2020教師資格證數學科目三

2020教師資格證數學科目三

基礎知識5

回顧向■的基本概念

幾何運算

第五節(jié)《

10坐艇M

向量的運算CV---------------------

—e向置的運算律

e向*的位■關系

考點總結

一斜角與斜率

直線方程?五種形式

[-位置關系

eJW形式

國的方程（/兩圓的位置關系

第六節(jié)C

、■或與囪的位置關系

e醐曲線

高

(四)向量的位置關系應用

3,向■防

兩個向依平行的充要條件：

；?IIb0?=2ft(AeR)0(0價=(|1］附2o.%-引\=。

飽

(四)向量的位置關系應用

4.向量垂直

兩個向里垂直的充要條件

設0=(1,?Y.),b=(.r,,y,),

(I)向址式:

aib(8w0)oaS=0oo+力二"一力.

(2)坐標式:

01可力wO)ox占+叩2=0。

病

方法有很多呀

【例1】（2013年下半年-高級中學-選擇題）已知正方形ARCD的邊長為1,點￡是48

邊上的動點，則0?有的值為（）o

A.大于1B,小于1

C等于1D,以上都不對

憑

解：本題主要利用向址的轉化，求出數年枳即可。

隹正方形中."與C8垂直:

應.麗=（而+五）?而二切.而+族.而=1+0=1

故正確答案為C

一、直線方程

第六節(jié)

二、圓的方程

平面解析幾何

三、圓錐曲線

工』

一、直線方程

(一)傾斜角與斜率

直線/的傾斜角的取值范圍是0視＜兀；平面內的任意一條直線都有唯一確定

的傾斜角。

直線/的斜率=tan仲?5＜兀，且/這時斜率存在，當斜率不

存在時，傾斜角是90°。

(1,1)(2,2),為直線上的兩點。

認識

（二）直線方程的五種形式

已知條件方程的表達式說明

點斜式平行方?軸的直線不能用這種形式

直線過點（刈M）,斜率為Ax-x0)

在線在y軸匕的截距為兒科

料做式y(tǒng)=kx+b平行于泮的宜線不能用這種形式

率為&

做經過區(qū).弘）和（枳為）

兩點式2z2L=2zi平行于坐標軸的宜級不能用這種形式

兩點，Ilx產孫必明%?M4?看

直線在扁.軸上的截隨分

XV,過原點或平行于坐標軸的直線不能用

睚式則是。"（褶號）,且

ab這種形式

a*0,6#0

任何一條直線都可以寫成這種形式；

一般式4和B不同時為0&+"+C=0

限他形式都可以化為這種形式

點4

（三）兩條直線間的位置關系應用

1.兩直線平行或垂直

表達式位置關系結論

481cl

―f-

4：/1+8iy+G?0（4,1都不為0）卜"h

44&6G6

A：/N+8?J+G=0（4,都不為0）

44+8也產0

h股總地小《產4且b[*b]

%:六依+4=

AI-l2-1

例:

自

認識

（三）兩條直線間的位置關系

2.兩條直線間的距離

言4i+8『+C|=0與/,：4工+%+C,==0平行，則d二

1122Vf7+HF

3?點與直線的距離公式

點點（即㈤到五線Ax+加+C=0的距離為:

(1=|4%+W+C

、不PB-

應用

（三）兩條直線間的位置關系

4.兩點間的距離公式

點&（工泌）和點BNM）的距離為

22』=\/（即用尸+⑴一乂尸，

中點P（［「）小標為L'J.L

(P35

認識

圓的方程

(-)圓的方程的兒種形式

表達式IN心半徑

標準方程(x-a)'+(9M)U(a,/>)r

?+/+Zk+￡y+F=OD￡]S2+E2-4F

?般方程「nJ

(辦入卜〉。)r=------------------

2

x=rcos^H-￡/.

參數方程(a.b)r

*i=r$in伊M

氤

認識

（二）兩圓的位置關系

設兩圓圓心分別為01與。:,半徑分別為々與G，圓心距|qoj=d,則:

d>rI+r/,o外離04條公切線；

（1=乙+00外切。3條公切線；

「引<d<外+qo相交。2條公切線；

?=卜-巴［內切01條公切線；

0<d<|r）-r2g內含o0條公切線°

氤

認識

(三)直線與圓的位置關系

設直線/：a+6y+C=0,

MC:(工-〃)，+(「-/))，=/,

困心到直線的距離為d="rI

\#+屋

則直線與圓的位置關系有三種;

(1)相交Od〈r0JX)

(2)相切Od=rO/=0

(3)相離Od>rO/<0

其巾」為直線與圓的方程組成的方程組,消去了或X

轉化為一元二次方程所求得的判別式。

於6

一聽全會，一做全對

［例］經過圓x：+2x+y=0的國心且與直線x+y=o垂直的直線方程是（)o

A.x+v+l=OB.x-y-l=O

C.x+j-l=OD.x-j+1=0

氤

道上靚仔就是你呀

［例］（2012年下半年-初級中學-簡答題）求過點J（l,-2）的所有直線被圓F+產=5

截得線段中點的軌跡方程。

(P37

解；

因為點(1?-2)在圓工+y=5上,設直線跋吻也=0被圓x+y=5截得的線段的

另一端點為尸(口，0)，線段中點坐標為“(加V0)，

如it-Z-2oo即F1。三2】，代入母“2

+1t+y=5,

o

得

0-1)2+(0+2)2=5,整理得(0-1)2+(_0+1)2=

5

24

22

所以，點過/(1,-2)被圓x+y=5截得的線段中點的軌跡方程為

(0-1)2+(0+1)2=5

24

勵

選考點：圓錐曲線的定義

三、園錐曲線

橢圓雙曲線

第一定義:若6,6是兩定點，

第一定義:若￡,用是兩定點,

阿卜同卜爾附|(。

P為動點,且|闋+/周=2"

為常數),則動點P的軌跡

》修(a為常數),則尸點的

是雙曲線

軌跡是橢圓

第.定Z：巖R為定點J

第二定義:若￡為定點，/是

是不經過點6的定直線,

定義不經過點￡的定宜線.初點定義

若動點P到定點6的距離

P到6的距離與K到定直線/

與其到定直線，的距離之比

的距離之比是常數dOQV).

是常數e(u>l),則動點P

則P點的軌跡是橢網

的軌跡是雙曲線

6,月為橢圓的焦點,/為準

昂乃為雙曲線的焦點，/

線

為準線(|

橢圓雙曲線

|應用|

0）焦點在X軸上:①焦點花x軸上:

\+J=l(a>h>0)-"Ar=l(a>0./?O)

標準標準a2b2

方程.②熄點在y軸匕方那②焦點在y軸上；

^L=l(a>/f>0)^---=1(?>0.6>0)

baJh2

詞點在x軸I.：

①焦點在X軸上;

圖形

(P38

定義題重現江湖

1^111（2013年上半年-初級中學-選擇題）下列命題不正確的是（

2?

A.標準方程為5-==依>0,方>0）的平面曲線是雙曲線

B.平面與圓錐面的交線是雙曲線

C平面上到定點與到定直線（定點不在定直線上）距離之比為常數p,且p〉1的動點軌跡

是雙曲線

D,平面上到兩定點48的距離之差的絕對值為定長%且0<c<?8］的動點軌跡是雙曲線

(P40

定義題重現江湖

【例2】（2013年上半年-高級中學-選擇題）下列命題不正確的是（）0

A.平面上到兩定點的距離之和為定長（大于兩定點間的距離）的動點軌渥橢圓

B平面上到定點與定直線（定點不在定直線上）距離之比為常數e且1的動點軌跡

是橢圓

C平面與圓錐的交線是橢圓

X2v2

D.滿足方程/+/=1（4＞，＞0）的平面曲線是橢圓

(P41

三、圓錐曲線選考點：圓錐曲線的定義

橢圓雙曲線拋物線

第一定義:若其￡是兩定點.

第一定義：若6,E是兩定點,

慨卜閘卜2“陽|（。

P為動點,且此|+陷卜如若F為定點，/是不經過點F

為常數），則動點P的軌跡

忸間（。為常數），則P點的的定宜線，到定點廠與到定

是雙曲線

直線/的但周相寫的點的軌

軌跡是橢圓

第二定義：若耳為定點,/

跡是拋物線，即：到定點F

第二定義：者6為定點,/是

是不經過點的定直線,

定義A的距離與到定宜級/的距離

不經過點6的定直線,動點

若動點P到定點6的距離

之比是常數e（e二I）

尸到6的甩離與其到定直線/

與其到定直線/的距離之比

這個定點?叫做拋物線的焦

的距離之比是常數dO<e（l）,

是常教則動點

c（e>l）,P點,這條定直線/叫做拋物

則P點的軌跡是橢回

的軌跡是雙曲線

線的準線

R,后為橢圓的焦點,/為準

6,g為雙曲線的焦點，/

線

為準線(P38

考點：圓錐曲線的定義

三、圓錐曲線

選

A歸納：

動點P到定點F的距離與到定直線/（F任/）的距離之比等于定值e的點的集合。

①當0<e<l時，P點的軌跡是橢圓；

②當右1時，P點的軌跡是拋物線；

③當及1時，P點的軌跡是雙曲線。

(P38

總結

傾斜角與斜率

直線方程de五種形式

'位置關系

。幾種形式

第六節(jié)a的方程-/兩圓捌造關系

(P41

簡+論

二推理

第七節(jié)

二、證明推理與證明

(P42

一、推理

【2017上半年-初、高-論述題】15.推理一般包括合情推理和演繹推理，

（1）請分別闡述合情推理和演繹推理的含義；（6分）

（2）舉例說明合情推理和演繹推理在解決數學問題中的作用（6分），并闡

述兩者之間的關系述分）0

(P44

一、推理了解

（二）合情推理

1.合情推理的定義

根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比,

然后提出猜想的推理稱為合情推理。

從具體問題出發(fā)T觀察、分析比較、聯想一歸納、類比一提出猜想

(P42

舉個栗子

2/2+12,2+22,2+3

例如:

33—1'33+233+3

而必bb+c

歸納一〈

a〃+c

例如：0=1,即=；必=;…歸納?！?一

乙3〃

例如；由等式的性質觸不等式的性質

。二b今。+c=6+c;a=6=>ac=bc\a—b*爐=62

猜想。>bOa+c>b+c；a〉b今ac>be；a>b^a->b2

例如：圓的特征類比球的特征（而機標準方圈一般方程等）

(P43

一、推理中42~244認識

數學推理定義特點作用區(qū)別與聯系

自由部分到整體①有前提、不能作為數學證明①從推理形式上看，歸納是由部分到整體、

目由個別到一般的

②結論尚待

合情冽推理的半具，但它具4個別到一般的推理，類別是由特殊到特殊的

驗證

推理創(chuàng)造性思維，有利

類由特殊到特殊的③創(chuàng)造性的推理；而演繹推理是由?般到特殊的推理。

于發(fā)現數學結論

推理

比推理②從推理所得的結論來看，合情推理的結論

不一定正確,有待進一步證明；演繹推理在

由一般性的命題大前提、小前提和推理性都正確的前提下,

推出特殊性命題，

可以作為數學證明得到的結論?定正確。

演繹推理是一種必然性推“三段論”

的工具

理，足由一般到③作用不同，演繹推理是證明數學結論、建

蜷的推理

立數學體系的重要思維過程，但數學結論、

證明思路的發(fā)現，主要靠合情推理。

2.演繹推理的一般模式

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括

⑴大前提--已知的一般原理；

⑵小前提--所研究的特殊情況；

⑶結論---據一般原理，對特殊情況做出的判斷.

［例如能被2整除的數叫做偶乳6能被2整除,所以6是偶數。

I⑴大前提-一偶數的定義；

；⑵小前提一一6能被2整除；

i⑶結論一一6是偶數.

瘋3

誰說數學沒有背誦

【2017上半年-初、高-論述題】15.推理一般包括合情推理和演繹推理，

（1）請分別闡述合情推理和演繹推理的含義；（6分）

（2）舉例說明合情推理和演繹推理在解決數學問題中的作用（6分），并闡

述兩者之間的關系（3分）o

(P44

【參考答案】

(1)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、

比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情

推理。

演繹推理：從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱之

為演繹推理，“三段論”是演繹推理的一般模式。

(P44

(2)合情推理在解決數學問題上不能作為數學證明的工具，但它具有創(chuàng)造性思維，對教學結論

的發(fā)現十分有用。例如,在研究球體時,我們會自然想到圓,球與圓十形狀上有類似的地方,即

都具有完美的對稱性，都是到定點的距離等于定長的點的集合，因此可以推測，對于圓所具有的

特征，球可能也具有，如圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于圓的半徑等。

演繹推理在解決數學問題上可以作為數學證明的工具，但缺少創(chuàng)造性，不過它嚴密的論證有助于

科學的理論化和系統(tǒng)化。例如，三角函數都是周期函數，y=sina是三角函數，因此y=sina是周期困

數。

合情推理與演繹推理的關系：兩者有區(qū)別，合情推理是從部分到整體、從個別到一般或從特

殊到特殊的推理，演繹推理是從一般到特殊的推理；同時兩者緊密聯系，互相依賴，互為補充，

演繹推理的一般性原理必須借助合情推理從具體的經驗中概括出來，可以說沒有合情推理就沒有

演繹推理；合情推理也離不開演繹推理，由合情推理得到的結論是杳正確必須借助演繹推理去論

證。叁

二、證明

歸納推理6

合情推理。

----------類比推理@

演繹推理6

數學歸納法

簡+論

直接證明'綜合法-

分析法?

證明

間接證明⑥

前5

二、證明簡+論

（一）直接證明

1.數學歸納法

數學歸納法是數學上證明與自然數n有關的命題的一種特殊方法。

（1）笫一數學歸納法一基本步驟

a.先證明當〃=為是使命題成立的最小自然數）時命題成立；

b.假設當〃=MkwNJkN兒）時命題成立，再證明當〃=K+1

時命題也成立，那么就證明這個命題成立，這種證明方法叫數學歸納法。

特別提醒：a用數學歸納法證題時，兩步缺一不可；

b.證題時要注意兩圈一湊歸納假設，二湊目標。一?瘋5

例如.W；||H-----J--------J----------1-----1-----------------------=——--

""1X3十3X5十5X7十十⑵—l)X(2〃+1)(2〃+1)

證明：（1）〃=1時，左邊=」有=1，右邊=彳二二1,左邊=右邊

1X332+I3

等式成立。(2)假設〃二仁時等式成片即：

1,1.1..1k

-4--4-??,-4-，—，

1X33X55X7(2^-1)X(2k+l)(2k+1)'

那么當〃=4+1時，

L,1?1

1X3(2k-1)X(2女+1)(2k+1)XQk+3)

_k]_k+1_2+1

"(2k+1)+(2k+l)X(21+3)=(24+3)=2(1+1)+1

所以當〃=4+I時等式亦成立

?'而十而十兩十…十(2〃_l)x(2〃+l)—(2〃+1)(P45

二、證明簡+論

1.數學歸納法

(2)數學歸納法的應用

①證恒等式

②整除性的證明

③探求平面幾何中的問題

④探求數列的通項

⑤不等式的證明

而6

二、證明簡+論

2.綜合法

(1)綜合法的定：

利用已知條件和某些定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最

后推導出所要證明的結論成立。

要點：順推證法；由因導果。

(P46

（2）綜合法的證明過程

例2如圖5.3-4,已知直線。〃c,求

證。1/,

證明:Valb（已知），

:./1=90°（垂直的定義）.

又b//c（已知），

,Z1=Z2（兩直線平行，同位角相等）.

:.N2=/l=90°（等量代換）.

?Iale（垂直的定義）.

?這個證明就走從已知條件出發(fā)，進行簡單地運算和推理，得到要證明的結論。其中要用到

一些已經證明的命題。

氤

二、證明

(3)綜合法證明的思維過程

用P表示己知條件、己有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結論,

則綜合法用框圖表示為：

PTQi101To2T02T。3T…0〃T。

(4)綜合法的特點

從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找

它的必要條件。

(P47

誰說數學沒有背誦

【例】（2015年上半年-初級中學-簡答題）舉例說明運用綜合法證明數學結論的思維過

程和特點。

(P46

二、證明簡+論

3.分析法

(1)分析法的定義

從待證結論出發(fā)，一步一步尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的

已知條件或已被證明的事實(定理、定義、公理等)，這種證明的思維方法叫

做分析法。

要點：逆推證法；執(zhí)因索果。

向7

(2)分析法的證明過程

求證：短7d'25\

I

證明：，

因為4獷7植5都是正數，所以為了晌3+行<25,

只需證明(廠3布『7(代丫25:

展開得10+2/71<20,；

即"1<5,：

只需證明21<25,j

因為21<25成立，所以不等式:/3#7代25成立。：

(P48

二、證明

(3)分析法證明的思維過程：用P表示己知條件、己有的定義、公理、定理

等，Q表示所要證明的結論，則分析法用框圖表示為：

0勺尸「力產旦->8=8T...T3到一個明顯成立的條件

在分析法證明中，從結論出發(fā)的每一步驟所得到的判斷都是結論成立的充分

條件，最后一步歸結到已被證明了的事實。因此，從最后一步可以倒推回去，

直到結論，但這個倒推過程可以省略。

(4)分析法的特點；從“未知”看“需知"逐步靠攏“已知”，其逐步

推理，實際是尋找使結論成立的充分條件。

(P48

誰說數學沒有背誦

［例］（2015年上半年-高級中學-簡答題）舉例說明運用分析法證明數學結論的思維過

程和特點。

(P48

二、證明簡+論

（二）間接證明

1.反證法

有些不等式無法利用題設的已知條件直接證明，可以利用間接的方法一一反

證法去證明，即通過否定原結論一一導出矛盾一一從而達到肯定原結論的目的。

(P48

（二）間接證明

2.利用反證法證明一個命題的一般步驟

①（反設）假設命題的結論不成立；

②（推理）根據假設進行推理,直到導出矛盾為止;

③（歸謬）斷言假設不成立；

④（結論）肯定原命題的結論成立。

(P48

例如：求證班是無理數鷗

反設證明：假設也不是無理數，是有理數,

「于是存在互質的正整數加,〃使得"5——,m=y/ln

n

=＞加2=2〃2,.二》是偶數,設川=2左

伏是正整數），從而有4r=2/。2F=匕〃也為偶數

歸謬這與叫〃互質矛盾，所以假設錯誤，正是無理數。

結論

簡+論

總結

歸轆理。特殊到一般、部分到整體

算法框圖

排列、組合與二項式定理

數學史(P49

第八節(jié)

一、構成程序框的圖形

符號及其作用

二、程序框圖的構成算法與框圖

三、算法語句

(P50

》一、構成程序框圖的符號及其作用

[OJ

程序機名稱動能

G示一個算法的超蛤和結也是任何*法18k=1,S=O

以怵

印框圖不可缺少的i

/輸入正整數〃/

&示一個。法輸入加曲出的存息，nTfflftW

■人、輸出根

法中任何需要輸入、■出的位置

LJ|S=S+A+2M

川*&東收值.計打打法中處理數冊需要

處理悵的算式.公式等.它＜1分:寫在不同的用以I

處理數掘的處理框內曰+1

刑斷某一條件是否或L成上時,則在出口

利斯樞處標明"是"不就立時,

?-Y";Mft:h

O口處標明"否"*"N"—<k>n:>

流程線々示算法進行的前進方向以及先后跑序/輸出s/

\1?

I

0連接點連接另一頁或另TWM9K圖（結束）k

??…O酬曜府助編者或閱讀者理解他出^^50

這分送的.

,真題回幀

【例1】（2015年上半年-高級中學-選擇題）下列圖形符號中表示算法程序“判斷框”

的是（）o