【八年級下冊數(shù)學人教版】第十八章 平行四邊形（10類題型突破）

第十八章平行四邊形（10類題型突破）題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解例題：在平行四邊形中，，則（

）A． B． C． D．變式訓練1．如圖，在平行四邊形中，，，平分交邊于點，則（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．如圖，在四邊形中，，E為的中點，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，過平行四邊形對角線的交點，交于點，交于點，則：①；②圖中共有6對全等三角形；③若，，則；④；其中正確的結(jié)論有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③4．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，平分交于點，則的長為______．題型二判斷能否構(gòu)成平行四邊形例題：能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，變式訓練1．如圖，四邊形的對角線交于點O，下列哪組條件能判斷四邊形是平行四邊形（

）A．， B．，C．， D．，2．如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，3．在下列給出的條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．題型三添一個條件成為平行四邊形例題：已知：如圖，ABCD，線段AC和BD交于點O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需要增加的一個條件是：_____（填一個即可）．變式訓練1．如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，要使四邊形BEDF是平行四邊形，還需要增加的一個條件是_______________．2．如圖，在平行四邊形中，是對角線，E，F(xiàn)是對角線上的兩點，要使四邊形是平行四邊形，還需添加一個條件（只需添加一個）是__________．題型四利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合例題：如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為點為四邊形外一點，且，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如果平分，，，求的長．變式訓練1．如圖，在中，，M、N分別是的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．2．如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；(2)已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．3．如圖，在中，點E是邊的中點，連接并延長交的延長線于點F，連接，．(1)求證：；(2)求證：平分；(3)若，，求的面積．題型五利用矩形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，矩形的對角線，相交于點O，過點O作，交于點E，若，則的大小為__________．變式訓練1．在矩形中，作的平分線交直線于點E，則是____________度．2．如圖，四邊形是矩形，點在線段的延長線上，連接交于點，，點是的中點，若，，則的長為______．3．如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交的延長線于點．連接、．(1)求證：；(2)當四邊形是矩形時，若，求的度數(shù)．4．如圖，在矩形中，是對角線，、分別平分、，交邊、于點、．(1)若，，求的長．(2)求證：．題型六矩形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：如圖，在中，，平分交于點D，分別過點A、D作、，與相交于點E，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是矩形．變式訓練1．如圖，將的邊延長到點E，使，連接交邊于點F．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．2．如圖，在平行四邊形中，點，分別在邊，上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，平分，則平行四邊形的面積為______．題型七利用菱形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，菱形中，已知，則的大小是____________．變式訓練1．如圖，在菱形中，交對角線于點E，若，，則________．2．如圖，在菱形中，與相交于點，的垂直平分線交于點，連接，若，則的度數(shù)為______．3．如圖，在菱形中，，，是中點，交于點，連接，則的長為______．4．如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點O，E為中點，F(xiàn)為中點，連接，則的長為_____．5．如圖，已知四邊形是菱形，且于點，于點．(1)求證：；(2)若，，求菱形的面積．題型八菱形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點，平分，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長；變式訓練1．如圖，平行四邊形ABCD的對角線，相交于點O，且，，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．2．如圖，平行四邊形中，，，，點是的中點，點是邊上的動點，的延長線與的延長線交于點，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)①直接寫出：當______時，四邊形是菱形（不需要說明理由）；②當______時，四邊形是矩形，請說明理由．題型九利用正方形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，在正方形中，點為邊上一點，與交于點．若，則的大小為______度．變式訓練1．如圖，正方形中，，則_____．2．如圖，四邊形ABCD是正方形，以BC為邊在正方形內(nèi)部作等邊，連接PA，則__________．3.如圖，在正方形中，為對角線上一點，過作于，于，若，，則___________．4．已知在矩形ABCD中，，，四邊形EFGH的三個頂點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、DA上，．(1)如圖1，當四邊形EFGH為正方形時，求的面積；(2)如圖2，當四邊形EFGH為菱形，且時，求的面積（用含a的代數(shù)式表述）；(3)在（2）的條件下，當?shù)拿娣e等于6時，求AH的長．題型十正方形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：如圖所示，在正方形的邊的延長線上取點，連接，在上取點，使得，連接，過點作，交于點．(1)若正方形的邊長為，且，求的長；(2)求證：．變式訓練1．如圖，點是正方形內(nèi)部的一點，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，的延長線相交于點E.若正方形的邊長為10，．(1)求證：四邊形是正方形；(2)求的長．2．如圖，點E是正方形的邊上不同于C，D的任意一點，延長至點F，使．分別過點E，F(xiàn)作的垂線，相交于點G．(1)如圖1，連接，、與有何關系？請說明理由．(2)如圖2，連接．若．①當點E是的中點時，____________；②當點E不是的中點時，的值與①相比，有變化嗎？請說明理由．

第十八章平行四邊形（10類題型突破）答案全解全析題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求解例題：在平行四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可進行解答．【詳解】解：如圖：∵四邊形是平行四邊形，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握平行四邊形對角相等．變式訓練1．如圖，在四邊形中，，，平分交邊于點，則（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，又∵平分∴，∴，∴，∴，故選：C【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的判定定理．2．如圖，在平行四邊形中，，E為的中點，若，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，E為的中點，，∴，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．3．（2023秋·山東泰安·八年級?？计谀┤鐖D，過平行四邊形對角線的交點，交于點，交于點，則：①；②圖中共有6對全等三角形；③若，，則；④；其中正確的結(jié)論有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，判斷①，根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，得出6對全等三角形，進而判斷②，根據(jù)三角形三邊關系得出的取值范圍，判斷③，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，在和中，∴，∴，故①正確，由平行四邊形的中心對稱性，全等三角形有：，，，，，共6對，故②正確；∵，∴，∴，∴，故③錯誤；∵，∴，故④正確；故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和三邊關系的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，，平分交于點，則的長為______．【答案】3【分析】先利用角平分線和平行四邊形對邊平行得到，進一步得到，從而可得．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，平分，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出．題型二判斷能否構(gòu)成平行四邊形例題：能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理（①有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，④有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）進行判斷即可．【詳解】解：A、，，不能判定四邊形為平行四邊形；B、，，不能判定四邊形為平行四邊形；C、，，能判定四邊形為平行四邊形；D、，，不能判定四邊形為平行四邊形；故選：C．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題關鍵．變式訓練1．如圖，四邊形的對角線交于點O，下列哪組條件能判斷四邊形是平行四邊形（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；B、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；C、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；D、∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；B．∵，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；C．由，不能判定四邊形是平行四邊形，故該選項符合題意；D．∵，，∴四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．3．在下列給出的條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】平行四邊形的判定定理：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．直接利用平行四邊形的判定定理即可得出答案．【詳解】解：A.當，四邊形是平行四邊形或等腰梯形，此選項不合題意．B.當，不能得到四邊形是平行四邊形，此選項不合題意．C.當，不能得到四邊形是平行四邊形，d此選項不合題意．D.當，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．此選項正確．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，能夠熟練掌握平行四邊形的判定定理是解決本題的關鍵．題型三添一個條件成為平行四邊形例題：已知：如圖，ABCD，線段AC和BD交于點O，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需要增加的一個條件是：_____（填一個即可）．【答案】ADCB（答案不惟一）．【分析】根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得答案．【詳解】解：根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可增加的條件可以是：ADCB，故答案為：ADCB（答案不惟一）．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，解決本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定．變式訓練1．如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、AD上，要使四邊形BEDF是平行四邊形，還需要增加的一個條件是_______________．【答案】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得到，要證明四邊形BEDF是平行四邊形，只需要即可．【詳解】添加，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，∴四邊形BEDF是平行四邊形，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．如圖，在平行四邊形中，是對角線，E，F(xiàn)是對角線上的兩點，要使四邊形是平行四邊形，還需添加一個條件（只需添加一個）是__________．【答案】BF=DE（答案不唯一）【分析】連接對角線AC，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行求解即可．【詳解】解：添加的條件為BF=DE，理由如下：證明：連接AC交BD于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵BF=DE，∴BO-BF=DO-DE，即OF=OE，四邊形AFCE為平行四邊形，故答案為：BF=DE（答案不唯一）．【點睛】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．題型四利用平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合例題：如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為點為四邊形外一點，且，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如果平分，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）分別證明，得出結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，再利用等積法求出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴過作，∴，∴，∵垂直平分，則,∵，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等積法求高是解決問題的關鍵．變式訓練1．如圖，在中，，M、N分別是的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得、，根據(jù)M、N分別是AD、BC的中點可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接ND，先說明是等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得、，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得，最后根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵是平行四邊形，∴，．∵M、N分別是AD、BC的中點，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖：連接ND，∵是平行四邊形，∴．∵N是BC的中點，∴．∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，證得是等邊三角形是解題的關鍵．2．如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；(2)已知DE＝2，連接BN，若BN平分∠DBC，求CN的長．【答案】(1)見解析(2)CN=2【分析】（1）證明DEBC，再證∠DMF=∠2，得DBEC，則四邊形BCED是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：BC=DE=2，ECDB，再由平行線的性質(zhì)得∠CNB=∠DBN，然后證∠CNB=∠CBN，則可由CN=BC求解．（1）證明：∵∠A=∠F，∴DEBC，∵∠1=∠2，∠1=∠DMF，∴∠DMF=∠2，∴DBEC，∴四邊形BCED是平行四邊形，（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN=∠CBN，由（1）得：BC=DE=2，ECDB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=2．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，證明四邊形BCED為平行四邊形是解題的關鍵．3．如圖，在中，點E是邊的中點，連接并延長交的延長線于點F，連接，．(1)求證：；(2)求證：平分；(3)若，，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，根據(jù)對頂角相等，，再根據(jù)點E是邊的中點，即可求證；（2）通過證明為等腰三角形，即可求證；（3）由題意可得，的面積等于的面積，利用含角直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，∴，∵點E是邊的中點，∴，又∵，∴；（2）證明：由（1）可得，∴，即為的中線，，又∵，∴為等腰三角形，∴，∴，即平分；（3）解：由（2）可得平分；又∵∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，由（1）可得，則，∴．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質(zhì)．題型五利用矩形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，矩形的對角線，相交于點O，過點O作，交于點E，若，則的大小為__________．【答案】或50度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出結(jié)果．【詳解】∵四邊形是矩形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)；靈活運用矩形的性質(zhì)求解是解題的關鍵．變式訓練1．在矩形中，作的平分線交直線于點E，則是____________度．【答案】45或135【分析】根據(jù)題意分當?shù)钠椒志€交線段于點E和當?shù)钠椒志€交線段外于點E，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的定義可進行求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵平分，∴，由題意可分：①當?shù)钠椒志€交線段于點E，如圖所示：∴；②當?shù)钠椒志€交線段外于點E，如圖所示：∴；綜上所述：或；故答案為45或135．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，四邊形是矩形，點在線段的延長線上，連接交于點，，點是的中點，若，，則的長為______．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得，再結(jié)合兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得，從而得到，再利用等角對等邊的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點是的中點，，，∵，，，，，，在中，，．．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，以及勾股定理的應用，求出是解題的關鍵．3．如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長，交的延長線于點．連接、．(1)求證：；(2)當四邊形是矩形時，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，推出，再由即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，∵點是的中點，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、證明是解題的關鍵．4．如圖，在矩形中，是對角線，、分別平分、，交邊、于點、．(1)若，，求的長．(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由已知可求得的長及，由勾股定理求得的長，再由含30度角直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）由矩形的性質(zhì)及角平分線的意義易得，從而問題解決．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，；平分，，，∴；由勾股定理得，；（2）證明：四邊形是矩形，，，，，、分別平分、，，，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些知識是關鍵．題型六矩形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：如圖，在中，，平分交于點D，分別過點A、D作、，與相交于點E，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)、證明四邊形為平行四邊形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出，，得出，，先證出四邊形是平行四邊形．再證明四邊形是矩形即可．【詳解】（1）證明：∵、，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）證明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴∴四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，是解決問題的關鍵．變式訓練1．如圖，將的邊延長到點E，使，連接交邊于點F．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)矩形，見解析【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，再由得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理進而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，再由，可得，進而可判定四邊形是平行四邊形，然后再證明即可得到四邊形是矩形．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∵，．∵，∴．∵，∴，，在與中，，∴（ASA）；∴，，在與中，∴（SAS）；（2）四邊形是矩形，理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是掌握平行四邊形的對邊相等；對角相等；對角線互相平分．2．如圖，在平行四邊形中，點，分別在邊，上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，平分，則平行四邊形的面積為______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)即可得證；（2）由平分，可求得，在中，，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，再求出，由已知進而即可求得即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴，即，∵，，四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形．（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，，，∴∴，∴，∴，∴，故答案為；．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，熟練以上知識點是解題的關鍵．題型七利用菱形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，菱形中，已知，則的大小是____________．【答案】或140度【分析】根據(jù)菱形的對角線平分一組對角，以及鄰角互補，即可得解．【詳解】解：∵菱形中，，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的對角線平分一組對角，是解題的關鍵．變式訓練1．如圖，在菱形中，交對角線于點E，若，，則________．【答案】3【分析】利用含30角的直角三角形的性質(zhì)求出，利用等角對等邊求出，即可解決問題．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案為：3．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關鍵是綜合運用上述知識解決問題．2．如圖，在菱形中，與相交于點，的垂直平分線交于點，連接，若，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，得到，從而得到，最后利用三角形外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，四邊形是菱形，，，，，，垂直平分，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的基本性質(zhì)是解題關鍵．3．如圖，在菱形中，，，是中點，交于點，連接，則的長為______．【答案】【分析】連接，則為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，可得出的長，由，可得出，進而可求出的長．【詳解】解：連接，則為等邊三角形，如圖所示．是中點，，，，．又，，，即：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，找出為等邊三角形是解題的關鍵．4．如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點O，E為中點，F(xiàn)為中點，連接，則的長為_____．【答案】【分析】取的中點H，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點H，連接，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵點H是的中點，點F是的中點，∴，∴，∵點E是的中點，點H是的中點，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．5．如圖，已知四邊形是菱形，且于點，于點．(1)求證：；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，；根據(jù)于點，于點，則，即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，根據(jù)，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面積．【詳解】（1）證明，如下：∵四邊形是菱形，∴，，∵于點，于點，∴，∴，∴．（2）∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面積為：．【點睛】本題考查菱形的知識，解題的關鍵是掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的知識．題型八菱形的性質(zhì)與判定綜合問題例題：如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點，平分，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長；【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）先證明得到進而證明四邊形是平行四邊形，再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∵，點O為的中點，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．變式訓練1．如圖，平行四邊形ABCD的對角線，相交于點O，且，，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，可求，，即可得出答案．【詳解】（1）解：證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，．，平行四邊形是矩形，．．平行四邊形是菱形（2）由（1）得：四邊形是矩形，四邊形是菱形，，，，，，．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；靈活運用有關性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，平行四邊形中，，，，點是的中點，點是邊上的動點，的延長線與的延長線交于點，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)①直接寫出：當______時，四邊形是菱形（不需要說明理由）；②當______時，四邊形是矩形，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①4；②7，理由見解析．【分析】（1）證明，推出，根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）①當四邊形是菱形時，證明是等邊三角形，可得，進而可得的長度；②過A作于M，求出，可得，然后證明四邊形是矩形，即可得到的長度．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵G是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：①當時，四邊形是菱形，理由：∵，，，∴，，，當四邊形是菱形時，有，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：4；②當時，四邊形是矩形，理由：過A作于M，∵，，∴，∴，當四邊形是矩形時，有，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，注意：菱形的四條邊都相等，矩形的四個角都是直角．題型九利用正方形的性質(zhì)求角度或線段長例題：如圖，在正方形中，點為邊上一點，與交于點．若，則的大小為______度．【答案】65【分析】由三角形的外角性質(zhì)可知：要求，只要求，由正方形的軸對稱性質(zhì)可知：，即可求出．【詳解】解：四邊形是正方形，具有關于對角線所在直線對稱的對稱性，，，，又是的外角，，故答案為：65．【點睛】本題綜合考查正方形的對稱性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，解題關鍵是利用正方形的對稱性快速得出結(jié)論．變式訓練1．如圖，正方形中，，則_____．【答案】或度【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)已知條件可得，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，四邊形ABCD是正方形，以BC為邊在正方形內(nèi)部作等邊，連接PA，則__________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，推出是等腰三角形，從而求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，利用等邊對等角求角的度數(shù)，是解題的關鍵．3.如圖，在正方形中，為對角線上一點，過作于，于，若，，則___________．【答案】【分析】延長、交、于、，由正方形的性質(zhì)，得到，再由等腰三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)得到，，由勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長、交、于、．四邊形為正方形，，，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理．求出，的長是解答本題的關鍵．4．已知在矩形ABCD中，，，四邊形EFGH的三個頂點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、DA上，．(1)如圖1，當四邊形EFGH為正方形時，求的面積；(2)如圖2，當四邊形EFGH為菱形，且時，求的面積（用含a的代數(shù)式表述）；