【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1雙基限時(shí)練13

雙基限時(shí)練(十三)1．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析依題意a＋b＝eq\r(2)c，a＝2，又a2＋b2＝c2，解得b＝2，又焦點(diǎn)在y軸上，∴雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1.答案B2．雙曲線eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1的兩條漸近線相互垂直，那么該雙曲線的離心率為()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)解析依題意知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴a＝b，∴c2＝2a2，∴eq\f(c2,a2)＝2，∴e＝eq\r(2).答案C3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形肯定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形解析記e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，e2＝eq\f(\r(m2－b2),m)，又e1·e2＝1，∴eq\f(\r(a2＋b2)·\r(m2－b2),am)＝1，化簡(jiǎn)得b2(m2－a2－b2)＝0，∵b2>0，∴m2－a2－b2＝0，即m2＝a2＋b2，∴以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形肯定是直角三角形．答案B4．雙曲線與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為y＝－x，則雙曲線方程為()A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24解析由題意知，c＝eq\r(64－16)＝4eq\r(3)，a＝b，∴2a2＝c2＝48，∴a2＝24，故所求雙曲線方程為y2－x2＝24.答案D5．已知定點(diǎn)A，B，且|AB|＝4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2) D．5解析由雙曲線的定義及性質(zhì)知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，且A，B為焦點(diǎn)，c＝2，a＝eq\f(3,2)，∴|PA|的最小值為a＋c＝eq\f(7,2).答案C6．已知雙曲線eq\f(x2,n)－eq\f(y2,12－n)＝1的離心率為eq\r(3)，則n＝________.解析依題意知a2＝n，b2＝12－n，又e＝eq\r(3)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(n＋12－n,n)＝3，∴n＝4.答案47．過(guò)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.解析由雙曲線的定義知|MF2|－|MF1|＝4，|NF2|－|NF1|＝4，∴|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.答案88．若雙曲線eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率為2，則k的值為_(kāi)_________．解析依題意知k＋4<0，∴k<－4，又e＝eq\f(c,a)＝2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(－k＋4＋9,9)＝4，∴k＝－31.答案－319．求與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共漸近線且過(guò)點(diǎn)A(2eq\r(3)，－3)的雙曲線方程．解設(shè)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0)．∵A(2eq\r(3)，－3)在雙曲線上，∴λ＝eq\f(2\r(3)2,16)－eq\f(－32,9)＝－eq\f(1,4).∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝－eq\f(1,4)即eq\f(4y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.10．求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)M(3,4)且虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍的雙曲線方程．解當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，∵點(diǎn)(3,4)在雙曲線上，∴eq\f(9,a2)－eq\f(16,b2)＝1，又b＝2a，∴4a2＝9×4－16＝20，a∴b2＝20.∴雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,20)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，∵點(diǎn)(3,4)在雙曲線上，∴eq\f(16,a2)－eq\f(9,b2)＝1.又∵b＝2a，∴4a2＝16×4－9＝55，a2＝eq\f(55,4)，∴b2＝55.∴雙曲線方程為eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.綜上，所求雙曲線方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1或eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是16，且離心率e＝eq\f(5,4)，試求雙曲線方程及頂點(diǎn)到漸近線的距離．解設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由2a＝16，得a＝8，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴c＝10，b2＝c2－a2＝36.故所求的雙曲線的方程為eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.由上可得雙曲線的焦點(diǎn)為(0，±10)，漸近線方程為y＝±eq\f(8,6)x，即4x±3y＝0.∴焦點(diǎn)到漸近線的距離為d＝eq\f(|4×0±3×10|,\r(42＋32))＝6.12．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．解(1)∵e＝eq\r(2).∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴λ＝16－10＝6.∴雙曲線的方程為x2－y2＝6.(2)由(1)可知，雙曲線中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3).∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)．∴eq\o(MF1,\s\up16(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝(3＋2eq\r(3))(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M(jìn)在雙