第1章 質點運動學

第一章質點運動學返回主目錄第一章質點運動學1-1參照系和坐標系一、機械運動

1、機械運動

所謂機械運動，是一個物體相對于另一個物體的位置，或一個物體內部的一部分的位置隨時間的變化過程。

2、運動學力學中描述物體怎樣變化怎樣運動的內容叫做運動學，它是描述物體的位移、速度、加速度等隨時間的變化規(guī)律。

二、參照系和坐標系

1、參照系

為了描述物體的機械運動，即它的位置隨時間的變化規(guī)律，就必須選擇一個物體或幾個相互間保持靜止或相對靜止的物體作為參考，被選為參考的物體稱為參照系。在不同參考系中對同一物體運動的描述不同。第一章質點運動學2、坐標系

為了定量地說明一個物體相對于某一參照系的空間的位置，就在該參照系上建立固定的坐標系。

一般選用迪卡爾直角坐標系，也可以選用極坐標系、自然坐標系等。三、時間和時刻

1、時刻是指時間流逝中的“一瞬”，對應于時間軸上的一點，時刻的正、負表明在計時起點以后或以前。

2、時間是指自某一初始時刻至終止時刻所經歷的時間間隔，它對應于時間軸上一個區(qū)間，物體位置的變動總是在一定時間內發(fā)生。

tt1t2t3t4t5第一章質點運動學1-2質點位矢和位移一、質點

1、質點

所謂“質點”，就是忽略了物體的體積和形狀，將物體看成是只具有一定質量的點的理想模型。

質點的運動可以用數(shù)學函數(shù)的形式表示出來。在迪卡爾直角坐標系中一般可以表示為

x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)這樣的一組函數(shù)叫做質點的運動函數(shù)（或運動方程）。

1、位置矢量

在選定的參考系中建立坐標系如圖，在時刻t，質點P在坐標系中的位置可用坐標(x,y,z)表示，也可用矢量來表示，該矢量稱位置矢量。二、位置矢量

第一章質點運動學2、位置矢量的分解位矢的表示：位矢的大小：位矢的方向：：

3、運動方程

當質點運動時，其位置矢量隨時間變化的方程該式稱質點的運動方程。其中x(t)、y(t)、z(t)是運動方程的分量式，也是質點運動軌跡的參數(shù)方程。各分量式表示為質點的運動方程消去t，則可得到質點的軌跡方程。第一章質點運動學4、位移設在時間Δt=t2-t1內質點由A點運動到B點，其位移為由A點指向B點的矢量，稱位移矢量。位移的大?。何灰频挠嘞曳较颍簍=2s:x=t2t6320y=解：t=4s:x=16.0,y=12.8x=4.0,y=0.2Δy=12.6(cm)Δx=12(cm)6rΔ=(cm)1212ji+.[例]一質點在xoy平面內按x=t2的規(guī)律沿曲線y=x3/320運動，其中x、y以cm為單位，t

以s為單位試求：質點在2秒末到4秒末的位移。yxO15105(cm)10155ΔryxΔΔ(cm)φ第一章質點運動學第一章質點運動學1-3速度加速度一、速度

1、速度的定義質點位置的變化都是與一段時間相聯(lián)系的，將位移矢量與時間的比定義為速度。用v來表示。它也是一個矢量。它的物理意義是單位時間內質點所發(fā)生的位移。

第一章質點運動學3、瞬時速度無限短時間內質點位移與時間的比叫瞬時速度，簡稱為速度。根據(jù)高等數(shù)學關于極限的意義，速度可以表示為平均速度的極限，即：

即速度為位矢對時間的變化率（或位矢對時間的一階導數(shù)）。

2、平均速度有限長時間內質點位移與時間的比叫平均速度。數(shù)學上表示為：

4、速度的大小與余弦方向第一章質點運動學二、加速度

BvvΔAvAvrBBrAAxyzo把一段時間內速度的增量與時間的比定義為加速度。質點的加速度描述質點速度的大小和方向變化的快慢，由于速度是矢量，所以只要質點的速度大小或是方向發(fā)生變化，都將意味著質點有加速度。

1、平均加速度在有限時間段內速度增量與時間的比叫平均加速度。

2、瞬時加速度在無限短時間內速度增量與時間的比叫瞬時加速度，簡稱為加速度。第一章質點運動學３、加速度分量、大小及余弦方向加速度分量加速度大小加速度余弦方向第一章質點運動學舉例j66r=3cosππtti+3sin()()（式中r以m計，t以s計）試求：1.運動方程及軌跡方程；2.瞬時速度；3.瞬時加速度。解：1.運動方程為從運動方程中消去t得軌跡方程：+=3222xy=3cos(πt6)x=3(πt6sin)y

2.瞬時速度：=dtdrv=33××ππ66sintti+π66cosπj()()=2πvj66r=3cosππtti+3sin()()第一章質點運動學

3.瞬時加速度：π)(26=_rad=dtv3sin663)))(((iπππcos2[]tt+=_6j=_636sin366())))(((iππππcos22tt_jddtt=ddxyi+vvja方向相反，可見加速度指向圓心。r與v=33××ππ66sintti+π66cosπj()()第一章質點運動學1-４直線運動一、直線運動的運動學方程

1、坐標系的選擇研究直線運動，最好選擇只含一個坐標軸的坐標系。比如：Ox、Oy、Oz，其原點位于參考系的參考點上，坐標系與質點軌跡重合。因此，質點的運動學方程可以寫為

x＝x（t）２、從速度到運動學方程當t=t0時，x=x0只要給定位置坐標的初始條件，便可根據(jù)質點的速度唯一地確定質點的運動學方程。

第一章質點運動學3、從加速度到運動學方程當t=t0時，v0=vx0

只要給出位置坐標的初始條件，即可求出運動學方程.第一章質點運動學例題：有一個球體在某液體中豎直下落，球體的初速度為，它在液體中的加速度。問：(1)經多少時間后可以認為小球已停止運動，(2)此球體在停止前經歷的路程有多長？解：由加速度的定義：由速度的定義：由以上結果,但實際情況是：第一章質點運動學例題：已知質點做直線運動，其加速度隨時間的變化規(guī)律為：

解：建坐標O-x沿質點運動方向，圓點在質點初始時所在的點，

第一章質點運動學1-５曲線運動一、勻速圓周運動

1、勻速圓周運動的加速度當時Q點將無限靠近P點，Δv的極限方向為P點指向O點，即圓周在P點的法向，中學將它叫做向心加速度。在大學物理中我們將它稱為法向加速度。其大小為使用矢量ORAB設圓周的半徑為R，圓心為O，在t時刻，質點處在圓周上的P處，速度為；在t+△t時刻，質點在Q處，速度為，其中||＝||。質點從P點運動到Q點有速度增量存在。根據(jù)加速度的定義可得瞬時加速度為：

角坐標角位移角速度角加速度角速度角加速度描述質點轉動的位置ABO描述質點轉動位置的變化描述質點轉動的快慢描述質點轉動角速度變化的快慢角坐標角位移單位：單位：２、圓周運動的角量描述：第一章質點運動學線量和角量的關系ABORds第一章質點運動學第一章質點運動學２、變速圓周運動與切向加速度

我們把△v分解成兩個方向一質點沿一圓周運動，圓心在O，圓半徑為R。為了闡述的方便，我們在圓中設立了一個笛卡爾平面坐標來幫助分析。設質點t時刻在p1點，位矢為，速度為；t1時刻質點在p2點，位矢為，速度為。其中為過程中質點的位移，為速度的增量。第一章質點運動學變速圓周運動加速度大小及方向大小方向二、拋體運動

在拋體運動中，物體具有恒定的重力加速度，它做平面曲線運動，可以將其分解為互相垂直的兩個直線運動來處理：沿v0方向的勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動的疊加運動。xoyP以拋出點為原點，建0-xy坐標系yxα初速度為v0，與x軸之間的夾角為α。選擇拋出時為計時起點，則

第一章質點運動學運動方程消去t得軌跡方程軌跡方程令y=0得射程D:yx0D第一章質點運動學舉例：汽車在半徑為200米圓弧形公路上剎車,剎車開始階段的運動學方程為(長度:m,時間:s)，求t=1s時的加速度。

解：由當t=1s時第一章質點運動學1-６相對運動一、相對運動的速度關系

1、參考系的選擇ＯχyzX’z’y’O’P若質點t時刻在p點，它相對于k系的位矢是

，相對于系的位矢是

，而系相對于k系的位矢用表示,則一般說來，可以選擇某物體作為基本參考系，在其上建立坐標系Oxyz，選擇另一個相對于基本參考系運動的運動參考系（簡稱為k系和系）。在我們研究的問題中系在k系中做直線運動，且兩坐標系各對應坐標軸始終平行。第一章質點運動學2、相對運動的加速度關系

兩個坐標系中質點的速度一般可能是變化的，同時兩個坐標系之間相對運動的速度也可能是變化的，因此，v、

和

再分別對時間求一階導數(shù)，則由速度變換可