2021版《紅對(duì)勾·講與練》高中數(shù)學(xué)北師大版必修五：課時(shí)作業(yè)4-等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

課時(shí)作業(yè)4等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用時(shí)間：45分鐘滿(mǎn)分：100分一、選擇題(每小題5分，共35分)1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為()A．5 B．6C．8 D．10【答案】A【解析】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)等差中項(xiàng)．由等差中項(xiàng)知2a5＝a1＋a9＝10，所以a52．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為70，公差為－9，則此數(shù)列中確定值最小的一項(xiàng)為()A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)9C．a(chǎn)10 D．a(chǎn)11【答案】B【解析】an＝70＋(n－1)·(－9)＝－9n＋79，明顯當(dāng)n＝9時(shí)，|a9|＝2最?。?．?dāng)?shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如數(shù)列{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，則a11＝()A.eq\f(1,11) B．0C．－eq\f(1,13) D．－eq\f(1,7)【答案】B【解析】∵{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則eq\f(1,a5＋1)－eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝2d，∴d＝eq\f(1,12)，∴eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a5＋1)＋6d＝eq\f(1,2)＋6×eq\f(1,12)＝1，∴a11＝0.4．假如a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則()A．a(chǎn)1a8>a4a5 B．a(chǎn)1a8<C．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4·a【答案】B【解析】由于a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2，且d≠0，所以a1a8－a4a5＝－12d2<0.即a1a8<a5．{an}是首項(xiàng)為a1＝3，公差d＝3的等差數(shù)列，假如an＝2010，則序號(hào)n等于()A．667 B．668C．670 D．671【答案】C【解析】由通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝2010，解得n＝670，故選C.6．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于()A．－1 B．1C．3 D．7【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列{an}公差為d，∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3∴a3＝35.同理，由a2＋a4＋a6＝99得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.7．已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差dA．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2【答案】B【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1?d＝－eq\f(1,2).二、填空題(每小題5分，共15分)8．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a11＝40，則a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值為_(kāi)_______．【答案】60【解析】觀看下標(biāo)，利用性質(zhì)即可．利用性質(zhì)可得a4＋a10＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝a3＋a11＝40?a7＝20，從而a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝3a9．首項(xiàng)是－56的等差數(shù)列，從第9項(xiàng)開(kāi)頭為正數(shù)，則公差d的取值范圍是________．【答案】7<d≤8【解析】∵an＝a1＋(n－1)d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－56＋8d>0，,a8＝－56＋7d≤0，))∴7<d≤8.10．已知數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.【答案】－eq\f(1,n)【解析】eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)＝1，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1，eq\f(1,a1)＝－1，{eq\f(1,an)}是以eq\f(1,a1)為首項(xiàng)，以－1為公差的等差數(shù)列，eq\f(1,an)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，an＝－eq\f(1,n).三、解答題(共50分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)11．(15分)在等差數(shù)列{an}中，公差為d，且a15＝8，a60＝20，求a75.【解析】由已知條件，依據(jù)通項(xiàng)公式列出關(guān)系式解方程組可得出通項(xiàng)公式，然后代入即可求得．解法一：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.解法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.12．(15分)已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個(gè)數(shù)．【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差中項(xiàng)公式的應(yīng)用.5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，另有兩個(gè)已知條件，可利用方程組求解．【解析】解法一：設(shè)5個(gè)數(shù)依次為a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋a＋d＋a＋2d＋a＋3d＋a＋4d＝25，,a2＋a＋d2＋a＋2d2＋a＋3d2＋a＋4d2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2d＝5，,a2＋6d2＋4ad＝33，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－2，,a＝9.))∴5個(gè)數(shù)依次為1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：設(shè)這5個(gè)數(shù)依次為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝25，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,5a2＋10d2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝±2.))故這5個(gè)數(shù)依次為1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13．(20分)已知f(x)是定義在非零自然數(shù)集上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，有f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，有f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.(1)求證：f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N＋)成等差數(shù)列；(2)求f(n)的解析式．【解析】(1)證明：當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，x＋1為偶數(shù)，代入已知等式有f(x＋1)－f(x)＝1，①f(x＋2)－f(x＋1)＝3.②①＋②得f(x＋2)－f(x)＝4為常數(shù)．又由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＋1－f1＝1，,f1＋f2＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,f2＝3.))所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列．(2)由(1)知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(n＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2，所以當(dāng)n＝2k－1時(shí)，f(n)＝f(2k－1)＝2＋(k－1)×4＝2n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，f(n＋1)－f(n)＝3，f(n