《金版學(xué)案》2022屆高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-3-8解三角形的應(yīng)用-

第八節(jié)解三角形的應(yīng)用題號(hào)12345答案1．(2021·紹興模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析：如圖，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin160°)＝eq\f(AB,sin10°)，∴AD＝AB·eq\f(sin160°,sin10°)＝eq\f(sin20°,sin10°)＝2cos10°.故選C.答案：C2．假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的外形為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長(zhǎng)度打算解析：設(shè)增加同樣的長(zhǎng)度為x，原三邊長(zhǎng)為a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三邊長(zhǎng)為a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x為最大邊，其對(duì)應(yīng)角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值為正，則為銳角，那么它為銳角三角形．答案：A3．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東方向40km處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)解析：設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30km，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°.化簡(jiǎn)得x2－40eq\r(2)x＋700＝0.設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，∴|x1－x2|＝20，即CD＝20.故t＝eq\f(CD,v)＝eq\f(20,20)＝1.故選B.答案：B4．甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B動(dòng)身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.eq\f(150,7)分鐘B.eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘解析：t小時(shí)后，甲、乙兩船的距離為s，s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)·cos120°＝28t2－20t＋100.∴當(dāng)t＝eq\f(20,2×28)＝eq\f(5,14)(小時(shí))＝eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)(分鐘)時(shí)，甲、乙兩船的距離最近．故選A.答案：A5．某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．故選C.答案：C6．如圖，在斜度確定的山坡上一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45°，假設(shè)建筑物高50m，設(shè)山對(duì)于地平面的斜度為θ，則cosθ＝____________．解析：在△ABC中，AB＝100m,∠CAB＝15°，∠ACB＝45°－15°＝30°.由正弦定理得eq\f(100,sin30°)＝eq\f(BC,sin15°)，∴BC＝200sin15°.在△DBC中，CD＝50m，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ.由正弦定理知eq\f(50,sin45°)＝eq\f(200sin15°,sin（90°＋θ）)，解得cosθ＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－17．某船在A處看燈塔S在北偏東30°方向，它以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過(guò)40分鐘航行到B處，看燈塔S在北偏東75°方向，則此時(shí)該船到燈塔S的距離為_(kāi)_____海里(結(jié)果保留最簡(jiǎn)根式)．答案：10eq\r(2)8．如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最終一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最終一排的距離為10eq\r(6)米，則旗桿的高度為_(kāi)_______米．解析：設(shè)旗桿高為h米，最終一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則BC＝eq\f(h,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)h.在△ABC中，AB＝10eq\r(6)，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(\f(2\r(3),3)h,sin45°)，故h＝30.答案：309．某炮兵陣地位于地面A處，兩觀看所分別位于地面C和D處，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)毀滅于地面B處時(shí)，測(cè)量得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離．解析：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45°，依據(jù)正弦定理有AD＝eq\f(CDsin45°,sin60°)＝eq\r(\f(2,3))CD.同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，依據(jù)正弦定理得BD＝eq\f(CDsin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，依據(jù)勾股定理有AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(\f(2,3)＋\f(1,2))CD＝eq\f(\r(42),6)CD＝eq\r(42)(km)．所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為eq\r(42)km.10．如圖，矩形ABCD是機(jī)器人踢足球的場(chǎng)地，BA＝170cm，AD＝80cm，機(jī)器人先從AD的中點(diǎn)E進(jìn)入場(chǎng)地到點(diǎn)F處，EF＝40cm，EF⊥AD.場(chǎng)地內(nèi)有一小球從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人從點(diǎn)F動(dòng)身去截小球，現(xiàn)機(jī)器人和小球同時(shí)動(dòng)身，它們均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，并且小球運(yùn)動(dòng)的速度是機(jī)器人行走速度的2倍．若忽視機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則機(jī)器人最快可在何處截住小球？解析：設(shè)該機(jī)器人最快可在點(diǎn)G處截住小球，點(diǎn)G在線段AB上．設(shè)FG＝xcm.依據(jù)題意得BG＝2xcm.則AG＝AB－BG＝(170－2x)(cm)．連接AF，在△AEF中，EF＝AE＝40cm，EF⊥AD，所以∠EAF＝45°，AF＝40eq\r(2)cm.于是∠FAG＝45°.在△AFG中，由余弦定理得FG2＝AF2＋AG2－2AF·AGcos∠FAG.所以