微分方程的概念

微分方程的概念一、微分方程的概念

一曲線通過(guò)點(diǎn)(0,1)，且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2sinx，求該曲線的方程．

解

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求曲線y=y(x)應(yīng)滿足方程【例1】

由條件x=0時(shí)，y=1得C=3，把C=3代入式（6-2），即得所求曲線方程y=－2cosx+3．從幾何圖形上看y=－2cosx+C是一族曲線，而所求曲線y=－2cosx+3是這族曲線中通過(guò)點(diǎn)(0,1)的那一條曲線．一、微分方程的概念一、微分方程的概念用力的多邊形法則求匯交力系合力的方法稱為匯交力系合成的幾何法。合成中需要注意以下兩點(diǎn)。（1）合力FR的作用線必通過(guò)匯交點(diǎn)。（2）改變力系合成的順序，只改變力多邊形的形狀，并不影響最后的結(jié)果。即不論如何合成，合力FR是唯一確定的。

在不考慮任何阻力的情況下，物體由靜止?fàn)顟B(tài)自由下落，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

解

設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s(t)，根據(jù)牛頓第二定律及導(dǎo)數(shù)的物理意義得（g為重力加速度）.（6-3）式（6-3）可寫成dv/dt=g或dv=gdt，積分得v=gt+C1，

（6-4）再積分得（其中C1,C2為任意常數(shù)）.（6-5）【例2】一、微分方程的概念由題意：v|t=0=0,s|t=0=0分別代入（6-4）式和（6-5）式中，得C1=C2=0，故所求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為一、微分方程的概念定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式，叫作微分方程．未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．如例1中的微分方程y′=2sinx是一階微分方程，微分方程y″+2y′－3y+2x=0是二階微分方程．一般地，n階微分方程的形式是F(x,y,y′,…,y(n))=0.（6-6）一、微分方程的概念

這里必須指出，在方程（6-6）中，y(n)是必須出現(xiàn)的，而x,y,y′,…,y(n－1)等變量則可以不出現(xiàn).例如，n階微分方程y(n)+1=0中，除y(n)外，其他變量都沒(méi)有出現(xiàn)．如果能從方程（6-6）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，則得微分方程y(n)=f(x,y,y′,…,y(n－1)).（6-7）以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且（6-7）式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)．一、微分方程的概念定義2

如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為該微分方程的解．求微分方程解的過(guò)程，稱為解微分方程．如例1中，y=－2cosx+C，y=－2cosx+3都是微分方程y′=2sinx的解．一、微分方程的概念定義3

如果微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱這樣的解為微分方程的通解．在通解中給任意常數(shù)以確定的值或通過(guò)附加條件確定通解中的任意常數(shù)而得到的解，稱為微分方程的特解．一、微分方程的概念定義4

確定微分方程通解中任意常數(shù)的題設(shè)條件或附加條件，稱為微分方程的初始條件．求微分方程滿足初始條件的特解問(wèn)題，叫作微分方程的初值問(wèn)題．一、微分方程的概念【例3】一、微分方程的概念【例4】一、微分方程的概念思考

（1）方程(x