【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2導(dǎo)學(xué)案：《合情推理》

第1課時(shí)合情推理1.結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活實(shí)例,了解歸納推理與類比推理的含義.2.能利用歸納方法進(jìn)行簡(jiǎn)潔推理,體會(huì)并生疏歸納推理在數(shù)學(xué)進(jìn)展中的作用.3.把握類比推理的一般方法,會(huì)對(duì)一些簡(jiǎn)潔問(wèn)題進(jìn)行類比,得出新的結(jié)論,培育同學(xué)的類比推理力量.歷史上,人們提出過(guò)很多永動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)方案,有人接受“螺旋汲水器”的原理,有人利用輪子慣性原理,有人利用水的浮力或毛細(xì)作用的原理,但均以失敗告終.于是人們紛紛認(rèn)為:不行能制造出永動(dòng)機(jī).問(wèn)題1:他們?yōu)槭裁凑J(rèn)為不行能制造出永動(dòng)機(jī)?通過(guò)大量失敗的例子歸納推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律徹底說(shuō)明永動(dòng)機(jī)不行制造.問(wèn)題2:歸納推理、類比推理及其特點(diǎn)(1)歸納推理:依據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性,我們把這種推理方式稱為.

它具有以下幾個(gè)特點(diǎn):①歸納推理是由部分到整體、由到的推理.

②利用歸納推理得出的結(jié)論不肯定是正確的,但是可以為我們的爭(zhēng)辯供應(yīng)一種方向.(2)類比推理:由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特性,在此基礎(chǔ)上,依據(jù)一類對(duì)象的其他特征,推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征,我們把這種推理過(guò)程稱為.

它具有以下幾個(gè)特點(diǎn):①類比是從人們已經(jīng)把握了的事物的屬性,推想正在爭(zhēng)辯的事物的屬性,是以舊有的生疏為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.②類比是從一種事物的特殊屬性推想另一種事物的特殊屬性,是一種從到的推理.

③類比的結(jié)果不肯定正確,但它卻有發(fā)覺(jué)的功能.問(wèn)題3:歸納推理、類比推理的一般步驟(1)歸納推理:①通過(guò)觀看個(gè)別狀況發(fā)覺(jué)某些相同的性質(zhì);②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想);假如歸納的個(gè)別狀況越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題就越可能為真.歸納推理的一般思維過(guò)程:試驗(yàn)、觀看→概括、推廣→猜想一般性結(jié)論(2)類比推理:①找出兩類對(duì)象之間可以精確?????表述的相像特征;②用一類對(duì)象的已知特征去推想另一類對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)猜想;③檢驗(yàn)猜想.類比推理的一般思維過(guò)程:觀看、比較→聯(lián)想、類推→猜想新結(jié)論問(wèn)題4:合情推理及其意義歸納推理和類比推理都是最常見(jiàn)的推理.合情推理是依據(jù)試驗(yàn)與實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的閱歷和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等),推想出某些結(jié)果的推理方式.

盡管合情推理的結(jié)果正確,但是,在數(shù)學(xué)、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的歷史進(jìn)展中,合情推理有格外重要的價(jià)值,它是科學(xué)發(fā)覺(jué)和制造的基礎(chǔ).

1.數(shù)列{an}的前四項(xiàng)為32,1,58,38,由此可以歸納出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(A.an=n+22n+1B.an=n+22nC.an=2.由數(shù)列1,10,100,1000,…猜想該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是().A.10n B.10n-1 C.10n+1 D.11n3.已知點(diǎn)A(x1,x12)、B(x2,x22)是函數(shù)y=x2的圖像上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖像可知,線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方,因此有結(jié)論x12+x222>(x1+x22)2成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)C(x1,lgx1)、D(x2,lgx4.觀看圓周上n個(gè)點(diǎn)之間所連的弦,發(fā)覺(jué)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦,3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦,4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦,5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦,由此可以歸納出什么規(guī)律?歸納推理的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)=x1-x,設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>1,n∈N+),則f3(x)的表達(dá)式為,猜想fn(x)(n∈N+)利用類比推理猜想結(jié)論在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式成立.

通過(guò)類比方法解題通過(guò)計(jì)算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1將以上各式分別相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=n(類比上述求法,請(qǐng)你求出12+22+32+…+n2的值.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xx+2(x>0),f1(x)=f(x)=xxf2(x)=f(f1(x))=x3f3(x)=f(f2(x))=x7f4(x)=f(f3(x))=x15……依據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=.

(2)觀看下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,依據(jù)上述規(guī)律,第五個(gè)等式為.

下列是用類比法進(jìn)行猜想的幾個(gè)結(jié)論:①由“a=b?ac=bc”類比得到“a>b?ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”類比得到“sin(A+B)=sinA+sinB”;③由“abcb=ac(a>0,b>0,c>0)”類比得到“l(fā)g(ab)lg(cb)=lgalgc④由“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的數(shù),分?jǐn)?shù)值不變”類比得到“分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的式子,分?jǐn)?shù)值不變”.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為().A.0 B.1 C.2 D.3在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)之比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四周體的棱長(zhǎng)的比為1∶2,求它們的體積之比.1.依據(jù)給出的數(shù)塔猜想123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.11111132.對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”,可類比猜想出:正四周體的內(nèi)切球切于四周體().A.各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B.各正三角形的某高線上的點(diǎn)C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某點(diǎn)3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an3an+1(n∈N+),可以猜想數(shù)列的通項(xiàng)4.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3,三側(cè)面△SBC、△SAC、△SAB的面積分別為S1、S2、S3,類比三角形中的正弦定理,給出空間情形的一個(gè)猜想.(2021年·陜西卷)觀看下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.

考題變式(我來(lái)改編):

答案第一章推理與證明第1課時(shí)合情推理學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題2:(1)歸納推理①個(gè)別一般(2)類比推理②特殊特殊問(wèn)題4:合情不肯定基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B將前四項(xiàng)分別寫(xiě)成2+121,2+222,2+323,2+424,即可作出歸納,2.B3.lgx1+lgx22<lgx1+x224.解:設(shè)f(n)為n個(gè)點(diǎn)可連的弦的條數(shù),則f(2)=1=2×12,f(3)=3=3×22,f(4)=6=4×32,f(5)=10=5×4重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]=x1-x1-x1-x=x1-2x,f3(x)=f2[f2(x)]=x1-2x1-2【答案】f3(x)=x1-22xfn(x)=x1【小結(jié)】歸納推理的一般步驟:(1)經(jīng)過(guò)觀看個(gè)別狀況發(fā)覺(jué)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)有明確結(jié)論的一般性命題.探究二:【解析】等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq);等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq).由此,猜想本題的答案為b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小結(jié)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.類比問(wèn)題的關(guān)鍵是找好對(duì)應(yīng)的類比對(duì)象,理解類比前問(wèn)題成立的條件也是個(gè)關(guān)鍵.探究三:【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1將以上各式分別相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n)+n,所以12+22+32+…+n2=13[(n+1)3-1-n-3·1+n2·n]=16n(n+1)(2【小結(jié)】類比推理是由特殊到特殊的推理,其關(guān)鍵就是留意本質(zhì)的推導(dǎo)方式,通過(guò)這種推導(dǎo)方式對(duì)解決另一個(gè)問(wèn)題起到指導(dǎo)作用.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)x(2n-1)x+2n(2)13+23+33+43+53+63=212(1)觀看給定的各個(gè)函數(shù)解析式,可知分子都為x,分母都為關(guān)于x的一次式的形式且各個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)分別為2,4,8,16,…,這樣fn(x)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的分母的常數(shù)為2n,x的系數(shù)比常數(shù)少1即為2n-1,因此fn(x)=f(2)由題中等式可知第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和,右邊為1+2+…+(i+1)的平方,所以第五個(gè)等式為13+23+33+43+53+63=212.應(yīng)用二:B當(dāng)c≤0時(shí),①類比的結(jié)論不正確;②類比的結(jié)論是同學(xué)剛學(xué)習(xí)三角時(shí)經(jīng)常消滅的錯(cuò)誤;③類比的結(jié)論也是同學(xué)在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)常犯的錯(cuò)誤,即類比推理的結(jié)論不肯定正確;④類比的結(jié)論是正確的.應(yīng)用三:由類比推理得,若兩個(gè)正四周體的棱長(zhǎng)的比為1∶2,則它們的體積比為1∶8.下面計(jì)算驗(yàn)證,假設(shè)兩個(gè)正四周體的棱長(zhǎng)分別為1和2,如圖,正四周體ABCD的棱長(zhǎng)為1,取BC的中點(diǎn)E,作AO⊥ED于O,則OD=23ED=23×32又在Rt△AOD中,AO=1-OD2=則V正四周體ABCD=13S△BCD·AO=13×34×6同理,可算得棱長(zhǎng)為2的正四周體的體積V正四周體A'B'C'D'=22.故V正四周體ABCD∶V正四周體A'B'C'D'=212∶223=1基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B2.C正四周體的四個(gè)面都是正三角形,其內(nèi)切球與正四周體的四個(gè)面相切于各正三角形的中心.3.an=26n-5(n4.解:在△DEF中,由正弦定理得dsinD=esi