高等數(shù)學(xué)-清華大學(xué)出版社

“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截杖問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”二、數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集合的函數(shù)播放三、數(shù)列的極限問(wèn)題:當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:如果數(shù)列不收斂,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：例2證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定

尋找N,但不必要求最小的N.例3證1.唯一性定理1.3.1每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.四、數(shù)列極限的性質(zhì)2.有界性例如,有界無(wú)界定理1.3.2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.例4證由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).3.數(shù)列及其子數(shù)列的極限關(guān)系定理1.3.3設(shè)是一個(gè)數(shù)列.正整數(shù)列滿足則稱數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.若數(shù)列的極限為則它的任一子數(shù)列都以為極限.例證明數(shù)列發(fā)散.證明記則由及定理1.3.3知數(shù)列發(fā)散.4.保號(hào)性設(shè)且或則存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)或設(shè)且或則或證明因則可取使得于是由知存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有即對(duì)于的情況也可類似地證明.用反證法,設(shè)若則由(1)知存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)這與假設(shè)矛盾.推論(保序性)則存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有(1)設(shè)且(2)設(shè)且則注意：例5證設(shè)求證由題設(shè)及定理1.3.4知若則有若則由知任給存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí),從而即于是有總之有定理1.3.5(極限的四則運(yùn)算)設(shè)是收斂數(shù)列,則也都是收斂數(shù)列,且如果則也是收斂數(shù)列,且證明設(shè)(1)對(duì)任給的存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有又存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有于是當(dāng)時(shí)有對(duì)上述這就證明了(2)由于收斂,故有界:而對(duì)于任給的存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有又存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有于是當(dāng)時(shí)有這就證明了(3)先證明當(dāng)時(shí),對(duì)于存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有此時(shí)有這表明在的條件下數(shù)列中至多有有限項(xiàng)等于零.在的情況下又有現(xiàn)考慮對(duì)于任意給定的根據(jù)知存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有因此當(dāng)時(shí)有這表明再由上述已證明的(2)即得例求極限解例求極限解由知因此1.3.3數(shù)列極限存在的條件1.3.6（夾逼定理）證上兩式同時(shí)成立,例解由夾逼定理得例證明證明令則當(dāng)時(shí)且由此得即于是由夾逼定理即得例設(shè)求證證明先設(shè)則當(dāng)時(shí),由夾逼定理知當(dāng)時(shí),則于是因此令例設(shè)是正整數(shù),求證證明先考慮設(shè)其中則而故再考慮任意的正整數(shù)記則于是由此得例證明證明由及利用夾逼定理即得定理1.3.7(單調(diào)有界定理)若數(shù)列單調(diào)上升有上界:則該數(shù)列收斂;類似地,單調(diào)下降且有下界的數(shù)列必收斂.例設(shè)證明數(shù)列的單調(diào)上升性是明顯的,求證存在.下面證明其有上界,故由單調(diào)有界定理知存在.事實(shí)上例證明數(shù)列收斂,并求其極限.證明設(shè)該數(shù)列的通項(xiàng)為則它顯然滿足遞推公式為了證明其單調(diào)性,考察根據(jù)此式及由數(shù)學(xué)歸納法知數(shù)列是單調(diào)上升的.下面證明顯然設(shè)若則由數(shù)學(xué)歸納法知根據(jù)單調(diào)有界定理,數(shù)列收斂.設(shè)其極限為則由遞推公式有對(duì)此式兩端求極限,得到解得根據(jù)極限的保號(hào)性知注對(duì)這類由遞推公式兩端取極限來(lái)求極限的題目,必須首先證明其極限的存在性,否則會(huì)導(dǎo)致謬誤.例如則若直接對(duì)上式兩端求極限,就得到從而但顯然不能成立.例證明下列兩個(gè)數(shù)列的極限存在且相等:證明顯然數(shù)列是單調(diào)上升的.又因即有上界,故存在,記為,即對(duì)于數(shù)列利用二項(xiàng)式展開(kāi),有從而易知即數(shù)列單調(diào)上升.由式(1.3.7)可以看出根據(jù)單調(diào)有界定理,存在,記為再由極限的保序性知另一方面,由式(1.3.7)知當(dāng)時(shí),固定令對(duì)上式取極限,得再令即得總之思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大”的值從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為習(xí)題1.31(1)、(2)、(4)、(5)、(7)(2)、(3)、(5)4、5、6.

1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊?、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊搿案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)