【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第5章-第1節(jié)-平面向量的概念及其線性運(yùn)算

第五章第一節(jié)一、選擇題1．下列命題中為假命題的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相同[答案]D[解析]由定義可知，A、B、C正確．由于共線的單位向量方向可以相同或相反，故D錯(cuò)誤．2．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，則()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0[答案]C[解析]解法1：由向量加法的平行四邊形法則易知，eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的和向量過AC邊上的中點(diǎn)，長度是AC邊上的中線長的二倍，結(jié)合已知條件可知P為AC邊中點(diǎn)，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.解法2：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.3．(2022·新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[答案]A[解析]如圖，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).4．(文)下列命題中真命題是()①a∥b?存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb②a∥b?存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝③a與b不共線?若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝④a與b不共線?不存在實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝A．①③ B．②③C．①④ D．②④[答案]B(理)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向[答案]D[解析]考查向量相等及向量平行的條件．∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ,1＝－λ))，∴k＝－1，λ＝－1.故選D．5．非零向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0[答案]A[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→)).又2eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.6．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形C．梯形 D．菱形[答案]C[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD為梯形．故選C．二、填空題7．化簡：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝________(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________[答案](1)eq\o(CB,\s\up6(→))(2)0[解析]運(yùn)用三角形法則求和向量時(shí)，應(yīng)“始終相接，始指向終”；求差向量時(shí)，應(yīng)“同始連終，指向被減”．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)解法1：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.解法2：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.8．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝[答案]－eq\f(1,3)[解析]由已知得a＋λb＝－k(b－3a)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k,3k＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,3),k＝\f(1,3))).9．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的外形為________．[答案]直角三角形[解析]eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，故A、B、C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形．三、解答題10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2為兩個(gè)非零不共線向量．問：是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？[分析]運(yùn)用向量共線的條件，確定是否存在實(shí)數(shù)k，使是d＝kC．[解析]d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使c∥d，則應(yīng)存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，滿足λ＝－2μ，就能使d與c共線.一、選擇題1．(2022·福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))[答案]D[解析]本題考查了平面對(duì)量平行四邊形法則，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋OC)＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OM,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).2．(文)已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P確定在()A．△ABC的內(nèi)部B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上D．BC邊所在直線上[答案]B[解析]本題考查平面對(duì)量的共線問題，由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).則eq\o(CP,\s\up6(→))與eq\o(PA,\s\up6(→))為共線向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))與eq\o(PA,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)P，∴C、P、A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在直線AC上．故選B．(理)設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．相互垂直 D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故選A．二、填空題3．在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則△PBC與△ABC的面積之比是________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P是CA邊上的三等分點(diǎn)，如圖所示．故eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).4．在△ABC中，點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(AM,\s\up6(→))＝0，則實(shí)數(shù)m的值為______．[答案]－3[解析]由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0知M為△ABC的重心，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，而eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)meq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴m＝－3.三、解答題5．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若a與b起點(diǎn)相同，t∈R，t為何值時(shí)，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？[解析]設(shè)a－tb＝λ[a－eq\f(1,3)(a＋b)](λ∈R)，化簡整理得(eq\f(2,3)λ－1)a＋(t－eq\f(1,