個根是()．A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i解析法一x＝eq\f(－6±\r(36－52),2)＝－3±2i.法二令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＋6a＋13＝0，,2ab＋6b＝0，))解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.答案A二、填空題3．(2022·北京西城模擬)定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc.若復(fù)數(shù)x＝eq\f(1－i,1＋i)，y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(xi),\s\do5(x＋i))))，則y＝________.解析由于x＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,2)＝－i.所以y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(xi),\s\do5(x＋i))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(4i),\s\do5(2))\o(\s\up7(1),\s\do5(0))))＝－2.答案－2三、解答題4.如圖，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)，eq\o(BC,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)；(3)求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解(1)eq\o(AO,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))，∴eq\o(AO,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))，∴eq\o(BC,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(CA,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(OB,\s\up12(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.基礎(chǔ)回扣練——推理證明、算法、復(fù)數(shù)(對應(yīng)同學(xué)用書P389)(建議用時：60分鐘)一、選擇題1．(2021·湖北卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，eq\x\to(z)＝1－i，對應(yīng)點(1，－1)在第四象限．答案D2．(2021·遼寧卷)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2解析z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(－1－i,－1＋i－1－i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).答案B3．(2021·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i為虛數(shù)單位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，則復(fù)數(shù)z＝()．A．－2iB．2iC．－4iD．4i解析由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，選C.答案C4．(2022·佛山二模)已知復(fù)數(shù)z的實部為1，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部是()．A．－eq\r(3)B.eq\r(3)iC．±eq\r(3)iD．±eq\r(3)解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±eq\r(3).答案D5．(2022·青島一模)某程序框圖如圖所示，若a＝3，則該程序運行后，輸出的x值為()．A．15B．31C．62D．63解析第一次循環(huán)：x＝2×3＋1＝7，n＝2；其次次循環(huán)：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循環(huán)：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此時不滿足條件，輸出x＝31.答案B6．(2022·鄭州一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出n的值為()．A．6B．5C．4D．3解析第一次循環(huán)，n＝1，S＝1＋2＝3；其次次循環(huán)，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循環(huán)，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循環(huán)，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此時滿足條件，輸出n＝4.答案C7．(2021·江西卷)閱讀如下程序框圖，假如輸出i＝5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為()．A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排解D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排解A和B，故選C.答案C8.(2022·咸陽模擬)某算法的程序框圖如圖所示，假如輸出的結(jié)果為5,57，則推斷框內(nèi)應(yīng)為()．A．k≤6?B．k＞4?C．k＞5?D．k≤5?解析當(dāng)k＝1時，S＝2×0＋1＝1；當(dāng)k＝2時，S＝2×1＋2＝4；當(dāng)k＝3時，S＝2×4＋3＝11；當(dāng)k＝4時，S＝2×11＋4＝26；當(dāng)k＝5時，S＝2×26＋5＝57，由題意知此時退出循環(huán)，因而選B.答案B9．(2022·福州質(zhì)檢)將正奇數(shù)1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列規(guī)律，89所在的位置是()．A．第一列B．其次列C．第三列D．第四列解析正奇數(shù)從小到大排，則89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案D10．(2021·長沙模擬)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四周體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為()．A．S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)B．S2＝eq\f(1,S\o\al(2,1))＋eq\f(1,S\o\al(2,2))＋eq\f(1,S\o\al(2,3))C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)解析如圖，作OD⊥BC于點D，連接AD，由立體幾何學(xué)問知，AD⊥BC，從而S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·AD))2＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1,4)BC2·(OA2＋OD2)＝eq\f(1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4)BC2·OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OB·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC·OA))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC·OD))2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).答案A二、填空題11．(2021·重慶卷)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i,1＋2i)，則|z|＝________.解析z＝eq\f(5i,1＋2i)＝eq\f(5i1－2i,1＋2i1－2i)＝2＋i，∴|z|＝eq\r(5).答案eq\r(5)12．(2022·茂名一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________.解析eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i，由題意知：eq\f(2－a,5)＝0，∴a＝2.答案213．(2022·湖南十二校二聯(lián))為調(diào)查長沙市中同學(xué)平均每人每天參與體育熬煉時間(單位：分鐘)，按熬煉時間分下列四種狀況統(tǒng)計：①0～10分鐘；②11～20分鐘；③21～30分鐘；④30分鐘以上．有10000名中同學(xué)參與了此項活動，如圖是此次調(diào)查中某一項的流程圖，其輸出的結(jié)果是6200，則平均每天參與體育熬煉時間在0～20分鐘內(nèi)的同學(xué)的頻率是________．解析由已知得，輸出的數(shù)據(jù)為體育熬煉時間超過20分鐘的同學(xué)數(shù)6200，故熬煉時間不超過20分鐘的同學(xué)數(shù)為10000－6200＝3800，由古典概型的概率計算公式可得，P＝eq\f(3800,10000)＝0.38.故所求頻率是0.38.答案0.3814．(2022·泰安一模)若程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出k的值為________．解析第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；其次次：n＝eq\f(16,2)＝8，k＝2；第三次：n＝eq\f(8,2)＝4，k＝3；第四次：n＝eq\f(4,2)＝2，k＝4；第五次：n＝eq\f(2,2)＝1，