2024學(xué)年天水市一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試卷及答案解析

學(xué)年天水市一中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試卷一、單選題（本大題共12小題）1．設(shè)集合，下列說法正確的是（

）A．B．C． D．2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．3．設(shè)A、B、C是函數(shù)與函數(shù)的圖象連續(xù)相鄰的三個交點，若是銳角三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，定義函數(shù)，，則下列說法正確的有（

）個①的定義域為；②設(shè)，則；③；④若集合，則中至少含有8個元素.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，均有，則下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．存在使且B．可能為常數(shù)函數(shù)C．若，則D．若，且時，，則解集為6．已知，則下列正確的是（

）A． B．C． D．以上均不正確7．函數(shù)的定義域為，若對于任意的，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①；②；③.則等于（

）A． B． C． D．8．設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（

）A．9 B．1 C． D．39．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，設(shè)，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，在0,+∞上有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．定義區(qū)間的長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，的長度.用表示不超過的最大整數(shù)，記，其中.設(shè)，當(dāng)時，不等式解集的區(qū)間長度為，則實數(shù)的最小值為（

）.A． B． C．6 D．712．已知函數(shù)，下列命題中錯誤的是（

）A．，使得是偶函數(shù) B．，都不是R上的單調(diào)函數(shù)C．，使得有三個零點 D．若的最小值是，則二、多選題（本大題共6小題）13．已知函數(shù)和實數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)的圖象有對稱軸B．定義在上的函數(shù)恒有，則當(dāng)時，函數(shù)具有周期性C．若，，，則，恒成立D．若，，，且的4個不同的零點分別為，且，則14．已知銳角滿足，設(shè)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．15．，，非常數(shù)函數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，是偶函數(shù)C．若，則 D．的值不可能是16．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實數(shù)可能的值為（

）A． B．0 C． D．117．群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個非空集合，“”是上的一個代數(shù)運算，如果該運算滿足以下條件：①對所有的、，有；②、、，有；③，使得，有，稱為單位元；④，，使，稱與互為逆元．則稱關(guān)于“”構(gòu)成一個群．則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．實數(shù)集R關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群18．若滿足對任意的實數(shù)都有，且，則下列判斷正確的有（

）A．是奇函數(shù)B．在定義域上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)D．三、填空題（本大題共3小題）19．已知函數(shù)，則下列四組關(guān)于的函數(shù)關(guān)系：①；②；③；④，其中能使得函數(shù)取相同最大值的函數(shù)關(guān)系為.20．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上有三個不同的零點，則的取值范圍是.21．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）22．已知非空集合是由一些函數(shù)組成，滿足如下性質(zhì)：①對任意均存在反函數(shù)，且；②對任意，方程均有解；③對任意?，若函數(shù)為定義在上的一次函數(shù)，則.(1)若，均在集合中，求證：函數(shù)；(2)若函數(shù)在集合中，求實數(shù)的取值范圍；(3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù)，求證：存在一個實數(shù)，使得對一切，均有.23．設(shè)為正整數(shù)，集合.對于集合中的任意元素和，記.(1)當(dāng)時，若，求和的值；(2)當(dāng)時，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意元素，當(dāng)相同時，是奇數(shù)；當(dāng)不同時，是偶數(shù).求集合中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，.寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.24．設(shè)對集合上的任意兩相異實數(shù)，若恒成立，則稱在上優(yōu)于；若恒成立，則稱在上嚴(yán)格優(yōu)于.(1)設(shè)在上優(yōu)于，且是偶函數(shù)，判斷并證明的奇偶性；(2)若在上嚴(yán)格優(yōu)于，若是上的增函數(shù)，求證：在上也是增函數(shù)；(3)設(shè)函數(shù)，若，是否存在實數(shù)使得在上優(yōu)于，若存在，求實數(shù)的最大值；若不存在，請說明理由.25．定義，中元素稱為奇函數(shù)；，中元素稱為奇函數(shù)；，中元素稱為雙偶函數(shù).例如：，，(1)在下面橫線上填下列詞的一個：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并說明理由；(2)若所有項系數(shù)均為正數(shù)的多項式函數(shù)，滿足，且，則可以找到關(guān)于的多項式函數(shù)，使得當(dāng)，時，，且等號當(dāng)時取到，求這樣的；(3)證明：對任何函數(shù)，均可得到如下分解：，其中為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為雙偶函數(shù).26．排序不等式：設(shè)為兩組實數(shù)，是的任一排列，那么即“反序和亂序和順序和”.當(dāng)且僅當(dāng)或時，反序和等于順序和.(1)設(shè)為實數(shù)，是的任一排列，則乘積的值不會超過___________.(2)設(shè)是個互不相同的正整數(shù)，求證：.(3)有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第個人的水桶需要分鐘，假定這些各不相同.問只有一個水龍頭時，應(yīng)如何安排10人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？

參考答案1．【答案】D【詳解】對于集合，因為與互為反函數(shù)，所以其圖象互相關(guān)于對稱，因為，所以有解，因為，所以，所以有解，所以，設(shè)，得，所以單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，所以，故，所以；對于集合，化簡得，設(shè)，因為，可設(shè)，單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，利用洛必達(dá)法則，時，，所以，所以；由于，所以D正確故選：D2．【答案】C【詳解】由題意時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，又因為函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，則，；；.即得函數(shù)解析式為：由此作出函數(shù)圖象如圖所示：由題意x∈R時，恒成立，即得函數(shù)的圖象恒在函數(shù)y=fx的圖象下方，則由圖象需使，解得，即的取值范圍為.故選：C.3．【答案】B【詳解】由已知條件及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得：所以函數(shù)，的周期,在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖像，如圖所示：因為A、B、C為連續(xù)三交點，(不妨設(shè)B在x軸下方)，D為AC的中點，由對稱性知，是以AC為底邊的等腰三角形，所以,由展開整理得：，又，所以，設(shè)點A、B的縱坐標(biāo)分別為，則，即,要使為銳角三角形，則，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時滿足要求，此時，解得，所以的取值范圍是.故選：B.4．【答案】C【詳解】①因，由，可得，當(dāng)時，則由可得，所以；當(dāng)時，則由恒成立，所以；當(dāng)時，成立，所以符合.因此函數(shù)定義域為，故①正確；②由題意，由可得，即；又由可得，即；又由可得，即.因此,故②正確；③由，可得即，則，則，故③錯誤；④由上分析可知：為中的元素，又，則中至少含有8個元素，即④正確.綜上所述，有①②④共3個正確說法.故選：C.5．【答案】A【詳解】對于A，假設(shè)存在使且，則必有,而對任意的，若取，則，顯然產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，即A錯誤；對于B，由A可得恒成立，若存在使，則，此時，，故B正確；對于C，令，則有，因，故得，即，故C正確；對于D，由展開整理得，，任取，，則，依題意，，又由上分析，因知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，則必有恒成立，于是由，則得，即為R上的增函數(shù).因，則，即得，于是等價于，設(shè)，則得，解得或，即得或，又，由C項知，，因為R上的增函數(shù)，可得或，即不等式解集為,故D正確.故選：A.6．【答案】A【詳解】有題意知，，因為冪函數(shù)中，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，同理，對于分別取對數(shù)得，不妨設(shè)，則，其中，易得，則，綜上所述，.故選：A7．【答案】D【詳解】函數(shù)在上為非減函數(shù)，①，③，令，得；令，得.又②.令，得.令，得；令，得.當(dāng)時，都有，..故選：D8．【答案】B【詳解】，，又均為正實數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“），，此時.，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得，滿足題意.的最大值為1.故選：B.9．【答案】A【詳解】因為是在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即，因為，所以，則，故，又因為，所以，故，所以，故，綜上：，所以，即，故，因為，則，所以，即，綜上：.故選：A.10．【答案】D【詳解】因為函數(shù)在0,+∞上有個不同的零點，所以，關(guān)于的方程在0,+∞上有個不同的實數(shù)根，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)的圖象恒過點，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸的交點為，①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在0,+∞上僅有個不同的交點，如下圖所示：②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有個交點，在上有個交點，如下圖所示：③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有個交點，在上有個交點，如下圖所示：④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在0,+∞上有個交點，如下圖所示：⑤當(dāng)時，要使得函數(shù)與的圖象在0,+∞上有個交點，則與的圖象在0,+∞上有個交點，則與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不等的實根，設(shè)，則在上有兩個零點，可得，解得，此時.且與的圖象在上有一個交點，則，解得.由上可知，；⑥當(dāng)時，，如下圖所示：直線與函數(shù)在0,+∞上的圖象有三個交點.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.11．【答案】B【詳解】，由，得，即，當(dāng)時，，不等式為，則，其區(qū)間長度為；當(dāng)時，，不等式為，無解；當(dāng)時，，不等式為，無解；當(dāng)時，，不等式為，無解；當(dāng)時，，不等式為，無解；當(dāng)時，，不等式為，則，其區(qū)間長度為；當(dāng)時，，不等式為，則，其區(qū)間長度為；當(dāng)時，，不等式為，則，其區(qū)間長度為；因此當(dāng)時，不等式的解集為，而，于是當(dāng)時，不等式解集的區(qū)間長度為，所以實數(shù)的最小值為.故選：B12．【答案】D【分析】A選項，可舉出時，是偶函數(shù)；B選項，得到在分段處函數(shù)值相等，結(jié)合分段函數(shù)的開口方向，對稱軸，得到結(jié)論；C選項，可舉出時，滿足要求；D選項，分類討論得到若的最小值是，則，D錯誤.【詳解】當(dāng)時，，定義域為R，且，故此時為偶函數(shù)，A正確；當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，，開口向上，對稱軸為，即，且，，即在分段處函數(shù)值相等，由于的對稱軸在的對稱軸的左側(cè)，故，都不是R上的單調(diào)函數(shù)，B正確；當(dāng)時，，若，即時，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，令，解得：，均符合要求，綜上：此時函數(shù)有3個零點，故C正確；由B選項可知的最小值在或處取到，，當(dāng)時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得：（舍）或1，故滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得：或2（舍），故滿足題意，當(dāng)時，函數(shù)最小值在或處取到，由于此時恒成立，恒成立，故都不合要求，舍去；綜上：若的最小值是，則，D錯誤.故選：D【點睛】二次函數(shù)相關(guān)知識點總結(jié)，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，若，二次函數(shù)與軸有兩個交點，若，二次函數(shù)與軸有1個交點，若，二次函數(shù)與軸有0個交點.13．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和周期性可分別判斷AB；求出時的解析式，然后根據(jù)自變量范圍代入相應(yīng)表達(dá)式解不等式即可判斷C；將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有四個交點，結(jié)合圖象求得四根的關(guān)系即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，所以函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，故A正確.對于B，當(dāng)時，.若，則，函數(shù)不具有周期性，故B錯誤.對于C，若，，則，當(dāng)時，，則，即當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以，所以恒成立，C正確.對于D，當(dāng)時，，則，令，作出函數(shù)的圖象和直線，如圖.要使有4個不同的零點，則函數(shù)的圖象與直線有4個不同的交點.又，則，所以，，所以，，則，所以，D正確.故選ACD.【方法總結(jié)】關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)的有關(guān)問題，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，利用函數(shù)圖象分析求解即可.14．【答案】ABC【詳解】因為為銳角，若，則，，則，同理，與矛盾，所以，A項正確；所以，所以，B項正確；同理可得，，所以，所以是減函數(shù)，所以正確；錯誤.故選：ABC.15．【答案】ABC【詳解】由條件①，對于A，取，有即（*），若，則為常數(shù)，與題意矛盾，即，故A正確；對于B，由A項已得，代入（*），可得，在①式中，取，有②，再取，有，可得，則有或.因，故，代入②式，可得，用替換，即得，故為偶函數(shù)，即B正確；對于C，若，在①式中取，可得則有，由B項知為偶函數(shù)，在①式中，取，有，即③，再取，有即，用替換，即得④，由③④，易得，即，由上已得，，，，依次代入，可得，，故C正確；對于D，取，因，而，即符合①式，此時，故D錯誤.故選：ABC.16．【答案】ABC【詳解】由題意得為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，；將代入到得：，與原式聯(lián)立可得：，又因為等價于，整理得，令，則在為單調(diào)遞減，對任意的、且，則，則，，所以，，可得，故.故選：ABC.17．【答案】ABD【詳解】對A，對所有的，有，且滿足乘法結(jié)合律；，使得，有；，有，故A正確.對B，若，，有，滿足加法結(jié)合律；當(dāng)時，滿足③；，使，即④成立，故B正確.對C，因為，且，但，故C錯誤.對D，，可設(shè)，則，則G滿足加法結(jié)合律，即，有；，使得，有；，，，使得，故D正確.故選：ABD.18．【答案】BD【分析】利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．計算出判斷A；先利用證明所有有理數(shù)，有，然后用任意無理數(shù)都可以看作是一個有理數(shù)列的極限，由極限的性質(zhì)得，這樣可判斷C，由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B，根據(jù)定義計算（），然后求得D中的和，從而判斷D．【詳解】對于選項A，令，則，即，，不可能是奇函數(shù)，選項A不正確；證明，對于任意，.假設(shè)存在，使得，則，與矛盾，故對于任意，，所以對于任意，，因為，所以對任意正整數(shù)，，所以，同理，對任意正有理數(shù)，顯然有（是互質(zhì)的正整數(shù)），則，對任意正無理數(shù)，可得看作是某個有理數(shù)列的極限，而，，所以與的極限，所以，綜上對所有正實數(shù)，有，選項C不正確，設(shè)，則，所以，則，所以在定義域上是增函數(shù)，選項B正確；由已知，所以，所以，選項D正確．故選：BD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是充分理解函數(shù)新定義，利用函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的證明即可判斷AB選項.19．【答案】①②④【詳解】依題意，令，當(dāng)取得最小值時，取得最大值.（1）當(dāng)時，.（2）當(dāng)時：由（1）去分母并化簡得，此方程有解，故，整理得，此一元二次不等式有解，所以，整理得，即，解得.綜上所述，所以的最小值為.由，化簡得，即，所以.即當(dāng)時，取得最小值，取得最大值.將點代入①②③④進(jìn)行驗證：①，符合；②，符合；③，不符合；④，符合.所以點滿足①②④，不滿足③.故答案為：①②④20．【答案】【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，由，可得.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，由，可得無解，當(dāng)時，由，可得，因為在上有三個不同的零點，所以，解得，故答案為：.21．【答案】【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，由，令，由圖知，當(dāng)時，方程有個不同的解，當(dāng)時，方程有個解，令，則，即，即，如圖所示，作出函數(shù)的圖象，函數(shù)恒過定點，當(dāng)函數(shù)的圖象只有一個交點時，即，即只有一個解，則，解得（舍去）當(dāng)時，由圖知函數(shù)的圖象只有一個交點，即方程有且僅有一個根，且這個根在上，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有兩個零點，所以符合題意；當(dāng)時，由圖知函數(shù)的圖象有個交點，即方程有個根，且一個在上，一個為，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有兩個零點，所以不符合題意；當(dāng)時，由圖知函數(shù)的圖象有個交點，即方程有個根，且一個在上，另外兩個在上，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有兩個零點，所以不符合題意；當(dāng)時，方程沒有正數(shù)根，此時令，則，當(dāng)時，方程無解，所以方程無解，即函數(shù)沒有零點，所以不符合題意；當(dāng)時，，（1）當(dāng)時，，即方程的解為，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有兩個零點，所以符合題意；（2）當(dāng)時，，則由，得，則，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有兩個零點，所以符合題意；（3）當(dāng)時，，則由，得，則，所以方程只有個解，即函數(shù)有個零點，故符合題意；（4）當(dāng)時，，則由，得，則，所以方程有個不同的解，即函數(shù)有個零點，故不符題意，綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.22．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由，根據(jù)性質(zhì)①可得，且數(shù)形結(jié)合可知，存在，使得，由，且為一次函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)③可得：，綜上，；（2）由性質(zhì)②，方程，即在上有解，，由，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若時，，且，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，有，即對于反函數(shù)，對一個自變量，有兩個函數(shù)值與其對應(yīng)，不滿足函數(shù)定義，即沒有反函數(shù)，即不滿足性質(zhì)①；若時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時有反函數(shù)，即滿足性質(zhì)①.綜上：.（3）任取，由性質(zhì)①，若，此時不存在反函數(shù)，若，根據(jù)性質(zhì)②，需滿足有解，則必有，同理，若，則必有，即此時，顯然滿足存在相同的滿足：，接下來討論，由性質(zhì)③，函數(shù)，，由性質(zhì)①，的反函數(shù)，由性質(zhì)③：，由性質(zhì)②方程：，，即，令，可得，令，可得，由此可知：對于任意兩個函數(shù)，存在相同的滿足：，存在一個實數(shù)，使得對一切，均有.23．【答案】(1)2，1(2)最大值為4(3)，理由見解析【詳解】（1），；（2）考慮數(shù)對相應(yīng)的分別為，所以中的每個元素應(yīng)有奇數(shù)個，所以的元素只可能為（上下對應(yīng)的兩個元素稱之為互補元素）：，，對于任意兩個只有個的元素都滿足是偶數(shù)，所以集合滿足題意，假設(shè)中元素個數(shù)大于等于4，就至少有一對互補元素，除了這對互補元素之外還有至少1個含有3個1的元素，則互補元素中含有1個1的元素與之滿足不合題意，故中元素個數(shù)的最大值為4.（3），此時中有個元素，下證其為最大.對于任意兩個不同的元素滿足，則中相同位置上的數(shù)字不能同時為1，假設(shè)存在有多于個元素，由于與任意元素都有，所以