2025年外研版2024九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)第=page11頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)2025年外研版2024九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷44考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、下列方程為一元二次方程的是（）A.x+=1B.ax2+bx+c=0C.x（x-1）=xD.x+2、一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)大小相同的乒乓球，其中4個(gè)是黃球，2個(gè)是白球．從該盒子中任意摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是（）A.B.C.D.3、下列函數(shù)中，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的是（）A.B.C.D.4、計(jì)算x3÷x2（x≠0）的結(jié)果為（）A.x5B.x6C.2x5D.x5、（1998?寧波）如果兩圓的半徑分別為1和2；圓心距為3，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切。

B.相交。

C.外離。

D.外切。

6、【題文】已知二次函數(shù)則下列說法正確的是()A.y有最小值0，有最大值－3B.y有最小值－3，無最大值C.y有最小值－1，有最大值－3D.y有最小值－3，有最大值07、已知方程組的解也是方程kx-y=0的解，則k的值為（）A.-4B.4C.-D.8、如圖是由七個(gè)相同的小正方體擺成的幾何體，則這個(gè)幾何體的俯視圖是().評(píng)卷人得分二、填空題(共6題，共12分)9、若點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＜BP），則線段AP、BP、AB滿足關(guān)系式____．10、（2000?遼寧）方程x+=3的解是x=____．11、有五張卡片，每張卡片上分別寫有1，2，3，4，5，洗勻后從中任取一張，放回后再抽一張，兩次抽到的數(shù)字和為____的概率最大，抽到和大于8的概率為____．12、若一個(gè)函數(shù)滿足下列條件：①y與x成反比；②它的圖象在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大．那么這個(gè)函數(shù)關(guān)系式為____．（寫出一個(gè)即可）13、（2007?河北）圖中每一個(gè)標(biāo)有數(shù)字的方塊均是可以翻動(dòng)的木牌，其中只有兩塊木牌的背面貼有中獎(jiǎng)標(biāo)志，則隨機(jī)翻動(dòng)一塊木牌中獎(jiǎng)的概率為____．

14、二次函數(shù)y=x2+4x+5中，當(dāng)x=____時(shí)，y有最小值．評(píng)卷人得分三、判斷題(共8題，共16分)15、（-4）+（-5）=-9____（判斷對(duì)錯(cuò)）16、兩個(gè)等腰三角形一定是全等的三角形．____．（判斷對(duì)錯(cuò)）17、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．____（判斷對(duì)錯(cuò)）18、鈍角三角形的外心在三角形的外部．()19、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓．____．（判斷對(duì)錯(cuò)）20、x＞y是代數(shù)式（____）21、定理不一定有逆定理22、了解某型號(hào)聯(lián)想電腦的使用壽命，采用普查的方式____（判斷對(duì)錯(cuò)）評(píng)卷人得分四、其他(共2題，共18分)23、某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？（精確到0.01%）？24、某興趣小組的每位同學(xué)，將自己收集的植物標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送1件，全組互贈(zèng)標(biāo)本共182件，若全組有x名學(xué)生，則根據(jù)題意可列方程____．評(píng)卷人得分五、證明題(共4題，共32分)25、如圖；AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的直徑為4；AD=3；

①求AC的長(zhǎng)．

②若點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)（直徑的下面），求弦CP的長(zhǎng)．26、（本題有3小題；第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）；（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請(qǐng)從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評(píng)分．）

在△ABC中；∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)；求證：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)；求證：DE=AD-BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)；試問DE；AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．27、如圖；已知點(diǎn)C在線段AB上，以AC和CB為邊，在AB的同側(cè)分別作正三角形△AMC和△CNB，連接AN和BM分別交MC；NC于P、G．

（1）求證：△MCB≌△ACN；

（2）猜想PG和AB的位置關(guān)系是怎樣的？并證明你的結(jié)論．28、已知，如圖在等腰三角形ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，求證：PD=PE．評(píng)卷人得分六、綜合題(共4題，共24分)29、如圖；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P，Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中；求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；

（2）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中；四邊形QBED能否成為直角梯形？如果能，求t的值；如果不能，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，射線DE經(jīng)過C點(diǎn)？30、在Rt△ABC中；∠C=90°，P是BC邊上不同于B；C的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)；都有△PBQ與△ABC相似；

（2）若AC=3；BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積最大，并求出最大值；

（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=λAC，是否存在一個(gè)λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．31、如圖；已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD；BD、OC、OD，且OD=5．

（1）若；求CD的長(zhǎng)．

（2）若∠ADO：∠EDO=4：1；求扇形OAC（陰影部分）的面積．

（3）若將（2）中扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐的側(cè)面積．32、如圖①；△ABC是等邊三角形，AB=AE，連接CE交AB于點(diǎn)H；

（1）求證：∠BAE=2∠BCE；

（2）如圖②；延長(zhǎng)線AE，CB交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在CB上，連接AD交CE于點(diǎn)G，當(dāng)FA=FD時(shí)，求證：AH=BD；

（3）如圖③；在（2）的條件下，把△ACD沿AD翻折，得到△AKD，K與C對(duì)應(yīng)，AK交CE于點(diǎn)T，若CG=6，TG=4，求線段DG的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、C【分析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．【解析】【解答】解：A；是分式方程的解；故A錯(cuò)誤；

B；a=0時(shí)；是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；

C；是一元二次方程；故C正確；

D；是無理方程；故D錯(cuò)誤；

故選：C．2、C【分析】【分析】利用黃球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可得到答案．【解析】【解答】解：∵盒子中裝有6個(gè)大小相同的乒乓球；其中4個(gè)是黃球；

∴摸到黃球的概率是=；

故選：C．3、D【分析】【分析】通過二次函數(shù)的圖象的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷其圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】【解答】解：A、∵的圖象的頂點(diǎn)在第一象限；開口向上；

∴與x軸無交點(diǎn)．

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∵的圖象頂點(diǎn)在第二象限；開口向上；

∴與x軸無交點(diǎn)；

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、∵的圖象頂點(diǎn)在第四象限；開口向下；

∴與x軸無交點(diǎn)；

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、∵的圖象的頂點(diǎn)在第二象限；開口向下；

∴與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

故選D．4、D【分析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減計(jì)算即可．【解析】【解答】解：x3÷x2=x．

故選D．5、D【分析】

根據(jù)題意；得。

R+r=2+1=3=圓心距；

∴兩圓外切．

故選D．

【解析】【答案】本題直接告訴了兩圓的半徑及圓心距；根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)情況便可直接得出答案．

外離，則P＞R+r；外切，則P=R+r；相交，則R-r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P=R-r；內(nèi)含，則P＜R-r．

（P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．

6、B【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的解析式；得出a的值和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出函數(shù)的最值．

∵二次函數(shù)中；a＝2＞0；

∴y有最小值-3；無最大值；

故選B．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值．【解析】【答案】B.7、C【分析】【分析】先解方程組，求出x、y的值，然后代入kx-y=0中，即可求出k的值．【解析】【解答】解：解方程組；

得：；

將x、y的值代入kx-y=0中，得4k+1=0，解得k=-．

故選C．8、C【分析】【解析】試題分析：根據(jù)幾何體的三視圖是從上面看到的圖形結(jié)合這個(gè)幾何體的特征即可作出判斷.由圖可得這個(gè)幾何體的俯視圖是第三個(gè)，故選C.考點(diǎn)：幾何體的三視圖【解析】【答案】C二、填空題(共6題，共12分)9、略

【分析】【分析】黃金分割的定義：把一條線段分成兩條線段，使其中較長(zhǎng)的線段是原線段和較短線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)．根據(jù)定義即可求解．【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＜BP）；

∴BP2=AB?AP．

故答案為BP2=AB?AP．10、略

【分析】

設(shè)y=則原方程可化為y2+y=0；

解之；得y=0或-1．

當(dāng)y=-1時(shí)，=-1；此方程無解；

當(dāng)y=0時(shí)，=0；解得x=3．

經(jīng)檢驗(yàn)；x=3是原方程的解．

故原方程的解是x=3．

【解析】【答案】此方程可用換元法求解，設(shè)y=．

11、略

【分析】【分析】抽兩次牌總共有25種情況，分別求出數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9，10的情況個(gè)數(shù)，和大于8的個(gè)數(shù)，利用概率公式進(jìn)行求解即可．【解析】【解答】解：抽兩次牌總共有25種情況；

其中數(shù)字和是2的情況有1；1；

其中數(shù)字和是3的情況有1；2；2，1；

其中數(shù)字和是4的情況有1；3；2，2；3，1；

其中數(shù)字和是5的情況有1；4；2，3，3，2；4，1；

其中數(shù)字和是6的情況有1；5；2，4，3，3，4，2；5，1．

其中數(shù)字和是7的情況有2；5；3，4；4，3；5，2；

其中數(shù)字和是8的情況有3；5；5，3；4，4；

其中數(shù)字和是9的情況有4；5；5，4；

其中數(shù)字和是10的情況有5；5．

故兩次抽到的數(shù)字和為6的概率最大，抽到和大于8的概率為．12、略

【分析】

∵y與x成反比；

∴設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=

又∵在每一象限內(nèi)；y的值隨x值的增大而增大，∴k＜0

∴可取k=-1

∴這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式為y=．

【解析】【答案】先由y與x成反比；可得出該函數(shù)是反比例函數(shù)，又因?yàn)樵诿恳幌笙迌?nèi)，y的值隨x值的增大而增大，可得出k的值只能取負(fù)值，所以可取k=-1，即得出該函數(shù)關(guān)系式．

13、略

【分析】

P（中獎(jiǎng)）==．

故本題答案為：．

【解析】【答案】根據(jù)題意分析可得：共6個(gè)數(shù)字，其中只有兩塊木牌的背面貼有中獎(jiǎng)標(biāo)志，則隨機(jī)翻動(dòng)一塊木牌中獎(jiǎng)的概率為=．

14、-2【分析】【分析】先用配方法把函數(shù)化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)其解析式即可求解．【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2+4x+5可化為y=（x+2）2+1；

∴當(dāng)x=-2時(shí)，二次函數(shù)y=x2+4x+5有最小值．

故答案為：-2．三、判斷題(共8題，共16分)15、√【分析】【分析】根據(jù)同號(hào)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加即可求解．【解析】【解答】解：（-4）+（-5）

=-（4+5）

=-9．

故答案為：√．16、×【分析】【分析】?jī)蓚€(gè)腰相等，頂角相等的等腰三角形全等．【解析】【解答】解：如圖所示：

△ABC和△DEF不全等；

故答案為：×．17、√【分析】【分析】菱形的判定定理有①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③四條邊都相等的四邊形是菱形，根據(jù)以上內(nèi)容填上即可．【解析】【解答】解：由菱形的判定定理得：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形正確．

故答案為：√．18、√【分析】【解析】試題分析：根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)即可判斷.鈍角三角形的外心在三角形的外部，本題正確.考點(diǎn)：三角形的外心【解析】【答案】對(duì)19、√【分析】【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式：C=2πr可得，周長(zhǎng)相等，則半徑相等．【解析】【解答】解：周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓；說法正確；

故答案為：√．20、×【分析】【分析】本題雖為判斷題，但實(shí)質(zhì)上仍是代數(shù)式的判定問題，根據(jù)代數(shù)式的定義進(jìn)行判定即可．【解析】【解答】解：x＞y為不等式；不是代數(shù)式，故錯(cuò)誤．

故答案為：×．21、√【分析】【解析】試題分析：可以任意舉出一個(gè)反例即可判斷.“對(duì)頂角相等”是定理，但“相等的角是對(duì)頂角”是錯(cuò)誤的，不是逆定理，故本題正確.考點(diǎn)：定理，逆定理【解析】【答案】對(duì)22、×【分析】【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答．【解析】【解答】解：了解某型號(hào)聯(lián)想電腦的使用壽命；采用抽樣調(diào)查方式；

故答案為：×．四、其他(共2題，共18分)23、略

【分析】【分析】設(shè)平均每次降息的百分率為x，則兩次降息后，利率為2.25%（1-x）2，由題意可列出方程，求解x即可．【解析】【解答】解：設(shè)平均每次降息的百分率x；由題意，得。

2.25%（1-x）2=1.98%

解方程得x=0.0619或1.9381（舍去）

故平均每次降息的百分率6.19

答：平均每次降息的百分率約為6.19%．24、略

【分析】【分析】根據(jù)題中已知條件182件列出平衡方程，總?cè)藬?shù)×每人贈(zèng)送的件數(shù)=182．【解析】【解答】解：根據(jù)題意可列方程：x（x-1）=182．五、證明題(共4題，共32分)25、略

【分析】【分析】（1）連接OC；如圖，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，由AC平分∠DAB得∠DAC=∠OAC，則∠DAC=∠OCA，于是可判斷OC∥AD，加上AD⊥CD，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）①連接BC；如圖，證明Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，利用相似比可計(jì)算出AC的長(zhǎng)；

②作PE⊥CA于E，PF⊥CB于F，連結(jié)PA、PB，如圖，先計(jì)算出BC=2，再利用角平分線的性質(zhì)得PE=PF，接著證明Rt△PAE≌Rt△PBF得到AE=BF，然后證明四邊形PECF為正方形得到CE=CF，PC=CE，則AC-AE=CB+BF，2AE=AC-BC=2-2，可計(jì)算出AE=-1，所以CE=+1，從而得到CP=CE=+．【解析】【解答】（1）證明：連接OC；如圖；

∵OA=OC；

∴∠OAC=∠OCA；

∵AC平分∠DAB；

∴∠DAC=∠OAC；

∴∠DAC=∠OCA；

∴OC∥AD；

∵AD⊥CD；

∴OC⊥CD；

∴直線CD為⊙O的切線；

（2）解：①連接BC；如圖；

∵AB為直徑；

∴∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC；

∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB；

∴=，即=

∴AC=2；

②作PE⊥CA于E；PF⊥CB于F，連結(jié)PA；PB，如圖；

在Rt△ACB中，∵AB=4，AC=2；

∴BC==2；

∵點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，

∴=；

∴PA=PB；∠ACP=∠BCP；

∴PC平分∠ACB；

∴PE=PF；

在Rt△PAE和Rt△PBF中；

；

∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）；

∴AE=BF；

∵∠ECF=90°；PE⊥CE，PF⊥CF；

∴四邊形PECF為矩形；

而PE=PF；

∴四邊形PECF為正方形；

∴CE=CF，PC=CE；

∴AC-AE=CB+BF；

∴2AE=AC-BC=2-2，解得AE=-1；

∴CE=2-（-1）=+1；

∴CP=（+1）=+．26、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)已知可利用AAS證明①△ADC≌△CEB；由此可證②DE=AD+BE；

（2）根據(jù)已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB；由此可證DE=AD-BE；

（3）根據(jù)已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=BE-AD．【解析】【解答】證明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°；

∴∠CAD+∠ACD=90°；∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC；

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB；

∴CE=AD；CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

解：（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°；

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC；

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD；CD=BE．

∴DE=CE-CD=AD-BE．

（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)；AD；DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°；

∴∠ACD=∠CBE；

又∵AC=BC；

∴△ACD≌△CBE；

∴AD=CE；CD=BE；

∴DE=CD-CE=BE-AD．27、略

【分析】【分析】（1）由△AMC和△CNB都為等邊三角形；可得出AC=MC，CB=CN，且∠ACM=∠MCB=60°，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再利用SAS可得出△MCB≌△ACN；

（2）PG和AB的位置關(guān)系是垂直，理由為：由△MCB≌△ACN，得到∠ANC=∠MBC，再由∠ACM=∠MCB=60°，利用平角的定義得到∠PCN=∠GCB=60°，再由CN=CB，利用ASA可得出△PCN≌△GCB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到PC=PG，利用有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△PCG為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠PGC=60°，進(jìn)而得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得出PG與AB平行，得證．【解析】【解答】（1）證明：∵△AMC和△CNB都為等邊三角形；

∴AC=MC；CN=CB，∠ACM=∠MCB=60°；

∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN；即∠ACN=∠MCB；

在△ACN和△MCB中；

∵；

∴△ACN≌△MCB（SAS）；

（2）解：PG∥AB．

證明：∵△ACN≌△MCB；

∴∠ANC=∠MBC；

∵∠ACM=∠MCB=60°；

∴∠PCN=∠GCB=60°；

在△PCN和△GCB中；

∵；

∴△PCN≌△GCB（ASA）；

∴CP=CG；

∴△PCG為等邊三角形；

∴∠PGC=60°；又∠NCB=60°；

∴∠PGC=∠NCB；

∴PG∥AB．28、略

【分析】【分析】首先連接AP，由在等腰三角形ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，即可得∠BAP=∠CAP，又由PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得PD=PE．【解析】【解答】解：連接AP；

∵在等腰三角形ABC中；AB=AC，P為BC的中點(diǎn)；

∴∠BAP=∠CAP；

∵PD⊥AB；PE⊥AC；

∴PD=PE．六、綜合題(共4題，共24分)29、略

【分析】【分析】（1）作QF⊥AC于點(diǎn)F；先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)DE∥QB時(shí)；得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t；

（3）①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，由PC2=QC2解得t；

②第二種情況，點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．【解析】【解答】解（1）如圖1；作QF⊥AC于點(diǎn)F；

AQ=CP=t；

∴AP=3-t．

由△AQF∽△ABC；

得．

∴QF=t．

∴S=（3-t）?t；

即S=；

（2）能．

①當(dāng)由△APQ∽△ABC；DE∥QB時(shí)，如圖2．

∵DE⊥PQ；

∴PQ⊥QB；四邊形QBED是直角梯形；

此時(shí)∠AQP=90°．

由△APQ∽△ABC；

得；

即．

解得t=；

②如圖3；

當(dāng)PQ∥BC時(shí)；DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時(shí)∠APQ=90°．

由△AQP∽△ABC；

得

即；

解得t=；

綜上：在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t=或時(shí)；四邊形QBED能成為直角梯形；

（3）t=或t=；

①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)；DE經(jīng)過點(diǎn)C．

連接QC；作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．

∵sinB=；

∴QG=（5-t）；

同理BG=（5-t）；

∴CG=4-（5-t）；

∴PC=t，QC2=QG2+CG2=[（5-t）]2+[4-（5-t）]2．

∵CD是PQ的中垂線；

∴PC=QC

則PC2=QC2；

得t2=[（5-t）]2+[4-（5-t）]2；

解得t=；

②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)；DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖5．

PC=6-t，可知由PC2=QC2可知；

QC2=QG2+CG2

（6-t）2=[（5-t）]2+[4-（5-t）]2；

即t=．30、略

【分析】【分析】（1）利用“兩角法”可以證得△PBQ與△ABC相似；

（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理；（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及三角形的面積公式列出S與x的函數(shù)關(guān)系式；利用配方法求得二次函數(shù)的最值；

（3）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2-AC2，易求得：BC=AC，則λ=．【解析】【解答】解：（1）不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)；都有。

∠PQB=∠C=90°；∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4）；由勾股定理，得AB=5

∵由（1）知；△PBQ∽△ABC；

∴，即

∴，

S△APQ=

=

=

∴當(dāng)x=時(shí)，△APQ的面積最大，最大值是；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP

∴AQ=AC

又∵Rt△AQP≌Rt△BQP

∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2-AC2

∴BC=AC

∴λ=時(shí)，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．31、略

【分析】【分析】（1）首先根據(jù)銳角三角函數(shù)求得直角三角形ABC的兩