專題2-常見的圓周運動模型及其臨界問題(考點精講)(人教版2019必修第二冊)

專題二常見的圓周運動模型及其臨界問題考點01圓錐擺模型及水平面內圓周運動的臨界問題【核心方法】1．圓錐擺模型(1)常見的圓錐擺模型物體受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面內做勻速圓周運動，稱為圓錐擺模型。常見的圓錐擺模型如下表：運動模型向心力的來源圖示飛機水平轉彎火車轉彎圓錐擺物體在光滑半圓形碗內做勻速圓周運動(2)圓錐擺問題的分析思路①對研究對象進行受力分析，確定向心力來源。②確定圓心和半徑。③應用相關規(guī)律列方程求解。在豎直方向根據平衡條件列式，在水平方向根據向心力公式和牛頓第二定律列式。2．兩類常見模型的臨界情況分析(1)水平轉盤模型①如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，方向指向圓心。②如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉動，其臨界情況要根據題設條件進行判斷，如判斷某個力是否存在以及這個力存在時的方向(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)。(2)圓錐擺模型①繩上拉力的臨界條件是：繩恰好拉直且沒有彈力或繩上的拉力恰好達到最大值。②接觸或脫離的臨界條件是：物體與物體間的彈力恰好為零。(3)對于火車轉彎、半圓形碗內的水平圓周運動有兩類臨界情況：摩擦力的方向發(fā)生改變；發(fā)生相對滑動?！镜淅?】如圖所示，A和B兩物塊(可視為質點)放在轉盤上，A的質量為m，B的質量為2m，兩者用長為l的細繩連接，A距轉軸距離為l，兩物塊與轉盤間的動摩擦因數均為μ，整個裝置能繞通過轉盤中心的轉軸O1O2轉動，開始時，細繩恰好伸直但無彈力，現讓該裝置從靜止開始轉動，重力加速度為g，求：(1)角速度ω為何值時，繩上剛好出現拉力；(2)角速度ω為何值時，A、B開始與轉盤發(fā)生相對滑動?！敬鸢浮?1)eq\r(\f(μg,2l))；(2)eq\r(\f(3μg,5l))【解析】(1)開始時兩物塊都靠靜摩擦力提供向心力，轉動半徑更大的B先達到最大靜摩擦力，此時繩子開始出現彈力，根據牛頓第二定律有μ·2mg＝2mωeq\o\al(2,1)·2l解得ω1＝eq\r(\f(μg,2l))故角速度為eq\r(\f(μg,2l))時，繩上剛好出現拉力。(2)當A所受的摩擦力達到最大靜摩擦力時，A、B開始相對于轉盤滑動，根據牛頓第二定律，對A有μmg－T＝mωeq\o\al(2,2)l對B有μ·2mg＋T＝2mωeq\o\al(2,2)·2l聯立解得ω2＝eq\r(\f(3μg,5l))故角速度為eq\r(\f(3μg,5l))時，A、B開始與轉盤發(fā)生相對滑動。【強化訓練1】如圖所示，在光滑的圓錐頂端，用長L＝2m的細繩懸掛一質量m＝1kg的小球，圓錐頂角2θ＝74°(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：(1)當小球以ω＝1rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運動時，細繩上的拉力大?。?2)當小球以ω＝5rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運動時，細繩上的拉力大小?！敬鸢浮?1)8.72N；(2)50N【解析】(1)設小球剛要離開錐面時的角速度為ω0，此時錐面對它的支持力為零，根據牛頓第二定律，得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)Lsinθ代入數據解得ω0＝2.5rad/s當ω＝1rad/s<2.5rad/s時，小球沒有離開錐面，如圖1，水平方向根據牛頓第二定律，得FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ豎直方向根據平衡條件，得FTcosθ＋FNsinθ＝mg聯立并代入數據解得FT＝8.72N。(2)當ω＝5rad/s>2.5rad/s時，小球離開錐面，設細繩與豎直方向的夾角為β，如圖2，根據牛頓第二定律，得FT1sinβ＝mω2Lsinβ解得FT1＝mω2L＝1×25×2N＝50N。模型規(guī)律總結水平面內圓周運動的臨界問題，常常要分析物體所處的狀態(tài)的受力特點，然后結合圓周運動的知識，列方程求解，一般會涉及臨界速度、臨界角速度等。通常有下面兩種情況：(1)與繩(或面等)的彈力有關的臨界問題：此類問題要分析出恰好無彈力或彈力達到最大這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)。(2)因靜摩擦力而產生的臨界問題：此類問題要分析出靜摩擦力達到最大時這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)，或靜摩擦力方向恰好發(fā)生改變時的角速度(或線速度)。考點02豎直面內的圓周運動模型及其臨界問題【核心方法】1．豎直平面內的圓周運動模型在豎直平面內做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力情況，可分為三種模型：一是只有拉(壓)力，如球與繩連接、沿內軌道的“過山車”等，稱為“輕繩模型”；二是只有推(支撐)力，稱為“拱橋模型”；三是可拉(壓)可推(支撐)，如球與桿連接、小球在彎管內運動等，稱為“輕桿模型”。2．三種模型對比輕繩模型拱橋模型輕桿模型情景圖示彈力特征彈力向下(也可能等于零)彈力向上(也可能等于零)彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg－FN＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0時，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)FN＝0時，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時FN＝mg，方向向上對速度eq\r(gr)的理解①v>eq\r(gr)時，小球能過最高點；②v＝eq\r(gr)時，小球剛好過最高點；③v<eq\r(gr)時小球不能過最高點①v≥eq\r(gr)時，車(物體)離開拱橋最高點做平拋運動；②v<eq\r(gr)時車(物體)能過最高點且不離開拱橋①v>eq\r(gr)時，桿或管道的外側對球產生向下的拉力或彈力；②v＝eq\r(gr)時，球在最高點只受重力，不受桿或管道的作用力；③v<eq\r(gr)時，桿或管道的內側對球產生向上的彈力模型拓展——斜面內的圓周運動1．概述在斜面上做圓周運動的物體，根據受力情況的不同，可分為以下三類：(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運動。(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運動。(3)物體在桿的作用下做圓周運動。這類問題的特點是重力的分力和其他力的合力提供向心力，運動和受力情況比較復雜。2．分析方法與豎直面內的圓周運動類似，斜面上的圓周運動也是集中分析物體在最高點和最低點的受力情況，列牛頓運動定律方程來解題。只是在受力分析時，一般需要進行立體圖到平面圖的轉化，這是解斜面上圓周運動問題的難點。【典例2】長度為L＝0.50m的輕質細桿OA，A端有一質量為m＝3.0kg的小球，如圖所示，小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，則此時細桿OA受到()A．6.0N的拉力 B．6.0N的壓力C．24N的拉力 D．24N的壓力【答案】B【解析】設小球以速率v0通過最高點時，球對桿的作用力恰好為零，即mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(10×0.50)m/s＝eq\r(5)m/s。由于v＝2.0m/s<eq\r(5)m/s，可知過最高點時，球對細桿產生壓力，細桿對小球有支持力，如圖所示，為小球的受力情況圖。由牛頓第二定律有mg－FN＝meq\f(v2,L)，得FN＝mg－meq\f(v2,L)＝3.0×10N－3.0×eq\f(2.02,0.50)N＝6.0N，由牛頓第三定律知，細桿OA受到6.0N的壓力，B正確?！緩娀柧?-1】雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m＝0.5kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g＝10m/s2)()A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N【答案】B【解析】水流星”在最高點的速度v＝4m/s＝eq\r(gL)，由此知繩的拉力恰為零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，處于完全失重狀態(tài)，容器底部受到的壓力為零，故只有B正確。【強化訓練2-2】如圖所示，一個半徑為R的實心圓盤，其中心軸與豎直方向的夾角為θ。開始時，圓盤靜止，其上表面覆蓋著一層灰塵，沒有掉落。現使圓盤繞其中心軸旋轉，其角速度從零緩慢增大至ω，此時圓盤表面上的灰塵有75%被甩掉，設灰塵與圓盤面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則ω的值為____________________?！敬鸢浮縠q\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))【解析】由于灰塵隨圓盤做圓周運動，其向心力由灰塵受到的指向圓心的合力提供，灰塵在最下端時指向圓心的摩擦力最大。當75%的灰塵被甩掉時，剩余灰塵所在圓的半徑r＝eq\f(R,2)，如圖所示。根據牛頓第二定律，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))。模型規(guī)律總結豎直面內圓周運動的求解思路(1)確