【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪專項強化訓練(六)概率與統(tǒng)計的綜合問題-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。專項強化訓練(六)概率與統(tǒng)計的綜合問題1.(2021·寧德模擬)某校高二班級在數(shù)學必修模塊考試后隨機抽取40名同學的成果,按成果共分為五組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100),得到的頻率直方圖如圖所示,同時規(guī)定成果在90分以上(含90分)的記為A級,成果小于90分的記為B級.(1)假如用分層抽樣的方法從成果為A和B的同學中共選出10人,求成果為A和B的同學各選出幾人.(2)已知a是在(1)中選出的成果為B的同學中的一個,若從選出的成果為B的同學中選出2人參與某問卷調(diào)查,求a被選中的概率.【解析】(1)依題意,成果為A級的同學人數(shù)是40×(0.04+0.02)×5=12(人),成果為B級的同學人數(shù)是40-12=28(人),由于分層抽樣的抽取比例為1040=14,故成果為A級的同學抽取出12×成果為B級的同學抽取出28×14(2)將(1)中選取的成果為B級的同學記作:a,b,c,d,e,f,g.則從這7人中選取2人的基本大事有:ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,eg,fg共21個.其中含a的基本大事有:ab,ac,ad,ae,af,ag共6個.記大事A=“同學a被選中”,則其概率P(A)=621=22.(2021·邯鄲模擬)為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關,現(xiàn)對30名六班級同學進行了問卷調(diào)查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500mL以上為常喝,體重超過50kg為肥胖.常喝不常喝總計肥胖2不肥胖18總計30已知在全部30人中隨機抽取1人,抽到肥胖的同學的概率為415(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整.(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為肥胖與常喝碳酸飲料有關?說明你的理由.(3)現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的同學中(2名女生),抽取2人參與電視節(jié)目,則正好抽到一男一女的概率是多少?參考數(shù)據(jù):P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式:K2=n(ad-bc【解析】(1)設常喝碳酸飲料肥胖的同學有x人,x+230=常喝不常喝總計肥胖628不肥胖41822總計102030(2)由已知數(shù)據(jù)可求得:k=30(6×18-2×4)因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為肥胖與常喝碳酸飲料有關.(3)設常喝碳酸飲料的肥胖者男生為A,B,C,D,女生為E,F,則任取兩人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15種.其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是P=8153.(2021·合肥模擬)某保險公司利用簡潔隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下:賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估量賠付金額大于投保金額的概率.(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估量在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.【解析】(1)總車輛數(shù)n=500+130+100+150+120=1000.賠付金額0,1000,2000,3000,4000大于投保金額2800元有:3000,4000元,分別對應車輛數(shù)為150,120.所以賠付金額大于投保金額2800元的概率P=150+1201000=(2)新司機總人數(shù)m=1000×10100=100(人),賠付金額為4000元的新司機為120×20100=24(人),所以在投保中,賠付金額為4000元的新司機所占概率P=4.空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,代表空氣污染越嚴峻:PM2.5日均濃度0～3535～7575～115115～150150～250>250空氣質(zhì)量級別一級二級三級四級五級六級空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴峻污染某市2021年3月8日至4月6日(30天)對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行檢測,獲得數(shù)據(jù)后整理得到如圖條形圖:(1)估量該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率.(2)從空氣質(zhì)量級別為三級和四級的數(shù)據(jù)中任取2個,求至少有一天空氣質(zhì)量類別為中度污染的概率.【解析】(1)從空氣質(zhì)量條形圖可知:這月30天中,空氣質(zhì)量為二級(即空氣質(zhì)量為良)的天數(shù)為16天,所以該城市一個月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率為1630=8(2)樣本中空氣質(zhì)量級別為三級的有4天,設其編號為a,b,c,d;樣本級別為四級的有2天,設其編號為e,f.則基本大事有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15個.其中至少有一天空氣質(zhì)量類別為中度污染的狀況有:(a,e),(b,e),(c,e),(d,e),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f)共9個,所以至少有一天空氣質(zhì)量類別為中度污染的概率為915=35.2022年春節(jié)期間,高速大路車輛劇增.高管局測控中心在一特定位置從七座以下小型汽車中按先后挨次,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛進行電子測速調(diào)查,將它們的車速(km/h)分成六段[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110)后得到如圖的頻率分布直方圖.(1)測控中心在采樣中,用到的是什么抽樣方法?并估量這40輛車車速的中位數(shù).(2)從車速在[80,90)的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在[85,90)的車輛數(shù)為0的概率.【解析】(1)測控中心在采樣中,用到的是系統(tǒng)抽樣方法.設中位數(shù)的估量值為x,則0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-95)=0.5,解得x=97.5,即中位數(shù)的估量值為97.5.(2)從圖中可知,車速在[80,85)的車輛數(shù)為m1=0.01×5×40=2(輛),分別記為B1,B2;車速在[85,90)的車輛數(shù)為m2=0.02×5×40=4(輛),分別記為A1,A2,A3,A4,從這6輛車中隨機抽取兩輛共有15種狀況:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).抽出的2輛車中車速在[85,90)的車輛數(shù)為0的只有(B1,B2)一種,故所求的概率P=1156.(2021·南平模擬)設f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù),若對任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,設f(x)=ax,g(x)=bx(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率.(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率.【解析】(1)設大事A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”,則|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])全部的狀況有:x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,4x+共6種且每種狀況被取到的可能性相同.又當a>0,b>0時,y=ax+bx在0,b且y=x-1x和y=4x-1x在(0,+所以對x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的狀況有x-1x,x+1x,x+4x故大事A包含的基本大事有4種,所以P(A)=46=23,故所求概率是(2)設大事B表示f(x)和g(x)是“友好