【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量》

第3課時(shí)從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量1.把握實(shí)數(shù)與向量積的定義及幾何意義.2.了解數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律,理解向量共線的條件.3.了解向量的線性運(yùn)算及其幾何意義.4.把握向量共線的判定定理和性質(zhì)定理,并能嫻熟運(yùn)用定理解決向量共線問題.一條細(xì)繩橫貫東西,一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動(dòng),若螞蟻從點(diǎn)O向正東方向運(yùn)動(dòng)一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a,在圖中作出同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量,你能用式子表示嗎?它是數(shù)量還是向量?螞蟻向西運(yùn)動(dòng)3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示?問題1:數(shù)乘向量我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作,這種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘.

問題2:數(shù)乘向量的性質(zhì)λa的長度和方向規(guī)定如下:(1)|λa|=;

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與向量a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與向量a的方向相反;當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0,且方向任意.問題3:設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),a,b為任意向量則有:(1)λ(μa)=;

(2)(λ+μ)a=;

(3)=λa+λb.

問題4:向量共線的定理向量共線的判定定理:a是一個(gè)非零向量,若存在一個(gè),使得,則向量b與非零向量a共線.

向量共線的性質(zhì)定理:若向量b與非零向量a共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.

1.設(shè)λ,μ∈R,則下列說法不正確的是().A.λ(μa)=μ(λa) B.(λ-μ)a=λa-μaC.λ(a-b)=λa-λb D.λa(λ≠0)的方向與向量a的方向相同2.已知e1與e2不共線,則下列向量a與b不共線的是().A.a=3e1,b=-2e1 B.a=e1+e2,b=-e1+e2C.a=-3e1+e2,b=-9e1+3e2 D.a=-e1+2e2,b=2e1-4e23.化簡:(1)2×(-3a)=.

(2)2(a+b)-3(2a-b)=.

4.設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量,已知a=3e1+5e2,b=me1-3e2,且a與b共線,求m的值.數(shù)乘向量的定義及運(yùn)算律化簡下列各式:(1)5(3a-2b)+4(2a+3b);(2)(x-y)(a+b)-(x+y)(a-b).利用向量共線定理解決三點(diǎn)共線問題已知非零向量a,b不共線,假如AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線.共線向量性質(zhì)的綜合應(yīng)用已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,在何條件下,向量a與b共線.化簡:23[(4a-3b)+13b-14(6a-7設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值.證明平面內(nèi)四點(diǎn)O、A、B、C不共線,向量OA、OB、OC的終點(diǎn)A、B、C共線,則存在實(shí)數(shù)λ、μ,且λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB,反之也成立.1.如圖,MN是△ABC的中位線,則().A.MN=BCB.MN=1C.MN=1D.MN=12.已知a,b是兩個(gè)非零向量,則以下命題中,正確的個(gè)數(shù)是().①2a的方向與a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;③2a的方向與-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12③a-b與-(b-a)是一對(duì)相反向量.A.0 B.1 C.2 D.33.已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,實(shí)數(shù)λ,μ滿足3λa+(8-μ)b=(4μ+1)a+2λb,則λ=,μ=.

4.已知非零向量e1,e2不共線,欲使ke1+e2與e1+ke2共線,試確定實(shí)數(shù)k的值.(2009年·北京卷)已知向量a,b不共線,c=ka+b(k∈R),d=a-b.假如c∥d,那么().A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向考題變式(我來改編):

答案第3課時(shí)從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量學(xué)問體系梳理問題1:λa問題2:(1)|λ||a|問題3:(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λ(a+b)問題4:實(shí)數(shù)λb=λa唯一一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D由向量數(shù)乘的運(yùn)算律知A、B、C均正確,當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反,故D不正確.2.B由向量共線的判定定理知:對(duì)于A,存在實(shí)數(shù)使得b=-23a,故共線;對(duì)于B,不存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa;對(duì)于C,存在實(shí)數(shù)使得b=3a;對(duì)于D,存在實(shí)數(shù)使得b=-2a3.(1)-6a(2)-4a+5b(1)原式=[2×(-3)]a=-6a.(2)原式=2a+2b-(3×2)a+3b=-4a+5b.4.解:由于a與b共線,所以存在非零實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,即me1-3e2=λ(3e1+5e2),得(m-3λ)e1-(3+5λ)e2=0,所以m-3λ=0,3+5λ故m的值為-95重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)原式=15a-10b+8a+12b=(15+8)a-(10-12)b=23a+2b.(2)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x+y)a+(x+y)b=[(x-y)-(x+y)]a+[(x-y)+(x+y)]b=-2ya+2xb.【小結(jié)】對(duì)于實(shí)數(shù)與向量的積的有關(guān)運(yùn)算,只需要依據(jù)實(shí)數(shù)與向量積所滿足的運(yùn)算律進(jìn)行求解.探究二:【解析】AB=a+b,BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,∴AB與BD共線,又∵AB與BD有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線.【小結(jié)】利用向量證明三點(diǎn)共線問題,只要考慮使用共線向量的基本定理,即通過用三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造向量,來得到向量間的關(guān)系,通過它們之間的運(yùn)算,得到共線的條件,從而使問題得以證明.探究三:【解析】設(shè)b=μa,則2e1=μ(e1+λe2),∴(μ-2)e1+μλe2=0,∴μ-2=0,μλ=0,解得μ=2,[問題]向量e1與e2肯定不共線嗎?[結(jié)論]向量e1與e2不肯定不共線,故要考慮e1∥e2.于是,正確解答如下:(1)當(dāng)e1∥e2時(shí),a=e1+λe2,不妨設(shè)e2=μe1,∴a=(1+λμ)e1,b=2e1,故有a與b共線.(2)當(dāng)e1,e2不共線時(shí),設(shè)b=μa,則2e1=μ(e1+λe2),∴(μ-2)e1+μλe2=0,∴μ-2=0,μλ=0,解得μ=2,綜合(1)(2)可知,向量a與b共線的條件是e1∥e2或λ=0.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:原式=23(4a-3b+13b-32a+=23[(4-32)a+(-3+13+7=23(52a-11=53a-11應(yīng)用二:BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵A,B,D三點(diǎn)共線,∴AB,BD共線,∴存在λ使AB=λBD,即2e1+ke2=λ(e1-4e2),∴2=λ,k應(yīng)用三:若OA、OB、OC的終點(diǎn)A、B、C共線,則存在實(shí)數(shù)m,使得BC=mAB.又BC=OC-OB,AB=OB-OA,所以O(shè)C-OB=m(OB-OA),即OC=-mOA+(1+m)OB.令λ=-m,μ=1+m,則存在實(shí)數(shù)λ、μ,且λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB.反之,若OC=λOA+μOB,其中λ+μ=1,則μ=1-λ,OC=λOA+(1-λ)OB,從而OC-OB=λ(OA-OB),即BC=λBA,且BC與BA有公共點(diǎn)B,所以A、B、C三點(diǎn)共線,即向量OA、OB、OC的終點(diǎn)在一條直線上.基礎(chǔ)智能檢測1.BMN=AN-AM=12AC-12AB=12(AC-2.C對(duì)于①,∵2>0,∴2a的方向與a的方向相同.又∵|2a|=2|a|,∴2a的模是a的模的2倍,故正確.對(duì)于②,∵2>0,∴2a的方向與a的方向相同,且|2a|=2|a|,又∵-4<0,∴-4a的方向與a的方向相反,且|-4a|=4|a|,∴2a的方向與-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12,故正確.對(duì)于③,∵a-b與b-a是相反向量,∴a-b與-(b-a)是相等的向量,因此不正確3.32由平面對(duì)量的基本定理可知,3λ=