期末測(cè)試卷（三） 期末復(fù)習(xí)訓(xùn)練（含答案）2024-2025學(xué)年度北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試卷（三）一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列算式結(jié)果中，正確的是（）A.8－3＝5 B.3＋4＝5 C.4＋9＝5 D.32－2＝32.如果m＜n，那么下列各式中，不一定成立的是（）A.mc2＜nc2 B.3－m＞3－n C.2m＜2n D.m－3＜n－13.下列命題是真命題的是（）A.若｜a｜＝－a，則a＜0B.三角形中至少有一個(gè)鈍角C.對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，AC＝3，BC＝4，則CD的長(zhǎng)是（）A.1B.43C.32 D5.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長(zhǎng)短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意列方程組得（）A.y－x=4.5，12y＝x－1 B.6.2023年10月8日，第十九屆杭州亞運(yùn)會(huì)圓滿結(jié)束.各國(guó)參賽代表團(tuán)在激烈的比賽中展現(xiàn)了出色的實(shí)力.中國(guó)體育代表團(tuán)在本屆亞運(yùn)會(huì)上，收獲了201枚金牌，取得了亞運(yùn)會(huì)參賽歷史最好成績(jī)，中國(guó)成為首個(gè)在單屆亞運(yùn)會(huì)上獲得200枚以上金牌的國(guó)家.現(xiàn)將我國(guó)近六屆亞運(yùn)會(huì)的金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)如下，在這組數(shù)據(jù)中，金牌數(shù)的中位數(shù)是（）第6題圖A.155 B.158 C.165 D.1997.如圖，直線y1＝ax（a≠0）與y2＝x＋b交于點(diǎn)A（－1，2），直線y2＝x＋b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，0），則下列四個(gè)結(jié)論：第7題圖①a＜0，b＞0；②當(dāng)x＞0時(shí)，y1＜0；③當(dāng)x＞－1時(shí)，y1＜y2；④當(dāng)0＜y2＜y1時(shí)，－3＜x＜－1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，8），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上.將△CAD沿直線CD翻折，點(diǎn)A恰好落在x軸上的點(diǎn)E處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）第8題圖A.（10，4） B.（10，3） C.（10，2.5） D.（10，2）二、填空題（每小題3分，共15分）9.點(diǎn)P（－2，－4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.10.如圖，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，則∠A的度數(shù)是.第10題圖11.如圖所示，數(shù)學(xué)拓展課上，小聰將直角三角形紙片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)EA'∥BC時(shí)，∠1＝°.第11題圖12.如圖，直線y＝33x＋5與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，BO上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP＝3，∠BAO＝30°，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為第12題圖13.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的取值為.第13題圖三、解答題（共7小題，共61分）14.（8分）計(jì)算：（1）（4＋7）（4－7）； （2）6×3＋32÷8＋｜1－2｜.15.（8分）解方程組：（1）x－y=1，16.（6分）為積極響應(yīng)“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化”的號(hào)召，某學(xué)校倡導(dǎo)全校1500名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)典詩(shī)詞誦背活動(dòng)，并在活動(dòng)之后舉辦經(jīng)典詩(shī)詞大賽.為了解本次系列活動(dòng)的持續(xù)效果，學(xué)校在活動(dòng)啟動(dòng)之初，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查“一周詩(shī)詞誦背數(shù)量”，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的條形和扇形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示.大賽結(jié)束后一個(gè)月，再次調(diào)查了這部分學(xué)生“一周詩(shī)詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計(jì)表：一周詩(shī)詞誦背數(shù)量3首4首5首6首7首8首人數(shù)10m25484038請(qǐng)根據(jù)調(diào)查的信息分析：（1）活動(dòng)啟動(dòng)之初，學(xué)校共調(diào)查了名學(xué)生；大賽結(jié)束之后，m的值為；（2）活動(dòng)啟動(dòng)之初，“一周詩(shī)詞誦背6首”所在扇形的圓心角的度數(shù)為；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）估計(jì)大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩(shī)詞誦背6首（含6首）以上的人數(shù).17.（6分）公園里有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝0.5m，將它往前推2m至C處時(shí)，水平距離CD＝2m，踏板離地的垂直高度CF＝1.5m，它的繩索始終拉直，求繩索AC的長(zhǎng).18.（9分）每年的3月12日是我國(guó)的植樹節(jié)，某市園林局在3月12日當(dāng)天安排甲、乙兩個(gè)小組共種植220棵株體較大的銀杏樹，要求在5小時(shí)內(nèi)種植完畢，已知第1個(gè)小時(shí)兩個(gè)小組共植樹35棵，甲組植樹過(guò)程中由于起重機(jī)出故障，中途停工1個(gè)小時(shí)進(jìn)行維修，然后提高工作效率，直到與乙組共同完成任務(wù)為止，設(shè)甲、乙兩個(gè)小組植樹的時(shí)間為x（小時(shí)），甲組植樹數(shù)量為y甲（棵），乙組植樹數(shù)量為y乙（棵），y甲，y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.（1）求y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）求m，n的值；（3）直接寫出甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間共植樹165棵？19.（12分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).背景為表彰同學(xué)們?cè)诎嗉?jí)活動(dòng)中的優(yōu)異表現(xiàn)，班主任去奶茶店購(gòu)買A，B兩種款式的奶茶作為獎(jiǎng)勵(lì)素材1買2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶，共需76元；買4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶，共需136元.素材2為了滿足市場(chǎng)需求，奶茶店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可以自主選擇加料或者不加料.素材3班主任購(gòu)買A，B兩款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯數(shù)是購(gòu)買奶茶總杯數(shù)的13問(wèn)題解決任務(wù)1求A款普通奶茶和B款普通奶茶的銷售單價(jià).任務(wù)2學(xué)習(xí)委員為更好地了解班主任所買的各種奶茶的杯數(shù)情況，制作了以下不完整的統(tǒng)計(jì)表格：款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）AmBn①A款加料奶茶與B款奶茶之和為杯（用含m，n的代數(shù)式表示）；②若班主任購(gòu)買奶茶一共用了190元，求班主任購(gòu)買奶茶的總杯數(shù).20.（12分）綜合與實(shí)踐【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接AP，CP.易證：∠APC＝∠BAP＋∠PCD.下面是兩位同學(xué)添加輔助線的方法：請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的方法，并進(jìn)行證明：【深入思考】（2）如圖4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線AB，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CF上一點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)，交直線EF于點(diǎn)P，連接AC，EG，若∠PAC＋∠PEG＝∠AGE，求證：AC∥EF；【拓展延伸】（3）如圖5，在（2）的條件下，AB∥CD，AH平分∠PAC，F(xiàn)H平分∠PFC，AH與FH交于點(diǎn)H，若∠CAH＝25°，∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH＋3∠PEG，求∠PFC的度數(shù).北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試卷（三）一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列算式結(jié)果中，正確的是（C）A.8－3＝5 B.3＋4＝5 C.4＋9＝5 D.32－2＝32.如果m＜n，那么下列各式中，不一定成立的是（A）A.mc2＜nc2 B.3－m＞3－n C.2m＜2n D.m－3＜n－13.下列命題是真命題的是（D）A.若｜a｜＝－a，則a＜0B.三角形中至少有一個(gè)鈍角C.對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，AC＝3，BC＝4，則CD的長(zhǎng)是（C）A.1 B.4C.32D.25.《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長(zhǎng)短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意列方程組得（A）A.y－x=4.5，12y＝x－1 6.2023年10月8日，第十九屆杭州亞運(yùn)會(huì)圓滿結(jié)束.各國(guó)參賽代表團(tuán)在激烈的比賽中展現(xiàn)了出色的實(shí)力.中國(guó)體育代表團(tuán)在本屆亞運(yùn)會(huì)上，收獲了201枚金牌，取得了亞運(yùn)會(huì)參賽歷史最好成績(jī)，中國(guó)成為首個(gè)在單屆亞運(yùn)會(huì)上獲得200枚以上金牌的國(guó)家.現(xiàn)將我國(guó)近六屆亞運(yùn)會(huì)的金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)如下，在這組數(shù)據(jù)中，金牌數(shù)的中位數(shù)是（B）第6題圖A.155 B.158 C.165 D.1997.如圖，直線y1＝ax（a≠0）與y2＝x＋b交于點(diǎn)A（－1，2），直線y2＝x＋b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，0），則下列四個(gè)結(jié)論：第7題圖①a＜0，b＞0；②當(dāng)x＞0時(shí)，y1＜0；③當(dāng)x＞－1時(shí)，y1＜y2；④當(dāng)0＜y2＜y1時(shí)，－3＜x＜－1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（D）A.1 B.2 C.3 D.48.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，8），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上.將△CAD沿直線CD翻折，點(diǎn)A恰好落在x軸上的點(diǎn)E處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（B）第8題圖A.（10，4） B.（10，3） C.（10，2.5） D.（10，2）解析：如圖，設(shè)DB＝m.由題意可得，OB＝CA＝10，OC＝AB＝8.∵△CED與△CAD關(guān)于直線CD對(duì)稱，∴CE＝CA＝10，DE＝DA＝8－m，在Rt△COE中，OE＝CE2－O∴EB＝10－6＝4.在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，∴DE2＝DB2＋EB2，即（8－m）2＝m2＋42，解得m＝3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，3）.故選B.二、填空題（每小題3分，共15分）9.點(diǎn)P（－2，－4）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，－4）.10.如圖，在△ABC中，外角∠DCA＝100°，∠B＝55°，則∠A的度數(shù)是45°.第10題圖11.如圖所示，數(shù)學(xué)拓展課上，小聰將直角三角形紙片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)EA'∥BC時(shí)，∠1＝70°.第11題圖12.如圖，直線y＝33x＋5與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，BO上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP＝3，∠BAO＝30°，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為221第12題圖解析：由一次函數(shù)的表達(dá)式，得點(diǎn)A（－53，0），則AP＝43，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（3，0），點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)N，則PD＝QD，CP＝CN.過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，PN交AB于點(diǎn)T，連接NQ交AB于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，此時(shí)，△PCD周長(zhǎng)最小，理由：△PCD周長(zhǎng)＝PC＋CD＋PD＝NC＋CD＋DQ＝QN為最小，在Rt△APT中，∠BAO＝30°，則PT＝12AP＝23又∵∠NPH＝60°，∴PN＝2PT＝43.在Rt△PNH中，NH＝PN·sin∠NPH＝43×32＝6，PH＝12PN＝23，則點(diǎn)N（－3∴NQ＝（3+33）2＋6213.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的取值為8或5或258第13題圖解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，由勾股定理，得BC＝102－①當(dāng)AP＝AB時(shí)，如圖1所示，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴PC＝BC＝8cm，∴BP＝16cm，∴t＝16÷2＝8（s）；②當(dāng)BP＝BA＝10cm時(shí)，如圖2所示，∴t＝10÷2＝5（s）；③當(dāng)PA＝PB時(shí)，如圖3所示，設(shè)BP＝xcm，則PC＝（8－x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理，得（8－x）2＋62＝x2，∴x＝254，∴BP＝254cm，∴t＝254÷2＝綜上所述，t的值為8或5或258.故答案為8或5或25三、解答題（共7小題，共61分）14.（8分）計(jì)算：（1）（4＋7）（4－7）； 解：（1）（4＋7）（4－7）＝16－7＝9；（2）6×3＋32÷8＋｜1－2｜.解：（2）6×3＋32÷8＋｜1－2｜＝32＋2＋2－1＝42＋1.15.（8分）解方程組：（1）x－解：（1）x①＋②，得3x＝3，解得x＝1，將x＝1代入①，得y＝0，∴方程組的解為x（2）x解：（2）x將①代入②，得2y＋4y－6＝0，解得y＝1，將y＝1代入①，得x＝2，∴方程組的解為x16.（6分）為積極響應(yīng)“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化”的號(hào)召，某學(xué)校倡導(dǎo)全校1500名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)典詩(shī)詞誦背活動(dòng)，并在活動(dòng)之后舉辦經(jīng)典詩(shī)詞大賽.為了解本次系列活動(dòng)的持續(xù)效果，學(xué)校在活動(dòng)啟動(dòng)之初，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查“一周詩(shī)詞誦背數(shù)量”，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的條形和扇形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示.大賽結(jié)束后一個(gè)月，再次調(diào)查了這部分學(xué)生“一周詩(shī)詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計(jì)表：一周詩(shī)詞誦背數(shù)量3首4首5首6首7首8首人數(shù)10m25484038請(qǐng)根據(jù)調(diào)查的信息分析：（1）活動(dòng)啟動(dòng)之初，學(xué)校共調(diào)查了名學(xué)生；大賽結(jié)束之后，m的值為；解：（1）∵30÷60°360°＝180（名），∴活動(dòng)啟動(dòng)之初，學(xué)校共調(diào)查了180名學(xué)生，∴m＝180－10－25－48－40－38＝19，故答案為180，19（2）活動(dòng)啟動(dòng)之初，“一周詩(shī)詞誦背6首”所在扇形的圓心角的度數(shù)為；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；解：（2）活動(dòng)啟動(dòng)之初，“一周詩(shī)詞誦背6首”所在扇形的圓心角的度數(shù)為360°×25180＝50°，故答案為50活動(dòng)啟動(dòng)之初，誦背4首的學(xué)生人數(shù)為180×128°360°＝補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖.（3）估計(jì)大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩(shī)詞誦背6首（含6首）以上的人數(shù).解：（3）1500×48+40+38180＝1050答：估計(jì)大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩(shī)詞誦背6首（含6首）以上的人數(shù)為1050.17.（6分）公園里有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝0.5m，將它往前推2m至C處時(shí)，水平距離CD＝2m，踏板離地的垂直高度CF＝1.5m，它的繩索始終拉直，求繩索AC的長(zhǎng).解：在Rt△ACD中，AD2＋DC2＝AC2，∵CF＝DE＝1.5，BE＝0.5，∴BD＝1.設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，則AD＝AB－BD＝（x－1）m，故x2＝22＋（x－1）2，解得x＝2.5.答：繩索AC的長(zhǎng)度是2.5m.18.（9分）每年的3月12日是我國(guó)的植樹節(jié)，某市園林局在3月12日當(dāng)天安排甲、乙兩個(gè)小組共種植220棵株體較大的銀杏樹，要求在5小時(shí)內(nèi)種植完畢，已知第1個(gè)小時(shí)兩個(gè)小組共植樹35棵，甲組植樹過(guò)程中由于起重機(jī)出故障，中途停工1個(gè)小時(shí)進(jìn)行維修，然后提高工作效率，直到與乙組共同完成任務(wù)為止，設(shè)甲、乙兩個(gè)小組植樹的時(shí)間為x（小時(shí)），甲組植樹數(shù)量為y甲（棵），乙組植樹數(shù)量為y乙（棵），y甲，y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.（1）求y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；解：（1）設(shè)y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝kx，∵點(diǎn)（5，100）在該函數(shù)圖象上，∴100＝5k，解得k＝20，即y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y乙＝20x（0≤x≤5）.（2）求m，n的值；解：（2）根據(jù)題意，得乙每小時(shí)植樹100÷5＝20（棵），則甲每小時(shí)植樹35－20＝15（棵），∴n＝15，m＝220－100＝120，即m的值是120，n的值是15.（3）直接寫出甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間共植樹165棵？解：（3）設(shè)甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過(guò)a小時(shí)共植樹165棵，甲2小時(shí)之后每小時(shí)植樹：（120－15）÷（5－2）＝105÷3＝35（棵），20a＋15＋35（a－2）＝165，解得a＝4.答：甲、乙兩個(gè)小組經(jīng)過(guò)4小時(shí)共植樹165棵.19.（12分）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).背景為表彰同學(xué)們?cè)诎嗉?jí)活動(dòng)中的優(yōu)異表現(xiàn)，班主任去奶茶店購(gòu)買A，B兩種款式的奶茶作為獎(jiǎng)勵(lì)素材1買2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶，共需76元；買4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶，共需136元.續(xù)表素材2為了滿足市場(chǎng)需求，奶茶店推出每杯2元的加料服務(wù)，顧客在選完款式后可以自主選擇加料或者不加料.素材3班主任購(gòu)買A，B兩款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯數(shù)是購(gòu)買奶茶總杯數(shù)的13問(wèn)題解決任務(wù)1求A款普通奶茶和B款普通奶茶的銷售單價(jià).解：任務(wù)1：設(shè)A款普通奶茶的銷售單價(jià)為x元，B款普通奶茶的銷售單價(jià)為y元，則2x+3答：A款普通奶茶的銷售單價(jià)為14元，B款普通奶茶的銷售單價(jià)為16元.任務(wù)2學(xué)習(xí)委員為更好地了解班主任所買的各種奶茶的杯數(shù)情況，制作了以下不完整的統(tǒng)計(jì)表格：①A款加料奶茶與B款奶茶之和為杯（用含m，n的代數(shù)式表示）；②若班主任購(gòu)買奶茶一共用了190元，求班主任購(gòu)買奶茶的總杯數(shù).任務(wù)2：①∵A款普通奶茶的杯數(shù)是購(gòu)買奶茶總杯數(shù)的13∴購(gòu)買奶茶總杯數(shù)為3m杯，∴A款加料奶茶與B款奶茶之和為3m－m＝2m（杯），故答案為2m.②由題意，得14m＋16（2m－n）＋18n＝190，且n＜2m，方程的整數(shù)解為m＝4，n＝3，∴3m＝12，答：班主任購(gòu)買奶茶的總杯數(shù)為12.20.（12分）綜合與實(shí)踐【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接AP，CP.易證：∠APC＝∠BAP＋∠PCD.下面是兩位同學(xué)添加輔助線的方法：請(qǐng)你