江蘇省南通市2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（二）（二模）數(shù)學(xué)試題

江蘇省南通市2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（二）（二模）數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1．sinA．12?34 B．12+2．已知復(fù)數(shù)z滿足z2=?3+4i，則A．32 B．5 C．5 3．若(1+x)2+(1+x)A．49 B．55 C．120 D．1654．已知f(x)對(duì)于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1A．4 B．8 C．64 D．2565．已知函數(shù)y=3sinωx+cosωx（ω>0A．14 B．12 C．12116．某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)是班級(jí)第三名，成績(jī)處于第90百分位數(shù)，則該班級(jí)的人數(shù)可能為（）A．15 B．25 C．30 D．357．已知曲線C1:x2+y2?4x+2y=0與曲線C2A．α+β=π2 C．α+β=π3 8．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分別為棱BC，A．53π B．83π C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.9．已知向量a在向量b方向上的投影向量為(32,32)，向量b=(1,3A．(0,2) B．(2,0) C．10．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．橢圓C的離心率為33 B．直線ABC．△AB1F211．某農(nóng)科所針對(duì)耕種深度x（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關(guān)系進(jìn)行研究，所得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：耕種深度x/cm81012141618每公頃產(chǎn)量y/t68mn1112已知m<n，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：y=bx+a，i=16yi2=510，i=1（參考數(shù)據(jù)：兩個(gè)變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)r為2021，參考公式：b=i=1n(則（）A．m+n=17 B．b=47 C．a(chǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知f(x)=x3?x2，當(dāng)13．已知二面角α?l?β為直二面角，A∈α，B∈β，A?l，B?l，則AB與α，β所成的角分別為π6，π4，AB與l所成的角為14．已知拋物線C:y2=4x，過點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則線段四、解答題：本題共5小題，共77分，解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程.15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（1）求a1，a2，并證明：數(shù)列（2）求S2016．已知函數(shù)f(x)=lnx?ax，g(x)=2（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若a>0且f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值.17．某班組建了一支8人的籃球隊(duì)，其中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)入選，該班體育老師擔(dān)任教練.（1）從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，共有多少種選法？（2）某次傳球基本功訓(xùn)練，體育老師與甲、乙、丙、丁進(jìn)行傳球訓(xùn)練，老師傳給每位學(xué)生的概率都相等，每位學(xué)生傳球給同學(xué)的概率也相等，學(xué)生傳給老師的概率為1718．已知三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，（1）求證：B1（2）已知A1A=2，P∈平面ABC，且C1①求證：AG∥C②求A1P與平面19．已知雙曲線E的漸近線為y=±33x（1）求雙曲線E的方程；（2）直線l:x=t交x軸于點(diǎn)D，過D點(diǎn)的直線交雙曲線E于B，C，直線AB，AC分別交l于G，H，若O，A，G，H均在圓①求D的橫坐標(biāo)；②求圓P面積的最小值.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：sin2π12=1-cos2．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z2=?3+4i，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R，

所以，a+bi2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi=?3+4i，

所以，a2-b3．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)槎?xiàng)式1+xn展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cnrxr0≤r≤n且r∈N,

又因?yàn)?1+x)2+(1+x)3+?+(1+x)10=a0+a14．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(12)=2，

令x=y=12,則f(12+12)=f(12)?f(12)5．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=3sinωx+cosωx=32+12sinωx+π6=2sinωx+π6,

令-π2+2kπ≤ωx+π6≤π6．【答案】B【解析】【解答】解：假設(shè)該班級(jí)的人數(shù)為x，由題意，x-3+1-1<0.9x<x-3+1，解得20<x<30，

結(jié)合選項(xiàng)，該班級(jí)的人數(shù)可能為25.

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合百分位數(shù)求解方法和假設(shè)法，從而得出該班級(jí)可能的人數(shù).7．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)榍€C1:x2+y2?4x+2y=0與曲線C2:f(x)=x2在第一象限交于點(diǎn)A，

聯(lián)立二者方程，即x2+y2?4x+2y=0y=x2，得出x3+3x-4=0，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，

所以，x>0,y>0,所以，交點(diǎn)A(1，1)，

又因?yàn)榍€C1:x2+y2?4x+2y=0與曲線C2:f(x)=x2在A處兩條曲線的切線傾斜角分別為α，β，

由f'(x)=2x，所以，曲線C2:f(x)=x2在點(diǎn)A處的切線斜率為k切=f'1=2×1=2，

所以tanβ=k切=2，因?yàn)橹本€C8．【答案】A【解析】【解答】解：以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,D0,0,0,A12,0,2,B12,2,2,C11,1,1,

D10,0,2,P1,2,0,Q0,1,0,R0,2,1,O1,1,1,

則PR→=-1,0,19．【答案】A,D【解析】【解答】解：設(shè)向量a→=x,y，又因?yàn)橄蛄縜在向量b方向上的投影向量為(32,32)，

向量b=(1,3)，且a與b夾角π6，所以，a→·b10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設(shè)AF1=12B1F1=m,橢圓的焦距為2cc>0，

由橢圓的對(duì)稱性可知，B1F2=B1F1=2m，

由橢圓的定義可知，B1F2+B1F1=4m=2a,即m=a2，

所以，AF1=a2,AB1=AF1+B1F1=32a,

由橢圓的定義可知，AF1+AF2=2a，所以，AF2=32a=AB1,

11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因?yàn)閕=16(yi?y)2=i=16yi2-6y2=510-6y2=24,y2=81,

所以，y=9,m+n=17，所以A對(duì)；

因?yàn)閤=13,r=i=112．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=x3?x2，

則f(1+h)=1+h3?1+h2=1+2h+h21+h-1-2h-13．【答案】π【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)A，B分別作AC⊥l,BD⊥l于C,D,連接BC，AD，

分別取AC，AD，BD中點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，連接EF，EG，F(xiàn)G，CG，

因?yàn)棣痢挺掠贑，AC?α且AC⊥l,所以，AC⊥β，同理BD⊥α，

所以，AC⊥CG，∠ABC,∠BAD分別為直線AB與平面α，β所成的角，

所以，∠ABC=π6,∠BAD=π4,又因?yàn)锳B=22,所以，AD=BD=2，

BC=32AB=6,AC=2，又因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AC，AD，BD的中點(diǎn)，

所以，EF=∥12CD,FG=∥12AB,CE=12AC=22,所以，∠EFG為直線AB與直線l所成角或補(bǔ)角，

又因?yàn)镃D=AD14．【答案】y【解析】【解答】解：拋物線C:y2=4x，設(shè)過點(diǎn)(4,0)的直線為y-0=kx-4，即y=kx-4k,

因?yàn)檫^點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)立二者方程，即y=kx-4ky2=4x，

整理可得：k2x2-(8k2+4)x+16k2=0，x1+x2=--15．【答案】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，由條件得a1?1當(dāng)n=2時(shí)，由條件得(a1+因?yàn)镾n?12a兩式相減得：an?1所以(a從而數(shù)列{a（2）解：由（1）知an與（1）類似，可證：a1+a2，所以S=(4×2?2)+(4×4?2)+?+(4×20?2)=【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合an,Sn的關(guān)系式和賦值法以及數(shù)列的和的定義，進(jìn)而得出數(shù)列的首項(xiàng)和第二項(xiàng)的值；再利用已知條件結(jié)合an,Sn的關(guān)系式和分類討論的方法以及檢驗(yàn)法，從而由等差數(shù)列的定義證出數(shù)列{a16．【答案】（1）解：f'(x)=1當(dāng)a<0時(shí)，由于x>0，所以f'(x)>0恒成立，從而f(x)在當(dāng)a>0時(shí)，0<x<1a，f'(x)>0；從而f(x)在(0,1a（2）解：令h(x)=f(x)?g(x)=lnx?ax?2只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h(x)h'由于a>0，x>0，所以ax+1>0恒成立，當(dāng)0<x<2a時(shí)，h'(x)>0，當(dāng)2a<x<+∞時(shí)，解得：a≥2e3，所以【解析】【分析】(1)利用已知條件結(jié)合分類討論的方法和求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)令h(x)=f(x)?g(x)=lnx?ax?2ax，要使f(x)≤g(x)恒成立，只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h17．【答案】（1）解：法一先選出隊(duì)長(zhǎng)，由于甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)為C3再選出副隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)也是C31，故共有方法數(shù)為方法二先不考慮隊(duì)長(zhǎng)人選對(duì)甲的限制，共有方法數(shù)為A4若甲任隊(duì)長(zhǎng)，方法數(shù)為C31，故甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)的選法種數(shù)為答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)的選法共有9種.（2）解：①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為14；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學(xué)，其概率為67；第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為17②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為34，第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為27，第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為17所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：398答：前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是349【解析】【分析】(1)利用兩種方法結(jié)合排列數(shù)公式和組合數(shù)公式以及直接法和間接法，進(jìn)而得出從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，甲不擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)共有的選法種數(shù).

（2）利用已知條件結(jié)合分類加法求概率公式和獨(dú)立事件乘法求概率公式，進(jìn)而得出前三次傳球中，甲同學(xué)恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率.18．【答案】（1）證明：連A1G交BC于D，連由于G為△A1BC的重心，所以D在三棱柱ABC?A1B1C1中，因?yàn)锳B=AC，A1由于D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D=D，

所以BC⊥平面A1AD，因?yàn)锳1A?平面A（2）證明：①∵A1A=AB=2，∠A1AB=60°，∴△A1AB由于G為△A1BC的重心，∴AG⊥平面A1BC，又C解：②設(shè)△ABC的重心為O，O∈AD，且AO:OD=2:1，在平面ABC內(nèi)，過O作OE∥BC，連A1以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OE，OA1分別為x，y，A1所以A(233,0,0)OC所以C1設(shè)G(x,y,z)，A1則(x,所以AG=(?因?yàn)镻∈平面ABC，所以設(shè)P(x,y,0)，由①知：C1所以(x+3,y+1,?26從而P(533,?1AG=(?83sinθ=【解析】【分析】（1）連A1G交BC于D，連接AD，由于G為△A1BC的重心，所以D為BC的中點(diǎn)，再利用兩三角形全等判斷方法，進(jìn)而證出△A1AB≌△A1AC，再結(jié)合兩三角形全等的性質(zhì)得出A1B=A1C，再利用中點(diǎn)結(jié)合等腰三角形三線合一得出線線垂直，再由線線垂直證出線面垂直，從而由線面垂直的定義和線線平行證出B1B⊥BC.

（2）①利用已知條件結(jié)合正三角形的定義判斷出三角形△A1AB和三角形△A1AC為正三角形，得到四面體為正四面體，結(jié)合G為△A1BC的重心，進(jìn)而得出線面垂直，再結(jié)合直線C1P⊥19．【答案】（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱，又頂點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為A(?3,0)，所以a=3，（2）解：①D(t,0)，設(shè)直線BC的方程為：my=x?t，將x=my+t代入方程：得：(m2?3)y2設(shè)B(x1,y1)，設(shè)直線AG得傾斜角為α，不妨設(shè)0<α<π2，則由于O，A，G，H四點(diǎn)共圓知：∠HOD=∠AGH，所以直線OH的傾斜角為π2?α，直線AC的方程為：y=y2x2+3(x+所以kOH=y2(t+?(t+3又x1=my(t+3?(t+3?(t+3化簡(jiǎn)得：4t2+33t?3=0故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3②AG:y=tanα?(x+3)，由OH:y=1若G，H在x軸上方時(shí)，G在H的上方，即tanα>0時(shí)，5若G，H在x軸下方時(shí)，即tanα<0時(shí)，534tanα<又直線AG與漸近線不平行，所以tanα≠±所以0<α<π，tanα>5