【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第二章-函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2-5-

第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(16,4)，若f(m)＝3，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\r(3) B．±eq\r(3)C．±9 D．9解析由已知條件可得16α＝42α＝4，所以α＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)，故f(m)＝eq\r(m)＝3?m＝9，選D.答案D2．(2022·浙江卷)在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖象可能是()解析由于本題中函數(shù)為y＝xa(x>0)與y＝logax，對(duì)于選項(xiàng)A，沒(méi)有冪函數(shù)圖象，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由y＝xa(x>0)的圖象知a>1，而由y＝logax的圖象知0<a<1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由y＝xa(x>0)的圖象知0<a<1，而由y＝logax的圖象知a>1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由y＝xa(x>0)的圖象，知0<a<1，而由y＝logax的圖象知0<a<1，故選D.答案D3．(2022·廣東六校一模)若x∈(0,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．lgx>xeq\s\up15(eq\f(1,2))>2x B．2x>lgx>xeq\s\up15(eq\f(1,2))C．xeq\s\up15(eq\f(1,2))>2x>lgx D．2x>xeq\s\up15(eq\f(1,2))>lgx解析當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，2x∈(1,2)，xeq\s\up15(eq\f(1,2))∈(0,1)，lgx∈(－∞，0)，所以2x>xeq\s\up15(eq\f(1,2))>lgx.答案D4．(2021·泰安模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，則函數(shù)f(x)的圖象不行能是()解析由A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)知，圖象與x軸均有交點(diǎn)，記兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則x1＝x2，由于a＝c，所以x1x2＝eq\f(c,a)＝1，比較四個(gè)選項(xiàng)，可知選項(xiàng)D的x1<－1，x2<－1，所以D不滿足．答案D5．關(guān)于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的兩根異號(hào)，且負(fù)根的確定值比正根大，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．－3<m<0 B．0<m<3C．m<－3或m>0 D．m<0或m>3解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16m2－4m＋32m－1>0，①,x1＋x2＝\f(4m,m＋3)<0，②,x1·x2＝\f(2m－1,m＋3)<0，③))由①②③得－3<m<0，故選A.答案A6．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，所以a>0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1.所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2.答案D二、填空題7．冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2為奇函數(shù)，則m＝________.解析由f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2為冪函數(shù)得：m2－5m＋7＝1，解得：m＝2或m＝3，又由于該函數(shù)為奇函數(shù)，所以m＝3.答案38．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是____________________．解析設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49(a<0)，方程aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則|x1－x2|＝2eq\r(－\f(49,a))＝7，所以a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.答案f(x)＝－4x2－12x＋409．已知二次函數(shù)f(x)＝cx2－4x＋a＋1的值域是[1，＋∞)，則eq\f(1,a)＋eq\f(9,c)的最小值是________．解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4ca＋1－16,4c)＝1，,c>0，))得ac＝4，且a>0，c>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(9,c)≥2eq\r(\f(9,ac))＝2·eq\r(\f(9,4))＝3.答案3三、解答題10．(2021·武漢模擬)二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式．(2)在區(qū)間[－1,1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．解(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.由于f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.即2ax＋a＋b＝2x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由題意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2－3x＋1－m，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝eq\f(3,2)，所以g(x)在[－1,1]上遞減．故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.11．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋c(a，c∈N*)滿足①f(1)＝5；②6<f(2)<11.(1)求f(x)的解析式．(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，都有f(x)－2mx≤1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)f(1)＝a＋2＋c＝5，所以c＝3－a.又6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，則－eq\f(1,3)<a<eq\f(4,3)，故a＝1，c＝2.f(x)的解析式為f(x)＝x2＋2x＋2.(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2，由題意得2(1－m)≤－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上恒成立，易求eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))))min＝－eq\f(5,2)，故2(1－m)≤－eq\f(5,2)，解得m≥eq\f(9,4).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．(2021·江門(mén)、佛山模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當(dāng)x>1時(shí)，恒有f(x)<x，則α的取值范圍是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)解析當(dāng)x>1時(shí)，恒有f(x)<x，即當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝xα的圖象在y＝x的圖象的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖象，由圖象可知α<1時(shí)滿足題意，故選B.答案B2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，則()A．?m∈A，都有f(m＋3)>0B．?m∈A，都有f(m＋3)<0C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．?m0∈A，使得f(m0＋3)<0解析由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，且f(1)＝0，f(0)＝c<0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.由a>b，得eq\f(b,a)<1，設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的另一個(gè)根為x1，則x1＋1＝－eq\f(b,a)>－1，即x1>－2，由f(m)<0可得－2<m<1，所以1<m＋3<4，由拋物線的圖象可知，f(m＋3)>0.選A.答案A3．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇1，＋∞)，則a的值為_(kāi)_______．解析由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以f(x)min＝1且Δ<0.∴－eq\r(5)＋1<a<eq\r(5)＋1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.答案－1或34．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1.(1)試爭(zhēng)辯函數(shù)f(x)的單調(diào)性．(2)若eq\f(1,3)≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a)，最小值為N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表達(dá)式．(3)在(2)的條件下，求證：g(a)≥eq\f(1,2)解(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(1,a)，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a)))上為減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上為增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線f(x)＝ax2－2x＋1開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(1,a)，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上為減函數(shù)．(2)由于f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))2＋1－eq\f(1,a)，由eq\f(1,3)≤a≤1得1≤eq\f(1,a)≤3，所以N(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1－eq\f(1,a).當(dāng)1≤eq\f(1,a)<2，即eq\f(1,2)<a≤1時(shí)，M(a)＝f(3)＝9a－5，故g(a)＝9a＋eq\f(1,a)－6；當(dāng)2≤eq\f(1,a)≤3，即eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,2)時(shí)，M(a)＝f(1)＝a－1，故g(a)＝a＋eq\f(1,a)－2.所以g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)－2，a∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，,9a＋\f(1,a)－6，a∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).))(3)證明：當(dāng)a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))時(shí)，g′(a)＝1－eq\f(1,a2)<0，所以函數(shù)g(a)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al