【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)階段性測試題11(計數(shù)原理與概率(理)-概率(文))

階段性測試題十一(計數(shù)原理與概率(理)概率(文))本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述大事中，是對立大事的是()A．① B．②④C．③ D．①③[答案]C[解析]從1,2，…，9中任取2個數(shù)字包括一奇一偶、二奇、二偶共有三種互斥大事，所以只有③中的兩個大事才是對立的．2．一只螞蟻在如圖所示的地板磚(除顏色不同外，其余全部相同)上爬來爬去，它最終任憑停留在黑色地板上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)[答案]A[解析]由幾何概型的概率公式可得，P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).3．(文)一副撲克牌除去大、小王兩張撲克后還剩52張，從中任意摸一張，摸到紅心的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,52)[答案]B[解析]全部基本大事總數(shù)為52，大事“摸到一張紅心”包含的基本大事數(shù)為13，則摸到紅心的概率為eq\f(13,52)＝eq\f(1,4).(理)將5名同學(xué)分到A，B，C三個宿舍，每個宿舍至少1人至多2人，其中同學(xué)甲不到A宿舍的不同分法有()A．18種 B．36種C．48種 D．60種[答案]D[解析]當甲一人住一個寢室時有：Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)＝12種，當甲和另一人住一起時有：Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)＝48.所以有12＋48＝60種．4．(文)現(xiàn)釆用隨機模擬的方法估量某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0、1表示沒有擊中目標，2、3、4、5、6、7、8、9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據(jù)以上數(shù)據(jù)估量該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.852 B．0.8192C．0.8 D．0.75[答案]D[解析]隨機模擬產(chǎn)生的20組隨機數(shù)，表示至少擊中3次的組數(shù)為15，所以概率為P＝eq\f(15,20)＝0.75.(理)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，則P(ξ<0)＝()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7[答案]B[解析]∵隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝0.4，∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故選B．5．(文)某家庭電話在家中有人時，打進的電話響第1聲時被接的概率是eq\f(1,10)，響第2聲時被接的概率是eq\f(3,10)，響第3聲時被接的概率是eq\f(2,5)，響第4聲時被接的概率是eq\f(1,10)，那么電話在響前4聲內(nèi)被接的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(9,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(4,5)[答案]B[解析]P＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).(理)(2022·四川高考)在x(1＋x)6的開放式中，含x3項的系數(shù)為()A．30 B．20C．15 D．10[答案]C[解析]本題考查了二項式定理和二項開放式的系數(shù)，x3的系數(shù)就是(1＋x)6中的第三項即為Ceq\o\al(2,6)＝15.6．(文)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－x＋2，x∈[－5,5]．若從區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機選取一個實數(shù)x0，則所選取的實數(shù)x0滿足f(x0)≤0的概率為()A．0.5 B．0.4C．0.3 D．0.2[答案]C[解析]由f(x)＝x2－x－2≤0得：－1≤x≤2，所以從區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機選取一個實數(shù)x0，則所選取的實數(shù)x0滿足f(x0)≤0的概率為eq\f(3,10)＝0.3.(理)某老師一天上3個班級的課，每班一節(jié)，假如一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且老師不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上)，那么這位老師一天的課的全部排法有()A．474種 B．77種C．464種 D．79種[答案]A[解析]首先求得不受限制時，從9節(jié)課中任意支配3節(jié)，有Aeq\o\al(3,9)＝504種排法，其中上午連排3節(jié)的有3Aeq\o\al(3,3)＝18種，下午連排3節(jié)的有2Aeq\o\al(3,3)＝12種，則這位老師一天的課的全部排法有504－18－12＝474種，故選A．7．(文)先后擲兩次正方體骰子(骰子的六個面分別標有點數(shù)1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別為m，n，則mn是奇數(shù)的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]先后擲兩次正方體骰子總共有36種可能，要使mn是奇數(shù)，則m，n都是奇數(shù)，因此有以下幾種可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9種可能．因此P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).(理)(2021·武漢期末)若隨機變量η的分布列為η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(η<x)＝0.8時，實數(shù)x的取值范圍是()A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2[答案]C[解析]由隨機變量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，則當P(η<x)＝0.8時，實數(shù)x的取值范圍是1<x≤2.8．在一個袋子中裝有分別標注1,2,3,4,5的5個小球，這些小球除標注的數(shù)字外其他特征完全相同，現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出小球標注的數(shù)字之差的確定值為2或4的概率是()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,4)[答案]C[解析]取2個小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十種，其中標注的數(shù)字之差的確定值為2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四種，故所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).9．(2021·廣東七校聯(lián)考)如圖，已知圓的半徑為10，其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A、B分別為60°和45°，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機撒一粒豆子，則豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為()A．eq\f(3＋\r(3),16π) B．eq\f(3＋\r(3),4π)C．eq\f(4π,3＋\r(3)) D．eq\f(16π,3＋\r(3))[答案]B[解析]由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R為圓的半徑)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°,AC＝20sin45°))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3),AC＝10\r(2))).那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3))．于是，豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為eq\f(S△ABC,圓的面積)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).10．(文)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈(0，eq\f(π,2)]的概率是()A．eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12) D．eq\f(5,6)[答案]C[解析]基本大事總數(shù)為36，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)≥0得a·b≥0，即m－n≥0，包含的基本大事有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21個，故所求概率為P＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).(理)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的大事；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的大事．則下列結(jié)論中正確的是()①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③大事B與大事A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的大事．A．②④ B．①③C．②③ D．①④[答案]A[解析]由題意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一個大事發(fā)生所打算的，故①③錯誤；∵P(B|A1)＝eq\f(PB∩A1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，故②正確；由互斥大事的定義知④正確，故正確的結(jié)論的編號是②④.第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11．拋擲一粒骰子，觀看擲出的點數(shù)，設(shè)大事A為毀滅奇數(shù)點，大事B為毀滅2點，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則毀滅奇數(shù)點或2點的概率為________．[答案]eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).12．如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π,6)，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機的投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________．[答案]1－eq\f(\r(3),2)[解析]斜邊為2，且較小的銳角θ＝eq\f(π,6)的直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)×2×2×coseq\f(π,6)×sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，記飛鏢落在小正方形內(nèi)為大事A，則P(A)＝eq\f(4－4S,4)＝1－eq\f(\r(3),2).13．(文)假設(shè)小軍、小燕和小明所在的班級共有50名同學(xué)，并且這50名同學(xué)早上到校先后的可能性相同，則“小燕比小明先到校，小明又比小軍先到?！钡母怕蕿開_______．[答案]eq\f(1,6)[解析]將3人排序共包含6個基本大事，由古典概型得P＝eq\f(1,6).(理)(2021·湖南師大附中月考)將6位志愿者分成4組，其中兩組各2人，另兩組各1人，分赴4個不同的學(xué)校支教，則不同的支配方案共有________種(用數(shù)字作答)．[答案]1080[解析]eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＝1080.14．(文)集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，則所取兩數(shù)m>n的概率是________．[答案]eq\f(3,5)[解析]基本大事總數(shù)為5×5＝25個．m＝2時，n＝1；m＝4時，n＝1,3；m＝6時，n＝1,3,5；m＝8時，n＝1,3,5,7；m＝10時，n＝1,3,5,7,9，共15個．故P＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5).(理)(2022·浙江高考)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券支配給4個人，每人2張，不同的獲獎狀況有________種(用數(shù)字作答)．[答案]60[解析]本題考查排列組合問題．不同的獲獎分兩種：一是有一人獲兩張，一人獲一張，共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36，二是三人各獲一張，共有Aeq\o\al(3,4)＝24，故共有60種．15．(文)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，則直線y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1有公共點的概率為________．[答案]eq\f(\r(3),3)[解析]∵直線與圓有公共點，∴eq\f(|2k|,\r(k2＋1))≤1，∴－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).故所求概率為P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),1－－1)＝eq\f(\r(3),3).(理)(2021·浙江名校聯(lián)考)甲、乙等5名志愿者被隨機地分到A、B、C、D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者．設(shè)隨機變量ξ為這5名志愿者中參與A崗位服務(wù)的人數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望為________．[答案]eq\f(5,4)[解析]依據(jù)題意，5名志愿者被隨機支配到A、B、C、D四個不同崗位，每個崗位至少一人，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種，而ξ＝1,2，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)A\o\al(3,3),240)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),240)＝eq\f(60,240)＝eq\f(1,4)，故E(ξ)＝1×eq\f(3,4)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)(文)公安部交管局修改后的酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其推斷標準是駕駛?cè)藛T每100毫升血液中的酒精含量X毫克，當20≤X<80時，認定為酒后駕車；當X≥80時，認定為醉酒駕車，張掖市公安局交通管理部門在對我市路段的一次隨機攔查行動中，依法檢測了200輛機動車駕駛員的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(單位：毫克)的統(tǒng)計結(jié)果如下表：X[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100，＋∞)人數(shù)t12111依據(jù)上述材料回答下列問題：(1)求t的值：(2)從酒后違法駕車的司機中隨機抽取2人，求這2人中含有醉酒駕車司機的概率．[解析](1)200－6＝194(2)令酒后駕車的司機分別為A、B、C、D，醉酒駕車的司機分別為a，b，則全部抽取的可能(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，D)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，C(C，b)，(a，b)(C，D)，(D，a)，(D，b)則含有醉酒駕車司機概率為eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(理)為了對某課題進行爭辯，用分層抽樣方法從三所科研單位A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成爭辯小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位：人)科研單位相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A16xB123C8y(1)確定x與y的值；(2)若從科研單位A、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來自科研單位A的概率．[解析](1)依題意得，eq\f(x,16)＝eq\f(3,12)＝eq\f(y,8)，解得x＝4，y＝2.(2)由(1)知從科研單位A抽取了4人，從科研單位C抽取了2人，從中選取2人作專題發(fā)言．記“選中的2人都來自科研單位A”為大事M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，所以選中的2人都來自科研單位A的概率為eq\f(2,5).17．(本小題滿分12分)(文)盒子內(nèi)裝有10張卡片，分別寫有1～10的10個整數(shù)，從盒子中任取1張卡片，登記它的讀數(shù)x，然后放回盒子內(nèi)，其次次再從盒子中任取1張卡片，登記它的讀數(shù)y.試求：(1)x＋y是10的倍數(shù)的概率；(2)xy是3的倍數(shù)的概率．[解析]先后取兩次卡片，每次都有1～10這10個結(jié)果，故形成的數(shù)對(x，y)共有100個．(1)x＋y是10的倍數(shù)的數(shù)對包括以下10個：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)．故“x＋y是10的倍數(shù)”的概率為P1＝eq\f(10,100)＝0.1.(2)xy是3的倍數(shù)，只要x是3的倍數(shù)，或y是3的倍數(shù)，由于x是3的倍數(shù)且y不是3的倍數(shù)的數(shù)對的個數(shù)為21個，而x不是3的倍數(shù)且y是3的倍數(shù)的數(shù)對的個數(shù)也為21個，x是3的倍數(shù)且y也是3的倍數(shù)的數(shù)對的個數(shù)為9個．故xy是3的倍數(shù)的數(shù)對的個數(shù)為21＋21＋9＝51(個)．故xy是3的倍數(shù)的概率為P2＝eq\f(51,100)＝0.51.(理)某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“嘉獎一瓶”或“感謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“嘉獎一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為eq\f(1,6).甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料．(1)求三位同學(xué)都沒有中獎的概率；(2)求三位同學(xué)中至少有兩位沒有中獎的概率．[解析](1)設(shè)甲、乙、丙中獎的大事分別為A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,6).P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝(eq\f(5,6))3＝eq\f(125,216).故三位同學(xué)都沒有中獎的概率是eq\f(125,216).(2)1－P(eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋ABeq\o(C,\s\up6(－))＋ABC)＝1－3×(eq\f(1,6))2×eq\f(5,6)－(eq\f(1,6))3＝eq\f(25,27).或P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))＋Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(25,27).故三位同學(xué)中至少有兩位沒有中獎的概率為eq\f(25,27).18．(本小題滿分12分)一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4.現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片．(1)若一次抽取3張卡片，求3張卡片上數(shù)字之和大于7的概率；(2)若第一次抽1張卡片，放回后再抽取1張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3的概率．[解析](1)設(shè)A表示大事“抽取3張卡片上的數(shù)字之和大于7”，任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4其中數(shù)字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以P(A)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)B表示大事“至少一次抽到3”，第一次抽1張，放回后再抽取一張卡片的基本結(jié)果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16個基本結(jié)果大事B包含的基本結(jié)果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7個基本結(jié)果．所以所求大事的概率為P(B)＝eq\f(7,16).19．(本小題滿分12分)(文)甲、乙兩人玩一種玩耍，每次由甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示和為6的大事，求P(A)．(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的大事，C表示乙至少贏兩次的大事，試問B與C是否為互斥大事？為什么？(3)這種玩耍規(guī)章公正嗎？說明理由．[解析](1)甲、乙各出1到5根手指頭，共有5×5＝25種可能結(jié)果，和為6有5種可能結(jié)果．∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥大事，理由如下：B與C都包含“甲贏一次，乙贏二次”，大事B與大事C可能同時發(fā)生，故不是互斥大事．(3)和為偶數(shù)有13種可能結(jié)果，其概率為P＝eq\f(13,25)>eq\f(1,2)，故這種玩耍規(guī)章不公正．(理)甲、乙兩名同學(xué)參與“漢字聽寫大賽”選拔性測試．在相同的測試條件下，兩人5次測試的成果(單位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(1)請畫出甲、乙兩人成果的莖葉圖．你認為選派誰參賽更好？說明理由(不用計算)；(2)若從甲、乙兩人5次的成果中各隨機抽取一個成果進行分析，設(shè)抽到的兩個成果中，90分以上的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望EX.[解析](1)莖葉圖如下圖所示，由圖可知，乙的平均成果大于甲的平均成果，且乙的方差小于甲的方差，因此選派乙參賽更好.甲乙585656788275295(2)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,4),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(16,25)，P(X＝1)＝eq\f(2C\o\al(1,4),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(8,25)，P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(1,25).隨機變量X的分布列是：X012Peq\f(16,25)eq\f(8,25)eq\f(1,25)EX＝0×eq\f(16,25)＋1×eq\f(8,25)＋2×eq\f(1,25)＝eq\f(2,5).20．(本小題滿分13分)一中食堂有一個面食窗口，假設(shè)同學(xué)買飯所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往同學(xué)買飯所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：買飯時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個同學(xué)開頭買飯時計時．(理)(1)估量第三個同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯的概率；(2)X表示至第2分鐘末已買完飯的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(文)(1)求第2分鐘末沒有人買到晚飯的概率；(2)估量第三個同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯的概率．[解析](理)設(shè)Y表示同學(xué)買飯所需的時間，用頻率估量概率，得y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示大事“第三個同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯”，則大事A對應(yīng)三種情形：①第一個同學(xué)買飯所需的時間為1分鐘，且其次個同學(xué)買飯所需的時間為3分鐘；②第一個同學(xué)買飯所需的時間為3分鐘，且其次個同學(xué)買飯所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個同學(xué)買飯所需的時間均為2分鐘.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X全部可能的取值為0,1,2，X＝0對應(yīng)第一個同學(xué)買飯所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5X＝1對應(yīng)第一個同學(xué)買飯所需的時間為1分鐘且其次個同學(xué)買飯所需的時間超過1分鐘或第一個同學(xué)買飯所需的時間為2分鐘．所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，X＝2對應(yīng)兩個同學(xué)買飯所需時間均為1分鐘．所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01所以X的分布列為X012P0.50.490.01EX＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.(文)(1)記“第2分鐘末沒有人買到晚飯”為A大事，即是第一個同學(xué)買飯所需的時間超過2分鐘，所以P(A)＝P(Y>2)＝0.5.(2)A表示大事“第三個同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯”則大事A對應(yīng)三種情形：①第一個同學(xué)買飯所需的時間為1分鐘，且其次個同學(xué)買飯所需的時間為3分鐘；②第一個同學(xué)買飯所需的時間為3分鐘，且其次個同學(xué)買飯所需的時間為1分鐘；③第一個和其次個同學(xué)買飯所需的時間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.21．(本小題滿分14分)(文)(2022·四川高考)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，C．(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．[解析]思路分析：(1)先列出全部的抽取狀況，共3×3×3＝27種，只有1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3共3種，求得概率．(2)利用對立大事求解．解：(1)由題意，(a，b，c)全部的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為大事A，則大事A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為大事B，則大事eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因