空間幾何體外接球13講學(xué)生版-

第1講長(zhǎng)方體模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2．長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．3．補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體PABC可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)aPA，如圖3所示．2（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示．．．．．．圖1 圖2 圖3 圖4二、典型例題例1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為23，則它的外接球的表面積為（）3A．8B．2C．4D．4332.一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2．3.一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為 ．4.已知三棱錐PABC的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上（球O)，且PA2，PBPC6，當(dāng)三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí)，該三棱錐的體積與球O的體積的比值是 ．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．張衡(78年~139年）是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)家．他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，若線段AB的最小值為31，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為( )A．30B．1010C．1210D．362．棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的體積為()8A．8B．8C．4D．2333．已知正方體的外接球的體積為32，則該正方體的表面積為()3A．4B．16C．643D．323334．已知正方體的外接球的體積是32，則這個(gè)正方體的體積是()364B．64C．6464A．3D．32799275．已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的表面積為208，ABBCAA118，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為()A．116 B．106 C．56 D．536．在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為( )A．8B．82C．16D．1627．在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD，AA12，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為()2A．4B．8C．16D．328．已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積V12，AB2，若四面體AB1CD1的外接球的表面積為S，則S的最小值為()A．8B．9C．16D．329．若正方體的外接球的體積為4，則此正方體的棱長(zhǎng)為3．10．若某正方體的表面積為6，則該正方體的外接球的體積為．11．已知正方體的外接球的體積為4，則該正方體的體積為3．12．正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為23，則此正方體的外接球的體積為 ．13．將一個(gè)長(zhǎng)寬分別a，b(0ab)的長(zhǎng)方形的四個(gè)角切去四個(gè)相同的正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形的盒子，若這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的體積存在最小值，則b的取值范圍為．a(chǎn)14．如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，其中ABa，ADb，AA1c外接球球心為點(diǎn)O，外接球體積為32，若14的最小值為9，則A，C兩點(diǎn)的球面距離為．3a2b2415．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，把它沿圖中的虛線折成正四棱柱，則這個(gè)正四棱柱的外接球表面積的最小值為 ．第2講正四面體模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．正四面體如圖，設(shè)正四面體ABCD的的棱長(zhǎng)為a，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為22a，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R22a2346a，即正四面體外接球半徑為R46a.二、典型例題例1．棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（ ）．A．2B．3C．2D．322例2．正四面體的棱長(zhǎng)為1，則其外接球的表面積為.三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．棱長(zhǎng)為1的正四面體的外接球的半徑為()A．B．63C．1D．33442．棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的體積比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如圖所示，在正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BPPE的最小值為7，則該正四面體的外接球的體積是( )A．B．6C．36D．363224．表面積為8的正四面體的外接球的表面積為()3A．4B．12C．8D．4365．一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)正四面體的外接球的表面積為()A．6B．8C．D．1166．在棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球中，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的圓心距為22，則兩圓的公共弦長(zhǎng)是( )A．3B．3C．1D．14427．如圖所示，正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BPPE的最小值為14，則該正四面體的外接球表面積是( )A．12B．32C．8D．248．已知正四面體的棱長(zhǎng)為4，則此四面體的外接球的表面積是()A．24B．18C．12D．69．一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體內(nèi)部有一個(gè)任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)取得最大值時(shí)，正方體的外接球的表面積是( )A．4 B．6 C．12 D．2410．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，G為BCD的重心，M是線段AG的中點(diǎn)，則三棱錐MBCD的外接球的表面積為( )A．B．3C．6D．624811．正四面體（四個(gè)面均為正三角形的四面體）的外接球和內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若線段PQ長(zhǎng)度4，則這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為的最大值為6．312．已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，M為棱CD的中點(diǎn)，則二面角MABD的余弦值為；平面MAB截此正四面體的外接球所得截面的面積為．13．已知某正四面體的內(nèi)切球體積是1，則該正四面體的外接球的體積是．14．一個(gè)正四面體的展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為22的正三角形，則該四面體的外接球的表面積為 ．15．如圖所示，正四面體ABCD中，E是棱AD的中點(diǎn)，P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn)，BPPE的最小值為14，則該正四面體的外接球的體積是 ．第3講對(duì)棱相等模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．對(duì)棱相等模型四面體ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類問(wèn)題.b2c2m2如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c，則a2c2n2，三式相加可得a2b2c2m2n2t2,而a2b2t22顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則a2b2c24R2，所以Rm2n2t2.8二、典型例題例1．三棱錐ABCD中，已知ABCD5，ADBC6，ACBD7，那么該三棱錐外接球的表面積為()A．6B．7C．9D．12例2．如圖所示三棱錐ABCD，其中ABCD5，ACBD6，ADBC7，則該三棱錐外接球的表面積為．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．四面體PABC的一組對(duì)棱分別相等，且長(zhǎng)度依次為25，13，5，則該四面體的外接球的表面積為()A．29B．28C．2929D．29462．在四面體ABCD中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為34，41，5則此四面體ABCD的外接球的半徑R為()5A．5B．5C．2D．4223．如圖，在三棱錐PABC中，PABC3，PBAC2，PCAB5，則三棱錐PABC外接球的體積為( )A．2 B．3 C．6 D．64．在三棱錐PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB11，則三棱錐PABC的外接球的表面積為( )A．26 B．12 C．8 D．245．在四面體ABCD中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為34,41,5，則此四面體ABCD的外接球的半徑R為 ．6．已知三棱錐ABCD，三組對(duì)棱兩兩相等，且ABCD1，ADBC3，若三棱錐ABCD的外接球表面積為9．則AC．27．已知四面體ABCD中三組對(duì)棱分別相等，且長(zhǎng)分別為2，5，7，則四面體ABCD的外接球的半徑為 ．8．已知三棱錐ABCD，三組對(duì)棱兩兩相等，即ABCD1，ADBC3,ACBD5，則三棱錐ABCD的外接球表面積是．9．在四面體ABCD中，三組對(duì)棱兩兩相等，分別為，，，則該四面體外接球的表面積為13105．10．在四面體PABC中，PABC3，PBAC2，PCAB，則該四面體外接球的體積為3．11．三棱錐PABC，PAPBBCAC4，PCAB3，則它的外接球的表面積為．12．在三棱錐PABC中，若PAPBBCAC5，PCAB4，則其的外接球的表面積為2．13．在三棱錐PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB11，則三棱錐PABC的外接球的表面積為 ．第4講直棱柱模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．直棱柱模型：如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1 圖2 圖3第一步：確定球心O的位置，O1是ABC的外心，則OO1平面ABC；第二步：算出小圓O1的半徑AO1r，OO121AA121h（AA1h也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(h2)2r2Rr2(h2)2，解出R二、典型例題例1.正三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A，B兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 ．例2.直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，則此球的表面積等于 ．例3.一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為.8三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．一個(gè)直三棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個(gè)頂角為120的等腰三角形，則該直三棱柱外接球的表面積為( )A．20B．205C．25D．25532．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AB6，BC8，若此三棱柱外接球的半徑為13，則該三棱柱的表面積為( )A．624B．576C．672D．7203．在直三棱柱ABCA1B1C1中．側(cè)棱長(zhǎng)為2，ABBCCA，則此三棱柱的外接球的半徑()33A．1B．C．2D．434．已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，且兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3，此三棱柱的高為23，則該三棱柱的外接球的體積為()A．8B．16C．32D．6433335．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB23，ACB120，AA14，則該三棱柱外接球的表面積為()16A．2B．64C．32D．8236．在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB2，ACB90，CC11，則該三棱柱外接球的體積()A．1B．4C．9D．8227．直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCAA12，則該三棱柱的外接球的表面積為()A．4B．8C．12D．3238．某直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)等于2，底面為等腰直角三角形且腰長(zhǎng)為1，則該直三棱柱的外接球的表面積是()A． B．2 C．4 D．69．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，二面角A1BDC1的大小為3，則該正四棱柱外接球的表面積為( )A．12 B．14 C．16 D．1810．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的側(cè)面是正方形，若底面的邊長(zhǎng)為a，則該正六棱柱的外接球的表面積是( )A．4a2 B．5a2 C．8a2 D． 10a211．正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的側(cè)面是正方形，若底面的邊長(zhǎng)為1，則該正六棱柱的外接球的表面積是()A．4B．5C．8D．1012．正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為6，則它的外接球的表面積為()A．20B．25C．100D．20013．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為( )A．13B．12C．11D．1014．一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為6，則它的外接球的體積為()A．500B．500C．4000D．40003315．棱長(zhǎng)均為6的直三棱柱的外接球的表面積是．16．已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，且兩直角邊長(zhǎng)分別為1和，此三棱柱的高為2，33則該三棱柱的外接球的體積為．17．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC3，BAC120，AA12，則此三棱柱外接球的表面積為．18．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ACCC11，若此三棱柱的外接球的體積為6，AB19．在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為23，在底面ABC中，C60,AB3，則此直三棱柱的外接球的表面積為 ．20．在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB1，AC，BB12，則該三棱柱的外接球表面積為3．21．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC120且ABAC3，BB14，則此三棱柱外接球的表面積為．22．在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC4，BAC90，AA12，則此三棱柱外接球的表面積為．23．已知直三棱柱ABCA1B1C1的高為2，BC，BAC120，則該三棱柱外接球的表面積為33；24．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，側(cè)面BCC1B1的面積為16，則直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半徑的最小值為．25．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，則正四棱柱的外接球的表面積為．26．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，把它沿圖中的虛線折成正四棱柱，則這個(gè)正四棱柱的外接球表面積的最小值為 ．27．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA12，設(shè)四棱柱的外接球的球心為O，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊長(zhǎng)，射線OP交球O的表面點(diǎn)M，現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著ABCDA運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ．28．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADCD，AB2BC4，四邊形ABCD的外接圓的圓心在線段AC上．若四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積為36，則該四棱柱的外接球的體積為 ．29．已知六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，側(cè)棱與底面垂直，若該六棱柱的側(cè)面積為48，底面積為123，則該六棱柱外接球的表面積等于 ．30．一個(gè)直六棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則它的外接球的表面積為 ．31．正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則它的外接球的表面積為 ．32．已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為 ．33．正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為6，則它的外接球的表面積為 ．34．已知正六棱柱的高為8，側(cè)面積為144，則它的外接球的表面積為 ．第5講 直棱錐模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．直棱錐模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）如圖，PA平面ABC，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將ABC畫(huà)在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過(guò)球心O；第二步：O1為ABC的外心，所以O(shè)O1平面ABC，算出小圓O1的半徑O1Dr(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得abc2r)，OO11PA；sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；②R2r2OO12Rr2OO12.二、典型例題例1.在《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.若四棱錐MABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱MA底面ABCD，且MABCAB2，則該陽(yáng)馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為 ．例2.已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為23正方形．若PA26，則OAB的面積為．例3.已知球O面上的四點(diǎn)A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,DAABBC3，則球O的體積等于 .三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，BC平面PAB，若ABBC1，PA2，則此三棱錐的外接球的表面積為( )A．24B．8C．6D．832．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．若四棱錐PABCD為陽(yáng)馬，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA為60，則四棱錐PABCD的外接球的表面積為()A．16B．20C．64D．3233．在三棱錐SABC中，SA平面ABC，SA4，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，則三棱錐SABC的外接球的表面積為( )A．19 B．28 C．43 D．764．三棱錐PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A．4B．4C．8D．2035．三棱錐PABC中，ABBC15，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球表面積為()A．25B．25C．83D．8332326．在三棱錐SABC中，側(cè)棱SC平面ABC，SABC，SC1，AC2，BC3，則此三棱錐的外接球的表面積為( )A．14 B．12 C．10 D．87．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC60,ABAC23,PA2，則三棱錐PABC的外接球的表面積為( )A．20 B．24 C．28 D．328．三棱錐PABC中，PA平面ABC，BCCA，AC1，BC2，PA2，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．9B．36C．9D．9249．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC120，AC2，AB1，設(shè)D為BC中點(diǎn)，且直線PD與平面ABC所成角的余弦值為5，則該三棱錐外接球的表面積為．510．如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABC120，PA4．若三棱錐PABC外接球的半徑為22，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為 ．11．在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AP2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且AB1，AD3，直線PM與平面ABCD所成的角為．記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，則tan；當(dāng)三棱錐PABM4的體積最小時(shí)，三棱錐PABM的外接球的表面積為 ．12．已知三棱錐SABC中，SA平面ABC，SAAB4，BC6，AC213，則三棱錐SABC外接球的表面積為 ．13．已知四面體PABC中，PAPB4，PC2，AC25，PB平面PAC，則四面體PABC外接球的表面積為 ．14．如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA4，cosACB13，若三棱錐PABC外接球的表面積為52，則三棱錐PABC體積的最大值為 ．15．已知在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC120，則三棱錐PABC的外接球的體積為 ．16．矩形ABCD中，AB4，BC2，PA平面ABCD，PA2，E，F(xiàn)分別是AB，DC的中點(diǎn)，則四棱錐PEBCF的外接球表面積為17．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA2，ABAC3，又cosBAC53，則該三棱錐外接球的表面積為 ．18．中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(biēnào)．若三棱錐PABC為鱉臑，且PA平面ABC，PAAB2，又該鱉臑的外接球的表面積為24，則該鱉臑的體積為 ．19．三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA2AC23，AB1，ABC60，則三棱錐PABC的外接球的表面積為 ．20．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”如圖所示，PA平面ABCD，PA4，AB3，AD1，則該“陽(yáng)馬”外接球的表面積為 ．第6講 側(cè)棱相等模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．側(cè)棱相等模型：如圖，P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的三條側(cè)棱相等三棱錐PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心O1，則P,O,O1三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO1r，再算出棱錐的高PO1h(也是圓錐的高)；222222r2h2第三步：勾股定理：OAOAOOR(hR)r，解出R.112h2．正棱錐外接球半徑：Rr2h2.2h二、典型例題1.已知四棱錐的PABCD的側(cè)棱長(zhǎng)均為30，底面是兩鄰邊長(zhǎng)分別為2和32的矩形，則該四棱錐外接球的表面積為（）A.18B.32C.36D.483例2.體積為18的正三棱錐ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，3且R:BC2:3，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是.3.在三棱錐PABC中，PAPBPC26,ACAB4，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______.4.在三棱錐PABC中，PAPBPC3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（）A.B.C.4D.433例5.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是 ．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．在三棱錐PABC中，PAPBPC2，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，則三棱錐PABC的外接球的體積為( )A．43 B．83 C．163 D．232．在三棱錐PABC中，PAPBPC6，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．12 B．24 C．36 D．483．在三棱錐PABC中，PAPBPC6，ACAB2，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．4 B．8 C．16 D．94．在三棱錐PABCD中，PAPBPC26，ACAB4，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為( )A．4B．36C．48D．245．在三棱錐PABC中，PAPBPC，ABAC1，BC，則該三棱錐外接球的體積為()234B．8D．32A．2C．433336．正三棱錐PABC中，PA5，AB23，則該三棱錐外接球的體積為()A．500B．100C．25D．125367．已知體積為3的正三棱錐PABC的外接球的球心為O，若滿足OAOBOC0，則此三棱錐外接球的半徑是( )A．2 B．2 C．32 D．348．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱與底面成60角，則正三棱錐的外接球的體積為( )A．4B．16C．16D．32339．如圖，在三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNAM，若AB22，則此正三棱錐外接球的體積是( )A．12B．4C．43D．1233310．已知正四棱錐PABCD中，PA2，且所有的棱長(zhǎng)相等，則該四棱錐的外接球的表面積為()A．16B．12C．10D．811．已知正四棱錐OABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該四棱錐外接球的表面積為()3A．9B．9C．4D．212．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時(shí)，該正四棱錐外接球的表面積為( )A．22B．52C．169D．3385252512513．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為22，則這個(gè)四棱錐的外接球的體積為( )A．16B．32C．16D．3233，體積為9，則其外接球的表面積為()14．已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為332A．16B．36C．48D．6415．已知ABC是等腰直角三角形，斜邊AB2，P是平面ABC外的一點(diǎn)，且滿足PAPBPC，APB120，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．16．在ABC中，AB8，BC6，AC10，P為ABC外一點(diǎn)，滿足PAPBPC55，則三棱錐PABC的外接球的半徑為 ．17．如圖，在四面體PABC中，PAPBPC4，點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面ABC上的投影，且tanAPO22，則四面體PABC的外接球的體積為 ．18．在三棱錐PABC中，PAPBPC92，AB8，AC6．頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為H，若AHABAC且21，則三棱錐PABC的外接球的體積為 ．19．．在三棱錐PABC中，PAPBPC26，ACAB4，且ACAB，則該三棱錐外接球的表面積為 ．20．三棱錐PABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PAPBPC，PB平面PAC，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．21．在三棱錐PABC中，PAPBPC2，AB2，BC10，APC2，則三棱錐PABC的外接球的表面積為 ．22．在三棱錐PABC中，已知PABC，PBAC，PAPBPC2AB4，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．23．如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，且PAPBPCPD23，AB6，則四棱錐PABCD外接球的體積為 ．24．已知三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC2，PAPB，則三棱錐PABC的外接球的體積為 ．25．已知三棱錐PABC中，PAPBPC，ABC是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，側(cè)棱與底面所成夾角的余弦值為6，則該三棱錐外接球的表面積為．326．已知三棱錐PABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H，側(cè)棱PAPBPC，點(diǎn)O為三棱錐1PABC的外接球O的球心，AB8，AC6，已知AOABACHP，且1，則球13O的表面積為．27．已知ABC是等腰直角三角形，斜邊AB3，P是平面ABC外的一點(diǎn)，且滿足PAPBPC，APB120，則三棱錐PABC外接球的半徑為；該球體積為．28．在正三棱錐SABC中，側(cè)棱SC側(cè)面SAB，側(cè)棱SC2，則此正三棱錐的外接球的表面積為．329．在六棱錐PABCDEF中，底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，PA2且與底面垂直，則該六棱錐外接球的體積等于 ．30．已知正六棱錐SABCDEF，AB3，SA5，則該六棱錐的外接球的表面積為 ．第7講側(cè)棱為外接球直徑模型一、解題技巧歸納總結(jié)方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形.二、典型例題例1．已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此三棱錐的體積為()A．1B．2C．2D．2446122．已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．3．三棱錐ABCD的外接球?yàn)榍騉，球O的直徑是AD，且ABC、BCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐ABCD的體積是 ．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．在三棱錐ABCD中，BCCD，RtBCD斜邊上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16，則三棱錐ABCD體積的最大值為()A．1B．2C．1D．43332．已知三棱錐SABC外接球的直徑SC6，且ABBCCA3，則三棱錐SABC的體積為()39C．39A．2B．22D．244223．已知三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某個(gè)球面上，SC為該球的直徑，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐SABC的體積為16，則此三棱錐的外接球的表面積為()3A．68B．16C．64D．8033334．已知三棱錐SABC的體積為12，ACBC1，ACB120，若SC是其外接球的直徑，則球的表面積為( )A．4 B．6 C．8 D．165．三棱錐ABCD的外接球?yàn)榍騉，球O的直徑是AD，且ABC，BCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐ABCD的體積是( )A．2B．2C．2D．36124126．已知三棱錐SABC的外接球?yàn)榍騉，SA為球O的直徑，且SA2，若面SAC面SAB，則三棱錐SABC的體積最大值為()A．1B．2C．1D．2337．三棱錐ABCD的外接球?yàn)榍騉，球O的直徑AD2，且ABC，BCD都是等邊三角形，則三棱錐ABCD的體積是()11A．B．2C．2D．34328．已知三棱錐PABC的外接球O，PC為球O的直徑，且PC2，PAPB，AB1，那么頂點(diǎn)P3到平面ABC的距離為()A．23233B．3C．6D．643439．已知三棱錐SABC外接球的直徑SC6，且ABBCCA3，則三棱錐SABC的體積為 ．10．在三棱錐ABCD中，底面為Rt△，且BCCD，斜邊BD上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16，則三棱錐ABCD的體積的最大值為 ．11．已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐PABC的體積為16，則該三棱錐的外接球的表面積．312．已知三棱錐SABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某個(gè)球面上，SC為該球的直徑，ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐SABC的體積為8，則此三棱錐的外接球的表面積為．3第8講共斜邊拼接模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．共斜邊拼接模型如圖，在四面體ABCD中，ABAD，CBCD，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的,BD為公共的斜邊,故以“共斜邊拼接模型”命名之.設(shè)點(diǎn)O為公共斜邊BD的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，OAOCOBOD，即點(diǎn)O到A，B，C，D四點(diǎn)的距離相等,故點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心,公共的斜邊BD就是外接球的一條直徑.二、典型例題例1.在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）A.125B.125C.125D.12512963例2.三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC,ABBC，則三棱錐PABC的外接球的半徑為三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．在梯形ABCD中，AB//CD，ADAB，AB4，ADCD2，將梯形ABCD沿對(duì)角線AC折疊成三棱錐DABC，當(dāng)二面角DACB是直二面角時(shí)，三棱錐DABC的外接球的表面積為( )A．4B．8C．12D．162．將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角BACD．則四面體ABCD的外接球的2體積為()A．1B．2C．D．42333．在平行四邊形ABCD中，ABBD，4AB22BD21，將此平行四邊形沿BD折成直二面角，則三棱錐ABCD外接球的表面積為()A．B．C．2D．422242，若將其沿BD折成直二面角ABDC，4．在平行四邊形ABCD中，滿足ABADAB，2ABBD則三棱錐ABCD的外接球的表面積為()A．16B．8C．4D．25．如圖，在平面四邊形ABCD中，ABADCD1，ABAD，BDCD．將該四邊形沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角ABDC，則四面體ABCD的外接球的體積為( )A．2B．3C．2D．3326．矩形ABCD中，AB6，BC8，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A．500B．100C．100D．400337．如圖，在平行四邊形ABCD中，2|AB|2|BD|240，ABD90，沿BD折成直二面角ABDC，則三棱錐ABCD的外接球的表面積是( )A．16 B．8 C．4 D．28．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，ABBD0,且4AB|22BD|21，沿BD折成直二面角ABDC，則三棱錐ABCD的外接球的表面積是( )A．2B．1C．D．2448429．平行四邊形ABCD中，ABBD0，沿BD將四邊形折起成直二面角A一BDC，且2|AB|2|BD|24，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為()A．B．C．4D．2242240，沿BD折成直二面角ABDC，則三10．在平行四邊形ABCD中，ABBD0，且2ABBD棱錐ABCD的外接球的表面積是()A．16B．8C．4D．211．在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為()A．125B．125C．125D．125129632240，若將其沿AC折成直二面角DACB，12．在平行四邊形ABCD中，ACCB0，2BCAC則三棱錐DACB的外接球的表面積為()A．16B．8C．4D．213．如圖，二面角l滿足半平面，半平面內(nèi)有一點(diǎn)A（不在l上），半平面內(nèi)有一點(diǎn)C（不在l上），A，C在直線l的射影分別為B，D(B，D不重合），ABCD1，BD3，則三棱錐ABCD外接球的表面積為 ．14．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，D為BC邊的中點(diǎn)，沿AD將ABC折成直二面角BADC，則三棱錐ADCB的外接球的表面積為15．如圖是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為10cm的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形ABCD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折成直二面角ABDC，則三棱錐ABCD的外接球的體積為 cm3．16．在矩形ABCD中，已知AB4，BC3，將該矩形沿對(duì)角線AC折成直二面角DACB，則四面體ABCD的外接球的體積為 ．17．將長(zhǎng)寬分別為3和4的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，得到四面體ABCD，則四面體ABCD的外接球的表面積為18．把邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為 ．19．在平行四邊形ABCD中，ABBD0,2|AB|2|BD|26，若將ABD沿BD折成直二面角ABDC，則三棱錐ABCD外接球的表面積為 ．第9講最值模型一、解題技巧歸納總結(jié)這類問(wèn)題是綜合性問(wèn)題，方法較多，常見(jiàn)方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等二、典型例題1.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36B．64C．144D．2562.已知三棱錐OABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120，當(dāng)AOC與BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐OABC的體積為()A．3B．23C．2D．12333例3.體積為18的正三棱錐ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，3且R:BC2:3，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是.例4.已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為．例5.已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，三棱柱的高為．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．如圖，四邊形ABCD的面積為22，且ABDBDC90，把BCD繞BD旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到P，此時(shí)向量BA與向量DP的夾角為90．則四面體ABDP外接球表面積的最小值為( )A．82B．6C．8D．10232．已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積V12，AB2，若四面體AB1CD1的外接球的表面積為S，則S的最小值為( )A．8 B．9 C．16 D．323．如圖，在四棱錐PABCD中，頂點(diǎn)P在底面的投影O恰為正方形ABCD的中心且AB2，設(shè)點(diǎn)M、N分別為線段PD、PO上的動(dòng)點(diǎn)，已知當(dāng)ANMN取得最小值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰為PD的中點(diǎn)，則該四棱錐的外接球的表面積為( )A．9B．16C．25D．6423494．如圖，直角三角形ABC，ABC2，ACBC2，將ABC繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABC’位置，若二面角CABC’的大小為2，則四面體C’ABC的外接球的表面積的最小值為()3A．6B．3C．3D．225．《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，當(dāng)陽(yáng)馬BACC1A1體積為43時(shí)，塹堵ABCA1B1C1的外接球的體積的最小值為( )A．4B．82C．32D．64233336．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC120，AP2,AB2，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段PM長(zhǎng)度最小值為3，則三棱錐PABC的外接球的表面積是()A．9B．9C．18D．40227．已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DC中點(diǎn)，F(xiàn)在線段D1C1上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐FADE的外接球的表面積最小值為( )A．14B．9C．545D．52564648．將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使二面角DACB的大小為(0180)，則三棱錐DABC的外接球的體積的最小值是()832A．2B．33C．4D．與的值有關(guān)的數(shù)39．如圖，三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為( )A．256B．82C．32D．3633310．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，SAPC2，ABC30，則三棱錐PABC的外接球體積的最小值為()A．4B．4C．64D．323311．現(xiàn)有一副斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板．若將它們的斜邊AB重合，其中一個(gè)三角板沿斜邊折起形成三棱錐ABCD，如圖所示，已知DAB6，BAC4，三棱錐的外接球的表面積為4，該三棱錐的體積的最大值為( )A．3B．3C．3D．336244812．如圖，在三棱錐ABCD中，ADBD，ACBC，DAB6，BAC4．三棱錐的外接球的表面積為16，則該三棱錐的體積的最大值為( )A．7B．43C．8D．14333313．已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面ABC滿足BABC6，ABC2，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為()A．8B．16C．16D．323314．三棱錐PABC中．ABBC，PAC為等邊三角形，二面角PACB的余弦值為36，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為8．則三棱錐體積的最大值為()A．1B．2C．1D．12315．已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面ABC滿足ABBC3，AC3，若該三棱錐體積的最大值為33，則其外接球的半徑為()4A．1B．2C．3D．2316．在三棱錐PABC中，AB2，ACBC，D為AB中點(diǎn)，PD2，若該三棱錐的體積的最大值為23，則其外接球表面積為()A．5B．49C．64D．25129417．已知三棱錐PABC的底面是正三角形，PA3，點(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是PBC的垂心，當(dāng)三棱錐PABC體積最大值時(shí)，三棱錐PABC的外接球的體積為()99A．3B．6C．6D．32218．已知三棱錐DABC的外接球的表面積為128，ABBC4,AC42，則三棱錐DABC體積的最大值為()27108163216A．B．6C．6D．263233319．已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且BABC6，ABC3，若該三棱錐體積的最大值為23，則其外接球的表面積為 ．20．如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA4，cosACB13，若三棱錐PABC外接球的表面積為52，則三棱錐PABC體積的最大值為 ．21．在三棱錐PABC中，ABBC，三角形PAC為等邊三角形，二面角PACB的余弦值為36，當(dāng)三棱錐PABC的體積最大值為1時(shí)，三棱錐PABC的外接球的表面積為．3第10講垂面模型一、解題技巧歸納總結(jié)垂面模型如圖1所示為四面體PABC，已知平面PAB平面ABC，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圓圓心，分別記為O1和O2．（2）分別過(guò)O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為O．（3）過(guò)O1作AB的垂線，垂足記為D，連接O2D，則O2D AB．（4）在四棱錐ADO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如圖2所示，底面四邊形DO1OO2的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且OD為該圓的直徑．二、典型例題1.已知ABC是以BC為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．2.已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC平面ABC，BC3，PB22，PC5，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．3.在三棱錐PABC中，ABAC4，BAC120，PBPC43，平面PBC平面ABC，則三棱錐PABC外接球的表面積為 ．4．在菱形ABCD中，DAB60，將這個(gè)菱形沿對(duì)角線BD折起，使得平面DAB平面BDC，若此時(shí)三棱錐ABCD的外接球的表面積為5，則AB的長(zhǎng)為 ．三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．在邊長(zhǎng)為a菱形ABCD中，DAB60，將這個(gè)菱形沿對(duì)角線BD折起，使得平面DAB平面BDC，若此時(shí)三棱錐ABCD的外接球的表面積為5，則a()A．5B．C．D．33522．在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，AP25,AB6,ACB3，且直線PA與平面ABC所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為()5252A．13B．52C．D．13333．已知在三棱錐CABD中，ABD是等邊三角形，BCCD，平面ABD平面BCD，若該三棱錐的外接球表面積為4，則AC()3A．3B．6C．D．32224．如圖，已知四棱錐PABCD的底面為矩形，平面PAD平面ABCD，AD22，PAPDAB2，則四棱錐PABCD的外接球的表面積為( )A．2 B．4 C．8 D．125．如圖所示，已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為( )A．16B．8C．16D．6436．在正方形ABCD中，AB2，沿著對(duì)角線AC翻折，使得平面ABC平面ACD，得到三棱錐BACD，若球O為三棱錐BACD的外接球，則球O的體積與三棱錐BACD的體積之比為( )A．2:1 B．3:1 C．22:1 D．4:17．已知四棱錐P一ABCD中，平面PAD平面ABCD，其中ABCD為正方形，PAD為等腰直角三角形，PAPD2，則四棱錐PABCD外接球的表面積為()A．10B．4C．16D．88．已知空間四邊形ABCD，BAC23，ABAC23，BD4，CD25，且平面ABC平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積為( )A．24 B．48 C．64 D．969．在三棱錐ABCD中，ABC和BCD都是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形，且平面ABC平面BCD，則三棱錐ABCD外接球的表面積為()A．8B．12C．16D．2010．在三棱錐PABC中，AC2AB22，BC10，APC90，平面ABC平面PAC，則三棱錐PABC外接球的表面積為()A．4B．5C．8D．1011．已知三棱錐ABCD中，ABACBDCD，ABAC，BDCD，且三棱錐ABCD的外接球的表面積為32，則當(dāng)平面ABC平面BCD時(shí)，三棱錐ABCD的表面積等于( )A．1683 B．32163 C．883 D．1616312．在三棱錐ABCD中，平面ABC平面ADC，ADAC，ADAC，ABC3，若此三棱錐的外接球表面積為28，則三棱錐ABCD體積的最大值為()5A．7B．12C．6D．3313．如圖，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，BACA1B1C190，ACABA1AB1C12，則多面體ABCA1B1C1的外接球的表面積為( )A．2 B．4 C．6 D．814．已知三棱錐ABCD中，ABC是邊長(zhǎng)為23的正三角形，BDCD2，平面ABC平面BCD，則三棱錐ABCD的外接球的體積為()282032A．7B．8C．5D．633315．在三棱錐ABCD中，BCD是等邊三角形，平面ABC平面BCD．若該三棱錐外接球的表面積為60，且球心到平面BCD的距離為3，則三棱錐ABCD的體積的最大值為()A．3B．9C．27D．813316．在四棱錐ABCDE中，ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC平面BCDE，則該四棱錐的外接球的體積為( )A．2121 B．84 C．721 D．282117．已知空間四邊形ABCD，BAC23，ABAC23，BD10，CD8，且平面ABC平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積為( )A．64 B．112 C．96 D．12818．在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD23，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ABC平面ACD，則所得三棱錐ABCD的外接球表面積為()A．8B．14C．20D．32333319．在三棱錐ABCD中，ABC與BCD都是正三角形，平面ABC平面BCD，若該三棱錐的外接球的體積為2015，則ABC邊長(zhǎng)為()A．33B．63C．63D．624320．在三棱錐ABCD中，ABC與BCD都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，平面ABC平面BCD，則該三棱錐的外接球的體積為( )A．515 B．60 C．6015 D．201521．把邊長(zhǎng)為3的正方ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使得平面ABC平面ADC，則三棱錐DABC的外接球的表面積為()A．32B．27C．18D．922．已知空間四邊形ABCD，BAC2，ABAC2，BDCD6，且平面ABC平面BCD，則33空間四邊形ABCD的外接球的表面積為()A．60B．36C．24D．1223．如圖，已知矩形ABCD中，AB43BC8，現(xiàn)沿AC折起，使得平面ABC平面ADC，連接BD，得到三棱錐BACD，則其外接球的體積為( )A．500B．250C．1000D．500933324．在三棱錐ABCD中，BACBDC60，平面ABC平面DBC，當(dāng)三棱錐ABCD的體積的最3 3大值為 8 時(shí)，其外接球的表面積為( )A．5 B．6 C．7 D．8第11講 二面角模型一、解題技巧歸納總結(jié)二面角模型如圖1所示為四面體PABC，已知二面角PABC大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出△PAB和△ABC的外接圓圓心，分別記為O1和O2．（2）分別過(guò)O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為O．（3）過(guò)O1作AB的垂線，垂足記為D，連接O2D，則O2D AB．（4）在四棱錐ADO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如圖2所示，底面四邊形DO1OO2的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且OD為該圓的直徑．二、典型例題1.在三棱錐PABC中，ABBC，三角形PAC為等邊三角形，二面角PACB的余弦值為36，當(dāng)三棱錐PABC的體積最大值為1時(shí)，三棱錐PABC的外接球的表面積為．32.在等腰直角ABC中，AB2，BAC90，AD為斜邊BC的高，將ABC沿AD折疊，使二面角BADC為60，則三棱錐ABCD的外接球的表面積為 ．3.在三棱錐ABCD中，ABD和CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角ABDC的平面角為60，則三棱錐的外接球的表面積為．4.在平面五邊形ABCDE中，A60，ABAE63，BCCD，DECD，且BCDE6．將五邊形ABCDE沿對(duì)角線BE折起，使平面ABE與平面BCDE所成的二面角為120，則沿對(duì)角線BE折起后所得幾何體的外接球的表面積是 ．5.在三棱錐SABC中，AB6，BC8，AC10，二面角SABC、SACB、SBCA的大小均為4，設(shè)三棱錐SABC的外接球球心為O，直線SO交平面ABC于點(diǎn)M，則三棱錐SABC的內(nèi)切球半徑為，SO．OM三、玩轉(zhuǎn)練習(xí)1．在三棱錐ABCD中，ABBCCDDA7，BD23，二面角ABDC是鈍角．若三棱錐ABCD的體積為2．則三棱錐ABCD的外接球的表面積是()A．12B．37C．13D．53342．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．若四棱錐PABCD為陽(yáng)馬，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，AB2，AD4，二面角PBCA為60，則四棱錐PABCD的外接球的表面積為()A．16B．20C．64D．3233．如圖，在體積為233的四棱錐PABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，PAB為等邊三角形，二面角PABC為銳角，則四棱錐PABCD外接球的半徑為( )A．21B．C．D．323324．在四面體ABCD中，BCCDBDAB2，ABC90，二面角ABCD的平面角為150，則四面體ABCD外接球的表面積為()A．31B．124C．31D．124335．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABED的對(duì)邊AB、ED的中點(diǎn)為C、F，將此正方形沿著CF折成120的二面角，連AB、DE得一直三棱柱，則此三棱柱外接球的表面積等于( )A．16 B．32 C．8 D．646．已知三棱錐PABC中，ABBC，AB22，BC3，PAPB32，且二面角PABC的大小為150，則三棱錐PABC外接球的表面積為( )A．100 B．108 C．110 D．1117．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(diǎn)，且AB2，若二面角B1BC1E為45，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為()A．17B．12C．9D．1028．在菱形ABCD中，A3，AB43，將ABD沿BD折起到PBD的位置，若二面角PBDC的大小為2，三棱錐PBCD的外接球心為O，則三棱錐PBCD的外接球的表面積為()34A．2B．2C．112D．213739．在三棱錐SABC中，SBSCABBCAC2，二面角SBCA的大小為60，則三棱錐SABC外接球的表面積是()A．14B．16C．40D．52339910．如圖，直角三角形ABC，ABC2，ACBC2，將ABC繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABC’位置，若二面角CABC’的大小為2，則四面體C’ABC的外接球的表面積的最小值為()3A．6 B．3 C．32 D．211．四邊形ABDC是菱形，BAC60，AB3，沿對(duì)角線BC翻折后，二面角ABCD的余弦值為13，則三棱錐DABC的外接球的體積為()A．B．C．D．2567212．在三棱錐ABCD中，ABD與CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角ABDC的平面角為120，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．16B．7C．28D．83313．在三棱錐SABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA3，SB23，二面角SABC的大小為60，則此三棱錐的外接球的表面積為 ．14．已知直三棱柱ABCAB1C1中，ACBC2，ACBC，設(shè)二面角CABC1的平面角為，且tan，現(xiàn)在該三棱柱的內(nèi)部空間放一個(gè)小球O1，設(shè)小球O1的表面積為S1，三棱柱的外接球O2的表面2積為S2，則S1的最大值為．S215．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1上一點(diǎn)，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角的正切值為32，設(shè)三棱錐AADE外接球的直徑為a，則a．211|AB|16．已知空間四邊形ABCD中，ABBDAD2，BC1，CD3，若二面角ABDC的取值范圍為[，2]，則該幾何體的外接球表面積的取值范圍為．4317．已知邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，BAD120，沿對(duì)角線AC折成二面角BACD的大小為的四面體且cos1，則四面體ABCD的外接球的表面積為．318．已知三棱錐ABCD，BC6，且ABC、BCD均為等邊三角形，二面角ABCD的平面角為60，則三棱錐外接球的表面積是 ．19．在三棱錐PABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC的投影G是ABC的外心，PBBC2，且面PBC與底面ABC所成的二面角的大小為60，則三棱錐PABC的外接球的表面積為 ．20．在菱形ABCD中，A60，AB2，將ABD沿BD折起到PBD的位置，若二面角PBDC的大小為120，則三棱錐PBCD的外接球的表面積為 ．第12講 坐標(biāo)法模型一、解題技巧歸納總結(jié)1．坐標(biāo)法對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為O(x,y,z)，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng).坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難