2022屆《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)(文科)(浙江專用)-第四章-三角函數(shù)、解三角形-4-4

第4講平面對量的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．10解析∵eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，∴四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up8(→))|·|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.答案C2．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，則△ABC的外形確定是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析由(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，得eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝0,2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BA,\s\up8(→))，∴A＝90°.又依據(jù)已知條件不能得到|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，故△ABC確定是直角三角形．答案C3．(2022·溫州調(diào)研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A．2eq\r(3) B．2C．－2eq\r(3) D．－2解析由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(22＋22－2\r(3)2,2×2×2)＝－eq\f(1,2)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|cosA＝2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2，故選D.答案D4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).答案D5．(2021·杭州質(zhì)量檢測)設(shè)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)．若eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，則∠BAC的度數(shù)等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→)).由題意得3eq\o(AO,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))，∴AD為BC的中線且O為重心．又O為外心，∴△ABC為正三角形，∴∠BAC＝60°，故選C.答案C二、填空題6．(2021·廣州綜合測試)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝2，則邊AB的長等于________．解析由題意知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝4，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2.答案27．(2022·天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，則eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))的最大值為________．解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C(1,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，設(shè)E(x,0)，x∈[0,1]，則eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))＝(1－x,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq\f(1,2)，x∈[0,1]單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0時，eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))取得最大值eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．(2021·太原模擬)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，－1)，則|2a－b|的最大值與最小值的和為________．解析由題意可得a·b＝eq\r(3)cosθ－sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，則|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2－4a·b)＝eq\r(8－8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4.答案4三、解答題9．(2021·杭州其次中學(xué)模擬)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,2)))，b＝(cosx，－1)．(1)當(dāng)a∥b時，求tan2x的值；(2)求函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的值域．解(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－eq\f(3,2)·cosx＝0，即sinx＋eq\f(3,2)cosx＝0，tanx＝－eq\f(3,2)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(12,5).(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－eq\f(3,2)＋cos2x＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵－eq\f(π,2)≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－eq\f(3π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤eq\f(1,2)，∴f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(1,2))).10．(2022·陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)．(1)若m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up8(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)∵m＝n＝eq\f(2,3)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2,1)，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(1,2)＋eq\f(2,3)(2,1)＝(2,2)，∴|eq\o(OP,\s\up8(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).(2)∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))兩式相減，得m－n＝y(tǒng)－x.令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點(diǎn)B(2,3)時，t取得最大值1，故m－n的最大值為1.力氣提升題組(建議用時：35分鐘)11．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(7),12)πC.eq\f(\r(7),6)π D.eq\f(\r(7),3)π解析由題意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，A))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－A))，又eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝eq\f(π,12)×eq\f(7,12)π－A2＝0，∴A＝eq\f(\r(7),12)π.答案B12．(2021·舟山聯(lián)考)已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0≤eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OM,\s\up8(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))≤1，則z＝eq\o(OQ,\s\up8(→))·eq\o(OP,\s\up8(→))的最大值為________．解析eq\o(OP,\s\up8(→))＝(x，y)，eq\o(OM,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(ON,\s\up8(→))＝(0,1)，∴eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OM,\s\up8(→))＝x＋y，eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝y(tǒng)，即在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋y≤1，,0≤y≤1))條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃學(xué)問，當(dāng)x＝0，y＝1時，zmax＝3.答案313．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AQ,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2，則λ＝________.解析∵eq\o(BQ,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2?[(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))]·[λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))]＝－2，化簡得(1－λ)λeq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))2－λeq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－2，又由于eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))2＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))2＝1，所以解得λ＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14．(2021·紹興五校聯(lián)考)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4))).(1)若m·n＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))的值；(2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC，求函數(shù)f(A解m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2)×coseq\f(x,2)＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(1)∵m·n＝1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，B＝eq\f(π,3).∴0＜A＜eq\f(2π,3).∴eq\f(π,6)＜eq\f(A,2)＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)，eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＜1.又∵f(x)＝m·n＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴f(A)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，故1＜f(A)＜eq\f(3,2).故函數(shù)f(A)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).15．如圖所示，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的一動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且eq\o(QP,\s\up8(→))·eq\o(QF,\s\up8(→))＝eq\o(FP,\s\up8(→))·eq\o(FQ,\s\up8(→)).(1)求動點(diǎn)P的軌