2024-2025學年北京市海淀區(qū)高一上冊12月月考數(shù)學學情檢測試題（含解析）

2024-2025學年北京市海淀區(qū)高一上學期12月月考數(shù)學學情檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．某校高一、高二、高三人數(shù)分別為450，500，550，若用分層抽樣的方式從該校學生中抽取一個容量為30的樣本，則樣本中高二學生的人數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．123．若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．34．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定存在零點的是（

）A． B． C． D．5．記，，，則（

）A． B． C． D．6．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．有一種質(zhì)地均勻的“新型”骰子，其六面中有三面點數(shù)為1，兩面點數(shù)為2，一面點數(shù)為3，現(xiàn)連續(xù)擲兩次該骰子，則這兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）9．函數(shù)的定義域為.10．若，，…，的平均數(shù)為5，方差為4，則，，…，的平均數(shù)為；方差為.11．已知函數(shù)，若，則.12．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：在上為單調(diào)函數(shù)，，，若，則的取值范圍是.13．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.①的值為；②記，，若，則的取值范圍是.14．函數(shù)（且）.給出下列四個結(jié)論：①當時，的值域為；②當時，恰有兩個零點；③若存在最大值，則的取值范圍是；④若存在三個互不相等實數(shù)，使得，且，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題（本大題共5小題）15．現(xiàn)有大小相同的紅球和白球各兩個，若在其中隨機抽?。ú环呕兀﹥蓚€球.(1)求所抽的兩個球中，恰有一個為紅球的概率；(2)求所抽的兩個球中，至少有一個為紅球的概率.16．為調(diào)查某校學生的校志愿者活動情況，現(xiàn)抽取一個容量為100的樣本，統(tǒng)計了這些學生一周內(nèi)的校志愿者活動時長，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數(shù)據(jù)分布在，，，，，，的頻率分別為，，…，.已知，.(1)求，的值；(2)求樣本中在內(nèi)的頻數(shù)；(3)若全校共名學生，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計：全校學生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于分鐘的人數(shù).17．已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性，并證明；(2)若，求的取值范圍.18．已知函數(shù)（且）.(1)當時，求的最大值；(2)若對任意，均有，求的最大值；(3)若對任意，均有，求的取值范圍.19．若函數(shù)的定義域為，且滿足，則稱為“函數(shù)”.(1)分別判斷下列函數(shù)是否為“函數(shù)”；（直接給出結(jié)論）①；②(2)若“函數(shù)”在上單調(diào)遞增，且，求的取值范圍；(3)若“函數(shù)”滿足：當時，，且在上的值域為，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】A【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A2．【正確答案】B【詳解】依題意可得樣本中高二學生的人數(shù)為（人）.故選：B3．【正確答案】B【詳解】因為函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，所以，所以.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】因為與均在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在區(qū)間上存在唯一零點.故選：C5．【正確答案】D【詳解】因為在上單調(diào)遞增，又，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，所以，因為在上單調(diào)遞增，，所以所以.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，所以“”是“”的充要條件.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】記第一次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，則，記第二次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，則，則兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)為事件，所以.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】由，即，解得或，所以，當時，，所以，當時，令，即，解得，，則的圖象如下所示：因為函數(shù)在上的值域為，當，（或，）時取得最小值，即；當，時取得最大值，即；所以的取值范圍是.故選：D9．【正確答案】【詳解】對于函數(shù)，令，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故10．【正確答案】【詳解】因為，，…，的平均數(shù)為5，方差為4，所以數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為：，方差為.故；.11．【正確答案】/【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故答案為.12．【正確答案】【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)函數(shù)，，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，即，所以，即或，解得或，所以的取值范圍是.故13．【正確答案】【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得；因為在上單調(diào)遞減，又，，則，因為，所以或，解得或，即的取值范圍是.故；14．【正確答案】②③④【詳解】設(shè)，則；設(shè)，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；且.令，解得或.結(jié)論①，當a=2時，.此時，故①錯誤；結(jié)論②，當時，由于在上單調(diào)遞增，且，故在上恰有一個零點x=1.而在上有，由在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，令，可得，可知在上有且僅有一個零點.綜上可知，當時，恰有兩個零點，故②正確；結(jié)論③，當時，由于在上單調(diào)遞減，且，當時，故當時，無最大值（如圖1），不滿足題意；當時，當時，由于在上單調(diào)遞增，且，；當時，由在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故；由，故當時，故當時，存在最大值（如圖2），滿足題意；當時，當時，由于在上單調(diào)遞增，且，；當時，由在單調(diào)遞減，，且當時，故在不存在最大值；可知當時，無最大值（如圖3），不滿足題意；同理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與圖象可知，當時，無最大值（如圖4），不滿足題意；當時，，存在最大值1（如圖5），滿足題意；當時，存在最大值1（如圖6），滿足題意；綜上所述，若存在最大值，則的取值范圍是即③正確；結(jié)論④，存在三個互不相等實數(shù)，使得，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，不妨設(shè)，.當時，結(jié)合圖象（如圖）可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，且，，則，故滿足題意，故當時，滿足題意；當時，，且，結(jié)合圖象（如圖）可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，但，，則，故不滿足題意；當時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，且，，則，故當時，滿足題意；當時，，且，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象（如圖）可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，但，，則，故不滿足題意；同理結(jié)合圖象（如圖，③中圖，圖，圖，圖）可知，當時，函數(shù)圖象與直線至多兩個交點，故不滿足題意.綜上所述，的取值范圍是，故④正確.故②③④15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）記兩個紅球為，，兩個白球為，，從中隨機抽?。ú环呕兀﹥蓚€球，則可能結(jié)果有，，，，，共個，恰有一個為紅球的有，，，共種情況，所以所抽的兩個球中，恰有一個為紅球的概率.（2）所抽的兩個球中，至少有一個為紅球有，，，，共種情況，所以所抽的兩個球中，至少有一個為紅球的概率.16．【正確答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）依題意，，又，且，，解得，，；（2）因為，所以樣本中在內(nèi)的頻數(shù)為；（3）因為，所以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計全校學生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于分鐘的人數(shù)約為（人）.17．【正確答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)【詳解】（1）為奇函數(shù)，證明如下：由題意可得，解得，所以函數(shù)的定義域為.又，所以函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（2）因為，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，不等式，即，即，即，解得，所以的取值范圍為.18．【正確答案】(1)1(2)4(3)【詳解】（1）當時，，當且僅當，即時，等號成立所以的最大值為1（2）因為，所以，由題“”即：“，均有”當且僅當時等號成立，故，即的最大值為4（3）令，則，令，①當時，由，則，則在上單調(diào)遞減，又，所以，依題意，故；②當時，由，則，1）當時，在上單調(diào)遞減，所以恒成立，符合題意；2）當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，故，綜上可得，的取值范圍是.19．【正確答案】(1)①是“函數(shù)”，②不是“函數(shù)”(2)(3)【詳解】（1）①是“函數(shù)”；②不是“函數(shù)”.理由如下：①，又函數(shù)的定義域為，所以為“函數(shù)”.②，故不是“函數(shù)”.（2）先證：在上單調(diào)遞增.任取，且①若，由于在上單調(diào)遞增，則②若，則，由于在上單調(diào)遞增，則，結(jié)合“函數(shù)”定義，有即在上單調(diào)遞增