2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：平面向量（解析版）

冷感03年面向重

十年考情-探規(guī)律1

考點十年考情（2015-2024）命題趨勢

考點1平面向量平行

2024?上海卷、2021?全國乙卷、2016?全國卷、

（共線）求參數(shù)

2015?全國卷

（10年4考）

考點2平面向量垂直

2024?全國甲卷、2024?全國新I卷、2023?全國

求參數(shù)

新I卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷

（10年4考）

考點3平面向量的基1.掌握平面向量的基本概念、

2022?全國新I卷、2020?山東卷、2018?全國卷、

本定理及其應(yīng)用線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，已知平

2015?北京卷

（10年4考）面向量的關(guān)系要會求參數(shù)

2024?全國新II卷、2023?北京卷、2023?全國新2.掌握基本定理的基底表示

考點4平面向量的模

II卷、2022?全國乙卷、2021?全國甲卷、2020?全向量、能在平面幾何圖形中的

長

國卷、2019?全國卷、2017?全國卷、2017?浙江應(yīng)用

（10年7考）

卷3.掌握平面向量數(shù)量積的表

2023,全國乙卷、2022?全國乙卷、2022?北京卷、示和計算、會求平面幾何圖形

考點5求平面向量數(shù)

2020?山東卷、2021.全國新I卷、2022.全國甲中的范圍及最值等問題。

量積

卷、2021?天津卷、2021?全國新II卷、2021.北

（10年9考）

京卷、2020?天津卷、2020?北京卷

2023?全國甲卷、2023?全國甲卷、2022?全國新

考點6求平面向量的

II卷、2020?全國卷、2019?全國卷、2016?全國

夾角

卷、2022.天津卷、2020?浙江卷、2019?全國卷、

（10年6考）

2019?全國卷

分考點?精準(zhǔn)練

考點01平面向量平行（共線）求參數(shù)

1.（2024?上海?高考真題）已知左eR,M=（2,5）,B=（6/）,且0//方，則左的值為.

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】-.-a/Zb，.-.2k=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

2.（2021?全國乙卷?高考真題）已知向量＜7=（2,5）石=（九,4）,若?/%,則2=.

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于4的方程，解方程即可求得實數(shù)2的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-/lx5=0,

Q

解方程可得：2=

故答案為：—■

3.（2016?全國?高考真題）已知向量訝=（",4）石=（3,-2）,且乙〃5，貝.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示得出-2%-4x3=0,求解即可得出答案.

【詳解】因為萬〃5，所以—27"—4x3=0,解得加=-6.

故答案為：-6

【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2015?全國?高考真題）設(shè)向量心后不平行，向量上J+B與M+2B平行，則實數(shù)2=一

【答案】|

A=kf1

【詳解】因為向量須+B與1+2石平行，所以陽+3=e萬+2初，貝兒”所以幾=：.

i=ZK,2

考點：向量共線.

考點02平面向量垂直求參數(shù)

1.（2024?全國甲卷?高考真題）已知向量萬=（0,1）石=（2,x）,若B_L（，一4萬）,則-=（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求》的值.

【詳解】因為石，0-4同，所以-44=。，

所以各2—471=0即4+/―4x=0,故尤=2,

故選：D.

2.（2024?全國新I卷?高考真題）設(shè)向量/=（X+1,X）,5=（X,2）,則（）

A."x=-3"是的必要條件B."x=-3"是"]/用"的必要條件

C."x=O"是"打,"的充分條件D."彳=一1+否”是"￡/區(qū)”的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當(dāng)時，則71=0,

所以尤?（尤+l）+2x=0,解得尤=0或_3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當(dāng)尤=0時，tj=（l,O）,Zj=（O,2）,故Z/=0，

所以即充分性成立，故c正確；

對B,當(dāng)；〃B時，則2（尤+1）=/，解得X=1土豆，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當(dāng)x=-l+g時，不滿足2（x+l）=l,所以2/區(qū)不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

3.（2023?全國新I卷?高考真題）已知向量2=（1」）石=（1,-1）,若（a+。）_L（a+聞，則（）

A.%+//=1B.X+"=-1

C.=1D.辦二-1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出Z+幾方，Z+成，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳角星】因為a=（l,l）石=（1,一1）,所以〃+/13=（1+41—丸），a+〃B=（l+4，l—〃），

由（a+4石）_L（〃+成）可得，（〃+2萬）?（4+4石）=0,

即+++=0,整理得：力/=_1.

故選：D.

4.（2021?全國甲卷?高考真題）已知向量￡=（3,1）石=（1,0）,1=￡+左若￡_1入則左=.

【答案】

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量己的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得上的值

【詳角軍】???文=（3,1）,3=。,0）,「1=打+序=（3+匕1）,

=3（3+A:）+1x1=0,解得％=—岑，

故答案為：一個.

【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

萬=a,%）國=（%,%）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積占%+%%=o.

5.（2020?全國?高考真題）設(shè)向量a=（1,-1）,石=（機(jī)+1,2加一4）,若Z_L萬，則加二.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由￡_L石可得75=0，

又因為a=（1,-1）,S=（m+1,2m-4）,

所以〃?B=1?（zn+1）+（-1）?（2zn-4）=0,

即m=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

考點03平面向量的基本定理及其應(yīng)用

1.（2022?全國新I卷?高考真題）在AASC中，點。在邊AB上，BD=2ZM.記衩=而麗=為，則而=（）

A.3m—2rlB.—2諭+3為C.3成+2亞D.2慶+3為

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因為點D在邊AB上，BD=2DA,所以麗=2次，即加-麗=2@-①），

所以而=3①一2包=3分一2而=—2,介+3限

故選：B.

2.（2020?山東?高考真題）已知平行四邊形A8CD,點E,P分別是A3,2c的中點（如圖所示），設(shè)荏=苕,

AD=b,則而等于（）

【答案】A

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案;

【詳解】連結(jié)AC,則AC為41BC的中位線，

—1—.11-

EF=-AC=-a+-b,

222

D,C

F

故選：A

3.(2018?全國?高考真題)在回ABC中，為3c邊上的中線，E為AD的中點，則麗=

3--1——1--3—.

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3--1―.1—.3―-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一1一1__

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得8￡=：氏4+：瓦9,之后應(yīng)用向量

一3——1__

的加法運(yùn)算法則——三角形法則，得到阮=麗+蔗，之后將其合并，得到+下一步應(yīng)

44

.3―.1--

用相反向量，求得班=：AC,從而求得結(jié)果.

44

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

心押+那號麗+近毛麗+;(麗+硝

1—,1—.1—.3—1-

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

___3___1___.

所以麗=—通—-AC,故選A.

44

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

4.(2015?北京?高考真題)在MBC中，點M,N滿足布7=2MC,麗=灰"若麗=xAB+yAC,則x=,

V=■

【答案】|

2o

【詳解】特殊化，不妨設(shè)/C，絲,"=4,/C=3,利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為X軸，AC為y軸,

建立直角坐標(biāo)系，/(0,0),〃(0,2),C(0,3),庾4,0),N(2,9,MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),貝U

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=-x=[,y=

2226

考點：本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.

考點04平面向量的模長

L(2024?全國新H卷?高考真題)已知向量滿足同=1,.+2目=2,且0-24篇，則忸卜()

A1n^2V301

r\,D.L.U.X

222

【答案】B

【分析】由僅得片=2/人結(jié)合忖=1,|￡+2+2,得1+475+4片=1+6片=4，由此即可得解.

【詳解】因為僅-2￡心,所以e-2孫坂=0,即片=24，

又因為問=1訴+2目=2,

所以1+4。.B+4b=1+6b=4,

從而w=q.

故選：B.

2.(2023?北京?iWj考真題)已知向量2B滿足4+B=(2,3),乙-5=(-2,1),則|苕『一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量扇5滿足N+石=(2,3),萬一5=(-2,1),

所以|￡『-出『=0+楊.②一歷=2x(_2)+3xl=—l.

故選：B

3.(2023■全國新H卷?高考真題)已知向量5滿足|"方|=道，,+.=恒-可，則忖=.

【答案】6

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令二=5-力，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律

運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因為|&+5卜忸一回，即心+孫=（2萬詢2,

貝嘮+￡力+力2=4?一4荽+到整理得/一2/=0，

又因為L=g,即回盯=3,

貝葉一2"+力2』2=3,所以*后

1Iir.rrrrrrrr

法二：設(shè)c=「—〃，貝=J3,a+b=c+2b,2a-Z?=2c+〃，

由題意可得：（c+26）=（2c+6）,貝，+4；5+薪=4：2+4；5+力2,

整理得：?/2,即川=1=后

故答案為：6

4.（2022?全國乙卷?高考真題）已知向量￡=（2,1）石=（-2,4）,則卜（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得1M然后求得卜-4

【詳解】因為々一石=（2』）一（一2,4）=（4,-3）,所以口一%臚+（-3）2=5.

故選：D

5.（2021?全國甲卷?高考真題）若向量￡,加滿足什=3,k-0=5,“出=1,則忖=.

【答案】3拒

【分析】根據(jù)題目條件，利用2d模的平方可以得出答案

【詳解】中一閘=5

I一-|2一2一2一一|一|2

回〃一石=a+b一2〃?5=9+五-2=25

明=3亞

故答案為：372.

6.（2020?全國?高考真題）設(shè)萬萬為單位向量，且|。+5|=1,貝||@-刈=.

【答案】e

【分析】整理已知可得：1+囚=市+”,再利用為單位向量即可求得271=-!，對變形可得:

力卜J仲一2"用,問題得解.

【詳解】因為￡出為單位向量，所以口=|力|=1

所以卜+2々4+忖二亞+2〃?石二1

解得：2a;=-1

所以J*=gW=浦一2ZZ+用=6

故答案為：V3

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.(2019?全國?高考真題)已知向量￡=(2,3)石=(3,2),則|%-司=

A.41B.2

C.572D.50

【答案】A

【分析】本題先計算Z-B，再根據(jù)模的概念求出|弓-石|.

【詳解】由已知，13=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|力|=J(-l)2+F=0,

故選A

【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.由于對平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯.

8.(2017?全國?高考真題)已知向量M與5的夾角為60。，|乙|=2,|=1,貝力0+2b|=.

【答案】2H

【詳解】團(tuán)平面向量M與5的夾角為60°,同=2,忖=1

^a-b=2xlxcos60°=1.

團(tuán)K+2方卜J(4+25)2=J62+4無5+(2斤=〃+4+4=2上

故答案為2vL

點睛：⑴求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式.

(2)同=后方常用來求向量的模.

9.(2017,浙江?高考真題)已知向量滿足H=1,卜|=2,則上+可+1-目的最小值是,最大值

是.

【答案】42亞

【詳解】設(shè)向量的夾角為凡由余弦定理有：歸一@=JF+2?—2xlx2xcosd=j5-4cos，,

卜+=Qi2+22一2xlx2xcos(萬一6)=,5+4cos0,貝［|：

|a+M+|a-B|=j5+4cosd+j5-4cosd,

令y=j5+4cos6+令-4cos6,則y?=10+2,25-16cos*e[16,20],

據(jù)止匕可得：（卜+目+卜-磯=7^=2君,（卜+目+>-磯.=A/16=4,

即日+4+卜-目的最小值是4,最大值是2石.

【名師點睛】本題通過設(shè)向量之坂的夾角為以結(jié)合模長公式，可得四+|力|=j5+4cos，+j5-4cosd,

再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求.

考點05求平面向量數(shù)量積

1.（2023?全國乙卷?高考真題）正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則反?詼=（）

A.非B.3C.2芯D.5

【答案】B

【分析】方法一；以｛A民A。｝為基底向量表示EC,ED，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cosNDEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：以為基底向量，可知,3卜,。卜2,42Y。=0,

uunuuruuniuunuumuunutruumIuunuum

則后。=班+3。=—43+4。,石￡>=必+?1￡>=—一AB+AD,

22

uunuun（iuunuumA（iuunuum、iutmuum

所以比即=匕人⑶+人叼]-5A5+AO）=-[A52+AD2=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

UUUUUU1

所以=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=y/5,CD=2,

DE。+CE?-DC?5+5-4_3

在ACDE中,由余弦定理可得cosZDEC=

2DECE一2xy/5x^5~~5

uimuun|Uimi|Uijn|3

所以石CEO=「q|￡qcosNDEC=?x?xw=3.

故選：B.

2.（2022■全國乙卷碣考真題）已知向量行滿足|a|=1,|坂|=括,|a-2石|=3,則（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：0|a-2^|2=|a|2-4a-b+4\bf,

又回團(tuán)=1,|昨"5-251=3,

09=1-4無方+4x3=13-4落5,

0a-5=1

故選：C.

3.（2022?北京?高考真題）在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為AABC所在平面內(nèi)的動點，且尸C=l,

則麗?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos0,sin。），表示出麗，麗，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

設(shè)尸（cossin。），［0,2句,

所以PA=（3-cos0,-sin<9）,PB=（-cos4-sin,

所以PA-麗=（-cos夕）x（3—cos9）+（4—sing）x（—sin8）

=cos2^-3cos^-4sin<9+sin23

=1-3cos8-4sing

=1—5sin（9+0）,其中sin*=g,cos^?=—,

因為一l<sin（6+0）<l,所以一4W1—5sin（9+夕）46,gpPA-PBG［-4,6］；

故選：D

4.(2020?山東?高考真題)已知P是邊長為2的正六邊形4BCDEF內(nèi)的一點，則Q.通的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(—2,4)D.?6)

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題中所給的條件,結(jié)合正六邊形的特征，得到衣在福方向上的投影的取值范圍是(-1,3),

利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

可以得到正在同方向上的投影的取值范圍是(-1，3),

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

可知質(zhì)?荏等于羽的模與X?在加方向上的投影的乘積,

所以而?荏的取值范圍是(-2,6),

故選：A.

【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的

定義式，屬于簡單題目.

二、多選題

5.(2021,全國新I卷?高考真題)已知。為坐標(biāo)原點，點耳(cosa,sina),g(cos—sin/7),

(cos(a+/7),sm(a+/7)),A(l,0),則()

A.|珂=|阿B.國口網(wǎng)

C.OAOP3=O^Oi^D.次?西=西砥

【答案】AC

UUU1uuu

【分析】A、B寫出OR,OR、A鳥的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐

標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：西=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin,所以|西|=Jcos?a+sin2a=1,

|砥|=J(cos分)+(—sin/?)2=1,故|西|=|圾I，正確；

B：裕=(cosa-l,sina),AP^=(cos/7-l,-sin；0),所以

22222

|APX|=y](coscr-1)+sina-Vcosa-2cosa+1+sina=J2(l-cosa)二^4sin=21sin￡|,同理

22

\AP21=^/(cos/?-l)+sin/7=2|siny|,故|福南|不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OA-OF^=1xcos(cr++0xsin(cr+/?)=cos(6Z+/3),

OP/OP?=cosa-cos/?+sincr?(-sin/?)=cos(cr+/7)，正確；

D：由題意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cospxcos(6Z+^)+(—sinp)xsin(6z+/?)

=cos(P+(a+P))=cos(a+2p),故一般來說函.西w配.場故錯誤;

故選：AC

三、填空題

6.(2022?全國甲卷?高考真題)設(shè)向量九五的夾角的余弦值為g,且同=1,1卜3,則(2￡+B)0=.

【答案】11

【分析】設(shè)Z與5的夾角為。，依題意可得COS6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出￡石，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)Z與B的夾角為，，因為Z與B的夾角的余弦值為:，即cose=g,

又忖=1,H=3,所以4-5=卜，卡卜。5。=1乂3*：=1,

所以(2a+B”=2a-B+B~=2。3+忖=2x1+3。=11.

故答案為：11

7.(2021?天津?高考真題)在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段8c上的動點，且交A8于

點、E.DB7AB且交AC于點七則|2而+而|的值為；(瓦+DF).西的最小值為.

【答案】1—

20

【分析】設(shè)3E=x,由(2而+力FT=4礪,+4詼-力F+力可求出；將(加+前).西化為關(guān)于x的關(guān)系式

即可求出最值.

【詳解】設(shè)=?.?△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

:.NBDE=30°,BD=2%,DE=y/3x,DC=1—7.x,

?--DF//AB,：.&DFC為邊長為1-2x的等邊三角形，DELDF,

:.(2BE+DF)2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)xcos0-+(l-2x)2=b

2BE+DF\=1,

2

(DE+DF)-DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE+DFEA

=(后1+(1—2x)x(1_x)=5/_3x+]=5+1,

所以當(dāng)x*3時，(DE+研亦的最小值為1此1

故答案為：1；—.

A

8.(2021?全國新H卷?高考真題)已知向量a+B+c=6,忖=1,M=2,a-b+b'C+c-a=.

【答案】=o

【分析】由已知可得(Z+B+")2=O,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得=〃2+片+o2+2(〃.石+B?c+c.〃)=9+2(a/+B.c+c?a)=0,

因止匕，a'b+b'C+c-a=——.

2

故答案為：-g.

9.(2021?北京?高考真題)已知向量％瓦^在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,

則

(a+b)-c=；a-b=?

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出亍+5,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計算即可.

【詳解】以江石交點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

貝IJ萬=(2,1),方=(2,-1),亍=(0,1),

a+Z?=(4,0),(a+&)-c=4x0+0xl=0,

a-^=2x2+lx（—1）=3.

故答案為：0；3.

________________3

10.（2020?天津?高考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,^.AD=ABC,ADAB=--,

則實數(shù)4的值為，若M,N是線段BC上的動點，且|昉|=1,則兩.而的最小值為.

【分析】可得/BAD=120。，利用平面向量數(shù)量積的定義求得九的值，然后以點8為坐標(biāo)原點，3c所在直

線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點A1（x,0）,則點N（尤+1,0）（其中?！从?5）,得出府.而關(guān)于無的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得力法.兩的最小值.

【詳解】-.AD=ABC，AD//BC,N3A￡）=180°—N3=120°,

AB-AZ5=2BC-AB=2|BC|-|AB|COS120O

=2x6x3x1—g]=-92=,

解得H=

0

以點B為坐標(biāo)原點，BC所在直線為尤軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

?,?BC=6,.-.C(6,0),

ffl|AB|=3,ZABC=60°,0A的坐標(biāo)為A

--1—■

回又回AD=—2C,則。,設(shè)M（x,0）,則N（x+l,0）（其中0<x45）,

6

3⑻

2

西.兩十一|卜一|]+[”]=X2-4x+y=（X-2）2+y,

13

所以，當(dāng)x=2時，麗?麗取得最小值

2

113

故答案為：—；—.

62

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于

中等題.

11.（2020?北京?高考真題）已知正方形A3C。的邊長為2,點P滿足/=；（通+痔，貝lj|麗|=；

PBPI5=?

【答案】V5-1

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB,AD所在直線分別為X、＞軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點P的坐標(biāo)，

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得忸耳以及麗.麗的值.

【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，A3、/⑦所在直線分別為X、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點4（0,0）、8（2,0）、C（2,2）、￡?（0,2）,

AP=1（AB+AC）=1（2,0）+1（2,2）=（2,1）,

則點尸（2,1）,.?.而=（-2,1）,麗=（0,-1）,

因此匕，|PD|=^（-2）2+12=V5,Pfi-PD=0x（-2）+lx（-l）=-l.

故答案為：下;-1-

【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點尸的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考

查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點06求平面向量的夾角

一、單選題

1.（2023?全國甲卷?高考真題）已知向量a=（3,l）,B=（2,2）,貝!|cos（a+B,a-B）=（）

A—B.叵C.@D.2

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得B+4M-陽R+方)0司，從而利用平面向量余弦

的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因為2=(3,1)3=(2,2),所以￡+5=(5,3),2—石=(1,一1),

則卜+B卜出?+3。=^/34,|<?—^|=V1+1=A/2,(a+b^-(a-b^=5xl+3x(―1)=2,

/----\(a+b\\a-b\?J17

所以cos(a+仇a一9=蕓一「=-r=-T==—.

'/卜+用^-母v34xV217

故選:B.

2.(2023?全國甲卷?高考真題)已知向量扇5,0滿足同=忖=1,同=&,J=La+5+c=0，貝!Jcos〈,-",B-")=

()

422

A.一一B.——C.-

555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為M+B+I=G,所以5+方=-L

即才+于+2無5=已即1+1+25)=2,所以萬Z=o.

如圖，設(shè)況=。,礪=反灰

由題知,OA=OB=1,OC=6,2AB是等腰直角三角形,

A8邊上的高OD=走,AD=走，

22

所以CZ)=CO+O￡>=應(yīng)+也=還，

22

tanZACD=-=-,cosZACD=」=

CD34l0'

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

3.(2022■全國新H卷?高考真題)已知向量￡=(3,4),「=(1,0),"=￡+正,^<a,c>=<b,c>,則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

【詳解】解:十（3+f,4）,cos僅，3=cos06,即§同=百，解得=5,

故選：C

4.（2020?全國?高考真題）已知向量a,B滿足I商1=5,\b\=6,商/=一6，則cos<￡,￡+^>=（）

A31c1917r19

A.----B.----C.—D.—

35353535

【答案】D

【分析】計算出7R+B）、B+@的值，禾U用平面向量數(shù)量積可計算出cos<a,a+B>的值.

【詳解】：忖=5,|同=6,7B=-6，二加（￡+石）=忖+￡,B=52-6=19.

—?—*I//-?—\2/—*2—*■-?—>21

a+b\=Jla+bj=ya+2a-b+b=J25-2x6+36=7,

a\a+b\1919

因止匕，cos<aa+b>=

9同卡+B廣5x735

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算,

考查計算能力，屬于中等題.

5.（2019?全國?高考真題）已知非零向量￡石滿足，=2W，且G-分，則Z與B的夾角為

7171271571

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計

算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量

夾角.

--_2a-b1_

【詳解】因為所以②一分石=7萬一片=0,所以7石=爐9，所以cosO=阡后=不訴=5,所以°

\Cl\,\u\Z|?|乙

與B的夾角為(，故選B.

【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余

弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,兀］.

6.(2016?全國?高考真題)已知向量院=(g，￥),BC=

貝l|NABC=

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】A

【詳解】試題分析：由題意，得COSNABCIBFJIXZ+.X..，所以川C=30。，故選A.

【考點】向量的夾角公式.

【思維拓展】(1)平面向量。與》的數(shù)量積為。/=同依cosM,其中。是。與b的夾角，要注意夾角的定義和

,——ab

它的取值范圍：0°<6><180°;(2)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知⑷=?五，COS(9=------,a-b=Q<^a±b,

|a||31

因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題.

二、填空題

7.(2022?天津?高考真題)在AABC中，亂=無函=5,。是AC中點，怎=2BE，試用扇B表示DE為

若通_1_方目，則/AC3的最大值為

3~1-n

【答案】—-?—

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以｛之母為基底,表示出AB,DE,ABA.DE

可得3片+/=4"日，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),由ABLAE可得點A的軌跡為

以M(T0)為圓心，以廠=2為半徑的圓，方程為(x+