【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第1節(jié)-空間幾何體及其直觀圖、三視圖

第九章第一節(jié)一、選擇題1．(文)(2021·陜西檢測(cè))如圖是由若干個(gè)相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖，其中小立方體中數(shù)字表示相應(yīng)位置的小立方體的個(gè)數(shù)，則該幾何體的左視圖為()[答案]C[解析]由俯視圖知左視圖從左到右能看到的小立方體個(gè)數(shù)分別為2,3,1，選C．(理)(2021·保定調(diào)研)用若干個(gè)體積為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，其正視圖、側(cè)視圖都是如圖所示的圖形，則這個(gè)幾何體的最大體積是()A．9 B．11C．13 D．15[答案]B[解析]由正視圖、側(cè)視圖可知，幾何體的體積最大時(shí)，底層有9個(gè)小正方體，上面有2個(gè)，共11個(gè)，最大體積為11，所以選B．2．(2022·河南南陽三模)已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()[答案]C[解析]由條件得直觀圖如圖所示，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，為虛線．故選C．3．(文)(2022·湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]依據(jù)三視圖得如圖所示的三棱柱，即底面ABC是直角三角形的直棱柱．要想得到最大的球，只需球與三個(gè)側(cè)面都相切．由于直角三角形中，62＋82＝102，所以直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，故得到的最大球的半徑為2.(理)(2022·浙江理)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2[答案]D[解析]由題干中的三視圖可得原幾何體如圖所示．該幾何體由長(zhǎng)方體和直三棱柱組成，長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm，直三棱柱底面三角形三邊長(zhǎng)為3cm,4cm,5cm，高為3cm.故該幾何體的表面積S＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋(3×4＋3×5＋2×eq\f(1,2)×3×4)＝138(cm2)，故選D．4．(2021·昆明調(diào)研)如圖，若一個(gè)空間幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，其直角邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的表面積為()A．1＋eq\r(2) B．2＋2eq\r(2)C．eq\f(1,3) D．2＋eq\r(2)[答案]D[解析]依題意得，題中的幾何體是底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱錐P－ABCD(如圖)，其中底面邊長(zhǎng)為1，PD＝1，PD⊥平面ABCD，S△PAD＝S△PCD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，S四邊形ABCD＝12＝1，因此該幾何體的表面積為2＋eq\r(2)，選D．5．(文)(2022·山西四校其次次聯(lián)考)如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，那么△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形[答案]B[解析]由題圖知A′C′∥y′軸，A′B′∥x′軸，由斜二測(cè)畫法知，在△ABC中，AC∥y軸，AB∥x軸，∴AC⊥AB．又由于A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形，B項(xiàng)正確．(理)(2022·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A．6eq\r(2) B．6C．4eq\r(2) D．4[答案]B[解析]由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐S－ABC，底面ABC為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)AB＝BC＝4，側(cè)面SBC⊥底面ABC，側(cè)面SBC是一個(gè)等腰三角形，底邊BC＝4，高SO＝4，故其最長(zhǎng)的棱為SA，取BC的中點(diǎn)O，則SO⊥平面ABC，∴BO＝2，AO＝eq\r(AB2＋DO2)＝eq\r(20)，∴SA＝eq\r(AO2＋SO2)＝6，其直觀圖如圖1.把該幾何體放入正方體中如圖2.6．(文)(2021·新課標(biāo)Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π[答案]A[解析]該幾何體是一個(gè)組合體，其中上面是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,2的長(zhǎng)方體，下面是底面半徑為2，高為4的半圓柱，故體積V＝V上＋V下＝4×2×2＋eq\f(1,2)×π×22×4＝16＋8π.(理)某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該幾何體的體積為eq\f(1,3)，則該幾何體的俯視圖可以是()[答案]D[解析]由正視圖及俯視圖可知該幾何體的高為1，又∵其體積為eq\f(1,3)，故為錐體，∴S底＝1，A中為三角形，此時(shí)其底面積為eq\f(1,2)，舍去；B為eq\f(1,4)個(gè)圓，底面積為eq\f(π,4)，也舍去，C為圓，其面積為π舍去，故只有D成立．[點(diǎn)評(píng)]假如不限定體積為eq\f(1,3)，則如圖(1)在三棱錐P－ABC中，AC⊥BC，PC⊥平面ABC，AC＝BC＝PC＝1，則此三棱錐滿足題設(shè)要求，其俯視圖為等腰直角三角形A；如圖(2)，底半徑為1，高為1的圓錐，被截面POA與POB截下一角，OA⊥OB，則此時(shí)幾何體滿足題設(shè)要求，其俯視圖為B；如圖(3)，這是一個(gè)四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，此幾何體滿足題設(shè)要求，其俯視圖為D．二、填空題7．(2021·武漢武昌區(qū)聯(lián)考)已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓，如圖所示，則該幾何體的全面積為________．[答案]26π[解析]由三視圖知該幾何體為上底直徑為2，下底直徑為6，高為2eq\r(3)的圓臺(tái)，則幾何體的全面積S＝π×12＋π×32＋π×(1＋3)×eq\r(2\r(3)2＋22)＝26π.8．一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．[答案]48＋8eq\r(17)[解析]由三視圖可知該幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4.如圖，兩底面等腰梯形的面積S1＝2S梯形ABCD＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＝24，作D1E⊥A1B1，則D1E＝4，A1E＝1，∴A1D1＝eq\r(17)，∴梯形底面周長(zhǎng)為4＋2＋2eq\r(17)＝6＋2eq\r(17)，∴側(cè)面積S2＝(6＋2eq\r(17))×4＝24＋8eq\r(17)，∴表面積S＝S1＋S2＝48＋8eq\r(17).9．(2021·陜西)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．[答案]3π[解析]此幾何體是一個(gè)半球，所以表面積為球的表面積的一半加上底面的面積，球半徑為1，故所求表面積為S＝2π＋π＝3π.三、解答題10．(文)已知一個(gè)四棱錐P－ABCD的三視圖(主視圖與左視圖為直角三角形，俯視圖是帶有一條對(duì)角線的正方形)如下，E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)．(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)求證：平面APC⊥平面BDE.[解析](1)由三視圖可知，AB＝BC＝1，PC⊥平面ABCD，且PC＝2，又底面ABCD是正方形，故S正方形ABCD＝1，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).(2)證明：由于底面ABCD是正方形，所以對(duì)角線AC⊥BD，又PC⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，故BD⊥PC，又PC∩AC＝C，所以，BD⊥平面APC．又BD?平面BDE，故平面APC⊥平面BDE.(理)多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求證：PA⊥平面PDC．[解析]由多面體PABCD的三視圖知，該幾何體是四棱錐，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是等腰直角三角形，PA＝PD＝eq\r(2)，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，又∵E是PC的中點(diǎn)，∴在△CPA中，EF∥PA，又PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．∵△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝eq\f(π,2).即PA⊥PD．又CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PDC．一、選擇題11．(文)(2021·遼寧鞍山一模)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．3π B．2πC．eq\f(16π,3) D．以上都不對(duì)[答案]C[解析]該幾何體是底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓錐，設(shè)外接球半徑為R，則有(eq\r(3)－R)2＋1＝R2，解得R＝eq\f(2\r(3),3).故S球＝4π×(eq\f(2\r(3),3))2＝eq\f(16π,3).(理)(2021·淮北第一次檢測(cè))已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．π＋4 B．eq\f(π＋4,3)C．eq\f(2π＋4,3) D．π＋eq\f(4,3)[答案]B[解析]該幾何體是由過軸的截面所截得的半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐所組成的組合體．如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為2.V＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)×π×12×2)＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(π＋4,3).12．(文)(2022·安徽六校聯(lián)考)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,2)[答案]A[解析]方法一：如圖所示，分別過A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，∵三棱錐高為eq\f(1,2)，直三棱柱柱高為1，AG＝eq\r(12－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(3),2)，取AD中點(diǎn)M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×(eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2),3).方法二：如圖所示，取EF的中點(diǎn)P，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，易知三棱錐P－AED和三棱錐P－BCF都是棱長(zhǎng)為1的正四周體，四棱錐P－ABCD為棱長(zhǎng)為1的正四棱錐．∴V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),3).(理)(2022·北京)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，eq\r(2))，若S1、S2、S3分別是三棱錐D－ABC在xOy、yOz、zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1[答案]D[解析]如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，S1＝eq\f(1,2)AB·BC＝2，S2＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\r(2)，S3＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\r(2)，∴S1>S2＝S3，故選D．13．(2022·新課標(biāo)Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A．eq\f(17,27) B．eq\f(5,9)C．eq\f(10,27) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]由三視圖可知，該零件是由兩個(gè)圓柱組合而成，兩個(gè)圓柱的體積之和V＝V1＋V2＝π×22×4＋π×32×2＝34π.底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積V＝π×32×6＝54π，所以切削掉部分的體積為54π－34π＝20π，故切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27)，故選C．二、填空題14．(文)一個(gè)圓錐的側(cè)面開放圖是圓心角為eq\f(6,5)π，半徑為10cm的扇形，則圓錐的體積為________．[答案]96πcm3[解析]扇形弧長(zhǎng)l＝10×eq\f(6π,5)＝12π，設(shè)圓錐底面半徑為R，高為h，則2πR＝12π，∴R＝6，∴h＝eq\r(102－62)＝8，∴體積V＝eq\f(1,3)πR2h＝96π.(理)(2021·長(zhǎng)春三校)在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝2eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(π,2)，且此三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為________．[答案]eq\f(32π,3)[解析]如圖，依題意可知，球心O到平面ABC的距離為eq\f(1,2)AA′＝1，平面ABC所在圓的半徑為eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，則球的半徑為eq\r(12＋\r(3)2)＝2，則球的體積為eq\f(4,3)×π×23＝eq\f(32π,3).[解法探究]一般地，在題設(shè)條件中有兩兩垂直的三條線段時(shí)，?？紤]長(zhǎng)方體進(jìn)行補(bǔ)形．∵AA′⊥平面ABC，∠BAC＝90°，∴可將三棱柱ABC－A′B′C′補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABEC－A′B′E′C′，則此長(zhǎng)方體內(nèi)接于球；設(shè)球半徑為R，則2R＝eq\r(AB2＋AC2＋AA′2)＝eq\r(BC2＋AA′2)＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，∴R＝2，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).15．(文)(2022·福州模擬)利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖確定是三角形；②正方形的直觀圖確定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖確定是菱形．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．[答案]1[解析]由斜二測(cè)畫法的規(guī)章可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，由于平行投影保持平行性，所以等腰梯形的直觀圖不行能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不愿定是菱形，④也錯(cuò)誤．(理)若一個(gè)螺栓的底面是正六邊形，它的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則它的體積是________．[答案]9eq\r(3)＋eq\f(32,25)π[解析]由三視圖知，該螺栓的上部是一個(gè)底半徑為0.8，高為2的圓柱，下部是底面邊長(zhǎng)為2，高為1.5的正六棱柱，故體積V＝π×0.82×2＋6×eq\f(\r(3),4)×22×1.5＝9eq\r(3)＋eq\f(32π,25).三、解答題16．已知四棱錐P－ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示．(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)若E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDE；(3)若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，不論點(diǎn)E在什么位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．[分析](1)由圖形確定棱錐的底面和高，再求體積．(2)欲證PA∥平面BDE，需找一個(gè)經(jīng)過PA與平面BDE相交的平面，結(jié)合E為PC的中點(diǎn)，AC與BD的交點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，故取平面PAC．(3)“不論E在PC上的什么位置，都有BD⊥AE”的含義是BD⊥平面PAC．[解析](1)由該四棱錐的直觀圖和三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PC＝eq\f(2,3).(2)連接AC交BD于F，如圖所示，則F為AC的中點(diǎn)，又∵E為PC的中點(diǎn)，∴PA∥EF，又PA?平面BDE，EF?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(3)不論點(diǎn)E在什么位置，都有BD⊥AE.證明：連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．又AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵不論點(diǎn)E在PC上什么位置，都有AE?平面PAC．∴不論點(diǎn)E在PC上什么位置，都有BD⊥AE.17．(文)(2022·陜西文)四周體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四周體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)求四周體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形．[解析](1)由該四周體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝CD＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，∴四周體體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).(2)∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．又∵AD⊥平面BDC．∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.∴四邊形EFGH是矩形．(理)(2022·廣東六校聯(lián)考)已知幾何體A－BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．(1)求此幾何體的體積V的大?。?2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值；(3)摸索究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ，并說明理由．[解析](1)由該幾何體的三視圖知AC⊥平面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝1，∴S梯形BCED＝eq\f(1,2)×(4＋1)×4＝10，∴V＝eq\f(1,3)·S梯形BCED·AC＝eq\f(1,3)×10×4＝eq\f(40,3).即該幾何體的體積為eq\f(40,3).(2)方法一：過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連接AF，則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．在△BAF中，∵AB＝4eq\r(2)，BF＝AF＝eq\r(16＋9)＝5，∴cos∠ABF＝eq\f(BF2＋AB2－AF2,2BF·AB)＝eq\f(2\r(2),5).即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為eq\f(2\r(2),5).方法二：如圖所示，以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，－4,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,4,0)．∴cos〈eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝－eq\f(2\r(2