2025年人教版七年級數(shù)學寒假預(yù)習 第05講 平方根

第05講平方根模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(1)理解平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根;(2)根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負數(shù)的算術(shù)平方根;(3)了解算術(shù)平方根的性質(zhì)并用其解題；1.算術(shù)平方根定義：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).【補充】算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0和1.性質(zhì)：正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.算術(shù)平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有雙重非負性：1）被開方數(shù)具有非負性，即a≥0；2）算術(shù)平方根本身具有非負性，即QUOTEQUOTE≥0；【小結(jié)】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.兩個重要等式：1）QUOTE??2=??????a22），即一個數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.2.平方根定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根.正數(shù)a的兩個平方根記作±，讀作“正、負根號a”.【補充】平方根等于本身的數(shù)只有0.性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負數(shù)沒有平方根.3.開平方定義：求一個非負數(shù)的平方根的運算叫做開平方.非負數(shù)a開平方用符號“±”表示，“”是一個運算符號.【注意】1）開平方是求一個非負數(shù)的平方根，因此被開方數(shù)必須是非負數(shù)；2）平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣，是求平方根的過程；3）平方和開平方互為逆運算，我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確.考點一：求一個數(shù)的算術(shù)平方根1．（24-25七年級上·浙江臺州·期末）計算：QUOTE4=4=．2．（22-23八年級上·河南南陽·期末）QUOTE1616的算術(shù)平方根等于（

）A．4 B．QUOTE鹵4鹵4 C．2 D．QUOTE鹵2鹵23．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當輸入的x的值為81時，輸出的y的值是（）A．QUOTE33 B．9 C．3 D．QUOTE?3?3考點二：利用算術(shù)平方根的非負性求解4．（24-25七年級上·浙江麗水·期中）若QUOTE???17+???12=0a?17+b?12=0，則QUOTE?????a?b的算術(shù)平方根為5．（24-25七年級上·浙江臺州·期末）若QUOTE??+8+|??+2|=0x+8+|y+2|=0，則QUOTE????xy的值為．6．（24-25七年級上·浙江寧波·期中）已知實數(shù)x，y滿足QUOTE???4+??+11=0x?4+y+11=0，則QUOTE?????+1x?y+1的值為．QUOTE?????+1=4??11+1=167．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期中）已知QUOTE??x、QUOTE??y為實數(shù)，且QUOTE??=???2009+2009???+1y=x?2009+2009?x+1，則QUOTE??+??=x+y=考點三：估計算術(shù)平方根的取值范圍8．（2024·湖南長沙·二模）若QUOTE3<??<43<a<4，則滿足條件的QUOTE??a可能是（

）A．8 B．9 C．15 D．189．（22-23七年級下·重慶·階段練習）估計QUOTE11?111?1的值在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間10．（23-24七年級下·貴州安順·階段練習）小明制作了一張邊長為QUOTE16cm16cm的正方形賀卡想寄給朋友．現(xiàn)有一個長方形信封如圖所示，長、寬之比為QUOTE3:23:2，面積為QUOTE420cm2420cm2．(1)求此長方形信封的長和寬．(2)小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明理由．考點四：與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究問題11．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，QUOTE??=27.29y=27.29，那么QUOTE??=y=．12．（24-25八年級上·山西太原·階段練習）觀察表格并回答下列問題．a(chǎn)…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中QUOTE??=x=________，QUOTE??=y=________．(2)①已知QUOTE，則QUOTE________；②已知QUOTE，QUOTE，求QUOTE??m的值．QUOTE??=60013．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）我們知道，平方數(shù)的開平方運算可以直接求得，如QUOTE44等，有些數(shù)則不能直接求得，如QUOTE55，但可以通過計算器求得．還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得．請你觀察下表：a…0.04440040000…a…x2yz…(1)表格中的三個值分別為：QUOTE??=x=________；QUOTE??=y=________；QUOTE??=z=________；(2)用公式表示這一規(guī)律：當QUOTE（QUOTE??n為整數(shù)）時，QUOTE??a＝________；(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：已知QUOTE，則①Q(mào)UOTE_______；②QUOTE________．QUOTE14．（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習）先計算下列各式：QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，通過觀察并歸納結(jié)論：（1）請寫出：QUOTE：（2）計算：QUOTE．QUOTE=102考點五：算術(shù)平方根的實際應(yīng)用15．（23-24七年級下·廣東肇慶·期中）閱讀下列材料：在學習完實數(shù)的相關(guān)運算之后，某數(shù)學興趣小組提出了一個有趣的問題：兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關(guān)系？小聰和小明分別用自己的方法進行了驗證：小聰：QUOTE，而QUOTE4=24=2，QUOTE25=525=5，所以QUOTE，即QUOTE．小明：QUOTE，QUOTE，這就說明QUOTE4脳254脳25與QUOTE都是QUOTE4脳254脳25的算術(shù)平方根，而QUOTE4脳254脳25的算術(shù)平方根只有一個，所以QUOTE．回答以下問題：(1)結(jié)合材料猜想，當QUOTE??鈮?a鈮?，QUOTE??鈮?b鈮?時，QUOTE????ab和QUOTE之間存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出；(2)運用以上結(jié)論，計算：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；(3)解決實際問題：已知一個長方形的寬為QUOTE88，長為QUOTE3232，求這個長方形的面積．16．（24-25七年級上·全國·期末）喜歡探索數(shù)學知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其結(jié)果分別為QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整數(shù)，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)稱為“老根數(shù)”，其中“最小算術(shù)平方根”是QUOTE22，“最大算術(shù)平方根”是QUOTE66．(1)試說明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出它們的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTE??a，QUOTE3636，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的QUOTE22倍，求QUOTE??a的值．17．（24-25八年級上·江西九江·階段練習）在數(shù)學實踐活動課上，指導老師準備了一塊面積為QUOTE16m216m2的正方形紙片QUOTE????????ABCD（如圖所示），準備給數(shù)學實踐小組用來對教室重新進行裝飾，現(xiàn)需要一塊面積為QUOTE15m215m2的長方形紙片，數(shù)學實踐小組設(shè)計如下兩種方案：方案一：沿著正方形邊的方向裁出一塊面積為QUOTE15m215m2方案二：沿著正方形邊的方向裁出一塊面積為QUOTE15m215m2的長方形裝飾材料，且長與寬的比為QUOTE4:34:3．請你判斷實踐小組設(shè)計的兩種方案是否可行？若可行，請幫助解決如何裁剪；若不可行，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：QUOTE）18．（24-25八年級上·山西臨汾·階段練習）電流通過導線時會產(chǎn)生熱量，滿足QUOTE??=??2????(??>0)Q=I2Rt(I>0)，其中QUOTE??Q為產(chǎn)生的熱量（單位：QUOTEJJ），QUOTE??I為電流（單位：QUOTEAA），QUOTE??R為導線電阻（單位：QUOTE），QUOTE??t為通電時間（單位：QUOTEss）．(1)當導線電阻為QUOTE5惟5惟，電流為QUOTE3A3A時，通電時間為QUOTE2s2s所產(chǎn)生的熱量是多少？(2)當導線電阻為QUOTE6惟6惟，通電時間為QUOTE3s3s時，所產(chǎn)生的熱量是QUOTE72J72J，這時電流是多少？19．（22-23七年級下·山東臨沂·期中）如圖，用兩個邊長為QUOTE的小正方形紙片剪拼成一個大正方形．

(1)求大正方形的邊長；(2)若沿著這個大正方形紙片邊的方向裁剪，能否裁得一個長寬之比為QUOTE3:23:2且面積為QUOTE的長方形紙片，若能，求出裁得的長方形紙片的長和寬；若不能，請說明理由．QUOTE考點六：理解平方根的概念20．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用數(shù)學式子表達為（）A．QUOTE1625=?451625=?45 B．QUOTE1625=451625=45 C．QUOTE?1625=?4QUOTE21．（24-25七年級上·浙江杭州·階段練習）已知某數(shù)的一個平方根為QUOTE1212，則該數(shù)是，它的另一個平方根是．22．（2024七年級上·浙江·專題練習）下列說法正確的是（

）A．QUOTE?4?4的平方根是QUOTE鹵2鹵2B．QUOTE1616的算術(shù)平方根是4C．平方根等于本身的數(shù)是0和1D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0QUOTE考點七：求一個數(shù)的平方根23．（22-23七年級上·浙江·期中）QUOTE1616的平方根是()A．QUOTE44 B．QUOTE?4?4 C．QUOTE鹵鹵4 D．QUOTE鹵2鹵224．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）QUOTE1616的平方根是．QUOTE25．（24-25七年級上·山東泰安·階段練習）已知QUOTE??x、QUOTE??y都是實數(shù)，且QUOTE??=???2+2???+4y=x?2+2?x+4，求QUOTE????yx的平方根．26．（24-25七年級上·山東威海·階段練習）若QUOTE，QUOTE，則QUOTE0.30.3的平方根約為（

）A．QUOTE0.5450.545 B．QUOTE0.1730.173 C．QUOTE鹵0.173鹵0.173 D．QUOTE鹵0.545鹵0.545QUOTE鹵0.545考點八：求代數(shù)式的平方根27．（23-24七年級下·山東濱州·期末）若x，y為實數(shù)，且QUOTE2(???3)22(x?3)2與QUOTE3???123y?12互為相反數(shù)，則QUOTE??2+??2x2+y228．（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知QUOTE1?3??1?3b與QUOTE2??+12a+1互為相反數(shù)，求QUOTE?3??+2??+6?3b+2a+6的平方根．QUOTE29．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知實數(shù)QUOTE??a，QUOTE??b，QUOTE??c滿足：QUOTE???5+??+4+???32=0a?5+b+4+c?32=0，求：(1)QUOTE??a，QUOTE??b，QUOTE??c的值．(2)QUOTE??+??+??a+b+c的平方根．30．（23-24七年級下·河南商丘·期中）已知QUOTE2??+12a+1的算術(shù)平方根是5，QUOTE10+3??10+3b的平方根是QUOTE鹵4鹵4，c是QUOTE1919的整數(shù)部分，求QUOTE???5??+??a?5b+c的平方根．考點九：已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)31．（24-25七年級上·黑龍江綏化·階段練習）一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是QUOTE??+5a+5和QUOTE4???154a?15，則x的值為32．（24-25七年級上·浙江溫州·期中）已知某數(shù)的一個平方根是QUOTE?5?5，則這個數(shù)是．QUOTEQUOTEQUOTE?533．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）若一個正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE3???53b?5和QUOTE?2??+2?2b+2．(1)求a和b的值；(2)求QUOTE??+3??a+3b的平方根．34．（24-25八年級上·山東青島·階段練習）已知一個數(shù)x的算術(shù)平方根為QUOTE??+3a+3，x的平方根為QUOTE鹵(2???15)鹵(2a?15)，求這個數(shù)x是．考點十：利用平方根解方程35．（24-25八年級上·廣東深圳·階段練習）解方程(1)QUOTE4??2?9=04x(2)QUOTE42???12=3642x?136．（21-22七年級下·貴州黔南·期中）解方程：(1)QUOTE25??2?49=025x(2)QUOTE2??+12?49=1237．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各式中的x：(1)QUOTE9??2?25=09x(2)QUOTE(??+1)2+8=72(x+1)2+8=72(3)QUOTE2(???1)2?32=02(x?1)考點十一：平方根的應(yīng)用38．（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，用兩個面積為QUOTE50cm250cm2(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為QUOTE2:12:1且面積為QUOTE72cm272cm2？她不知能否剪得出來，正在發(fā)愁．小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？39．（23-24八年級下·遼寧大連·期中）小明同學每次回家進入電梯時，總能看見物業(yè)在電梯內(nèi)張貼的提示“高空拋物，害人害己，嚴禁高空拋物”，為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間QUOTE??t（單位：秒）和高度QUOTE??（單位：米）近似滿足公式QUOTE?=12????2?=12gt2，其中QUOTE??g為重力加速度，QUOTE米/平方秒．物體落地時產(chǎn)生的動能QUOTE==物體質(zhì)量QUOTE脳脳重力加速度QUOTE脳脳高度，動能的單位名稱為焦耳，例如：一個1千克重的花盆從30米高空墜落到地面產(chǎn)生的動能為：QUOTE焦耳．(1)一個物品從80米的高樓墜落到地面需要幾秒？(2)一個0.5千克的物品墜落到地面產(chǎn)生了200焦耳的動能，請推算該物品墜落到地面用了幾秒？（結(jié)果精確到0.1秒，QUOTE）40．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）一塊長方形空地面積為1500平方米，其長寬之比為QUOTE5:35:3．(1)求這塊長方形空地的周長；(2)如圖，在空地內(nèi)修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為QUOTE2:12:1），花壇的總面積為1176平方米，寬度為QUOTE2.52.5米的農(nóng)藥噴灑車能不能在走道上正常通行？41．（23-24七年級上·浙江·周測）全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開始在巖石上生長．每一個苔蘚都會長成近似的圓形，苔蘚的直徑和其生長年限近似地滿足如下的關(guān)系式：QUOTE，其中d表示苔蘚的直徑，單位是厘米，t代表冰川消失的時間（單位：年）(1)計算冰川消失21年后苔蘚的直徑為多少厘米？(2)如果測得一些苔蘚的直徑是35厘米，問冰川約是在多少年前消失的？QUOTE??=21QUOTE??=371．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）一個正方形的面積是QUOTE2525，則這個正方形的邊長是（

）A．5 B．QUOTE鹵5鹵5 C．QUOTE55 D．QUOTE鹵5鹵52．（24-25七年級上·山東泰安·期中）若QUOTE???22+??+3=0a?22+b+3=0，則QUOTE??+??2024a+bA．QUOTE?1?1 B．0 C．1 D．20243．（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）QUOTE??a與QUOTE??b互為相反數(shù)，QUOTE??c是最大的負整數(shù)，QUOTE??d是正數(shù)且倒數(shù)等于它本身，QUOTE??x是平方等于4的數(shù)，則QUOTE??+2?????+????x+2c?a+bd的值為（

）A．1 B．QUOTE?5?5 C．0或QUOTE?4?4 D．1或54．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知x，y為實數(shù)，且QUOTE???3+|??+1|=0x?3+|y+1|=0，則QUOTE?????x?y的值為（）A．QUOTE?2?2 B．2 C．4 D．QUOTE?4?45．（24-25七年級上·浙江溫州·期中）下列選項中計算正確的是（

）A．QUOTE4=鹵24=鹵2 B．QUOTE C．QUOTE23=623=6 D．QUOTE?32=9?32=9QUOTE?32=?96．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測）在有理數(shù)QUOTE?3?3，QUOTE?3?3，QUOTE(?3)2(?3)2，QUOTE(?3)2(?3)2中，負數(shù)的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個7．（24-25八年級上·湖南·階段練習）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是QUOTE??+1m+1和QUOTE2???162m?16．則這個正數(shù)為（

）A．4 B．36 C．QUOTE?6?6 D．QUOTE鹵6鹵68．（24-25八年級上·四川成都·開學考試）下列說法錯誤的是（

）A．QUOTE鹵3鹵3是9的平方根 B．QUOTE1616的平方根為QUOTE鹵4鹵4C．QUOTE2525的平方根為QUOTE鹵5鹵5 D．負數(shù)沒有平方根9．（24-25七年級上·湖南永州·階段練習）如果QUOTE??2=?42a2=?42A．4 B．QUOTE?4?4 C．16 D．4或QUOTE?4?410．（23-24七年級下·全國·單元測試）已知QUOTE20.24=4.49920.24=4.499，QUOTE202.4=14.227202.4=14.227，則QUOTE202400=202400=（

）A．QUOTE44.9944.99 B．QUOTE449.9449.9 C．QUOTE142.27142.27 D．QUOTE11．（23-24七年級下·全國·單元測試）如果QUOTE2???32a?3和QUOTE???3a?3是正數(shù)A的平方根，則A為（

）A．1或9 B．1或QUOTE?3?3 C．1 D．QUOTE?3?312．（24-25七年級上·浙江溫州·期中）在草稿紙上計算：①Q(mào)UOTE1313，②QUOTE13+2313+23，③QUOTE…，觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值：QUOTE13+23+33+4313+23+3313．（24-25七年級上·浙江舟山·期中）QUOTE?2?2的立方等于；QUOTE?23?23的倒數(shù)是；25的平方根是14．（24-25七年級上·浙江溫州·期中）若QUOTE???20242+??+2023=2a?20242+b+2023=2，其中QUOTE??,??a,b均是整數(shù)，則QUOTE??+??=a+b=15．（24-25七年級上·四川成都·階段練習）如圖是第十四屆國際數(shù)學教育大會QUOTE?????????14ICME?14會微的主題圖案，它包含著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)我國古代數(shù)學的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3745．八進制是以8作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有QUOTE共8個基本數(shù)字．而八進制數(shù)3745轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)的計算方式為：QUOTE，十進制數(shù)2021表示QUOTE?????????14ICME?14的舉辦年份，而十進制數(shù)2024正好是你進入初中的年份，請將十進制數(shù)2024換算成八進制數(shù)是，數(shù)學組設(shè)計了一個QUOTE??n進制數(shù)143，換算成十進制數(shù)是120，則QUOTE??n的值是．16．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知：QUOTE???3+??+22+???2024(1)QUOTE??a，QUOTE??b，QUOTE??c的值；(2)求QUOTE??2???2??17．（24-25七年級上·山東青島·階段練習）已知QUOTE．(1)已知QUOTE??x的算術(shù)平方根為3，求QUOTE??a的值；(2)如果QUOTE都是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)．18．（24-25七年級上·浙江寧波·期中）“*”表示一種新運算，它的意義是QUOTE?????=???????+??a?b=ab?a+b，求：(1)QUOTE2?32?3；(2)QUOTE?3?5?3?5；(3)QUOTE?12024?4?1202419．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）圓柱的體積等于底面積乘高．如圖，用h表示圓柱的高，r表示底面半徑，V表示圓柱的體積．（結(jié)果中均保留π）(1)用含字母h，r的代數(shù)式表示圓柱的體積V．(2)求底面半徑為QUOTE2cm2cm，高為QUOTE5cm5cm的圓柱的體積．(3)若圓柱體積QUOTE，高QUOTE?=5cm?=5cm，求圓柱的底面半徑r．20．（24-25八年級上·福建漳州·階段練習）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定規(guī)律，如圖1是2024年10月份的日歷，我們選擇其中被框起來的部分，將每個框中三個位置上的數(shù)按如下方式計算：QUOTE92?2?16=81?32=49QUOTE，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7．

(1)請你類比上述算法，計算圖2與圖3中被框起來部分，你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)圖2計算結(jié)果為______；圖3計算結(jié)果為______．(2)請你類比上述材料，用含n的式子表示圖2的規(guī)律，并加以說明．QUOTE=821．（22-23七年級上·浙江金華·期中）如圖，有一只螞蟻從點B沿數(shù)軸向左爬了2個單位長度到達點A，若點B表示數(shù)QUOTE55，設(shè)點A所表示的數(shù)為m．(1)實數(shù)m的值是______．(2)求QUOTE的值．(3)在數(shù)軸上還有C，D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有QUOTE2??+42c+4與QUOTE互為相反數(shù)，求QUOTE2??+3??+82c+3d+8的平方根．

第05講平方根模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(1)理解平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根;(2)根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負數(shù)的算術(shù)平方根;(3)了解算術(shù)平方根的性質(zhì)并用其解題；1.算術(shù)平方根定義：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).【補充】算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0和1.性質(zhì)：正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.算術(shù)平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有雙重非負性：1）被開方數(shù)具有非負性，即a≥0；2）算術(shù)平方根本身具有非負性，即QUOTEQUOTE≥0；【小結(jié)】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.兩個重要等式：1）QUOTEa2=aa??a22），即一個數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.2.平方根定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，即，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根.正數(shù)a的兩個平方根記作±，讀作“正、負根號a”.【補充】平方根等于本身的數(shù)只有0.性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負數(shù)沒有平方根.3.開平方定義：求一個非負數(shù)的平方根的運算叫做開平方.非負數(shù)a開平方用符號“±”表示，“”是一個運算符號.【注意】1）開平方是求一個非負數(shù)的平方根，因此被開方數(shù)必須是非負數(shù)；2）平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣，是求平方根的過程；3）平方和開平方互為逆運算，我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確.考點一：求一個數(shù)的算術(shù)平方根1．（24-25七年級上·浙江臺州·期末）計算：QUOTE4=4=．【答案】2【分析】此題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【詳解】解：QUOTE4=24=2．故答案為：2．2．（22-23八年級上·河南南陽·期末）QUOTE1616的算術(shù)平方根等于（

）A．4 B．QUOTE鹵4鹵4 C．2 D．QUOTE鹵2鹵2【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根的意義，先化簡QUOTE1616，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義求解即可．【詳解】解：∵QUOTE16=416=4，∴QUOTE1616的算術(shù)平方根等于QUOTE4=24=2．故選：C．3．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當輸入的x的值為81時，輸出的y的值是（）A．QUOTE33 B．9 C．3 D．QUOTE?3?3【答案】A【分析】本題考查了算術(shù)平方根，理解題意，按照數(shù)值轉(zhuǎn)換器規(guī)定的運算計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器輸入x的值，直到輸出y的值不是有理數(shù)為止．【詳解】解：第一次輸入QUOTEx=81x=81，則QUOTE81=981=9，是有理數(shù)；第二次輸入QUOTEx=9x=9，則QUOTE9=39=3，是有理數(shù)；第三次輸入QUOTEx=3x=3，則QUOTE33不是有理數(shù)，所以輸出QUOTEy=3y=3，故選：A．考點二：利用算術(shù)平方根的非負性求解4．（24-25七年級上·浙江麗水·期中）若QUOTEa?17+b?12=0a?17+b?12=0，則QUOTEa?ba?b的算術(shù)平方根為【答案】2【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，幾個非負數(shù)的和為0，那么這幾個非負數(shù)的值都為0，據(jù)此得到QUOTE，則QUOTE；對于兩個實數(shù)a、b若a為非負數(shù)且滿足QUOTEa2=ba2=b，那么a就叫做b的算術(shù)平方根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵QUOTEa?17+b?12=0a?17+b?12=0，QUOTE，∴QUOTEa?17=b?12=0a?17∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEa?b=17?1=16=4∴QUOTEa?ba?b的算術(shù)平方根為2，故答案為：2．5．（24-25七年級上·浙江臺州·期末）若QUOTEx+8+|y+2|=0x+8+|y+2|=0，則QUOTExyxy的值為．【答案】16【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)、算術(shù)平方根的非負性、代數(shù)式求值等知識點，掌握算術(shù)平方根和絕對值的非負性成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，然后再代入代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵QUOTEx+8+|y+2|=0x+8+|y+2|=0，，∴QUOTEx+8=0,|y+2|=0x+8=0,|y+2|=0，∴QUOTEx+8=0,y+2=0x+8=0,y+2=0，∴QUOTEx=?8,y=?2x=?8,y=?2∴QUOTExy=?8??2=?16xy=?8??2=?16故答案為：16．6．（24-25七年級上·浙江寧波·期中）已知實數(shù)x，y滿足QUOTEx?4+y+11=0x?4+y+11=0，則QUOTEx?y+1x?y+1的值為．【答案】16【分析】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及算術(shù)平方根的性質(zhì)．直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)得出QUOTExx，QUOTEyy的值，進而得出答案．【詳解】解：QUOTEQUOTE|x?4|+y+11=0|x?4|+y+11=0，QUOTE鈭磝?4=0鈭磝?4=0，QUOTEy+11=0y+11=0，解得：QUOTEx=4x=4，QUOTEy=?11y=?11，則QUOTEx?y+1=4??11+1=16x?y+1=4??11+1=16故答案為：16．7．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期中）已知QUOTExx、QUOTEyy為實數(shù)，且QUOTEy=x?2009+2009?x+1y=x?2009+2009?x+1，則QUOTEx+y=x+y=【答案】2010【分析】本題考查了算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負，代數(shù)式求值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由QUOTE得到QUOTEx=2009x=2009，則QUOTEy=1y=1，即可求解QUOTEx+yx+y的值．【詳解】解：由題意得QUOTE，則QUOTEx=2009x=2009，∴QUOTEy=1y=1，∴QUOTEx+y=2009+1=2010x+y=2009+1=2010，故答案為：2010．考點三：估計算術(shù)平方根的取值范圍8．（2024·湖南長沙·二模）若QUOTE3<a<43<a<4，則滿足條件的QUOTEaa可能是（

）A．8 B．9 C．15 D．18【答案】C【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的意義成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)算術(shù)平方根的意義確定a的取值范圍，然后結(jié)合選項即可解答．【詳解】解：∵QUOTE3<a<43<a<4∴QUOTE9<a<169∴QUOTE9<a<169<a<16，即選項C符合題意．故選C．9．（22-23七年級下·重慶·階段練習）估計QUOTE11?111?1的值在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)的估算．估算QUOTE1111的近似值，即可得到QUOTE11?111?1在哪兩個整數(shù)之間．【詳解】解：∵QUOTE9<11<169<11<16，即QUOTE3<11∴QUOTE2<11?1<32<11?1<3∴QUOTE11?111?1在整數(shù)2與整數(shù)3之間，故選：B．10．（23-24七年級下·貴州安順·階段練習）小明制作了一張邊長為QUOTE16cm16cm的正方形賀卡想寄給朋友．現(xiàn)有一個長方形信封如圖所示，長、寬之比為QUOTE3:23:2，面積為QUOTE420cm2420cm2．(1)求此長方形信封的長和寬．(2)小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明理由．【答案】(1)長方形信封的長為QUOTE370cm370cm，寬為QUOTE270cm2(2)小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封；理由見解析【分析】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，以及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握由算術(shù)平方根的定義求出正方形賀卡的邊長．（1）設(shè)長方形信封的長為QUOTE3xcm3xcm，寬為QUOTE2xcm2xcm，根據(jù)面積為QUOTE420cm2420cm2列方程求解即可；（2）先求出賀卡的邊長，然后與信封的寬比較即可．【詳解】（1）解：∵信封的長、寬之比為QUOTE3:23:2，∴設(shè)長方形信封的長為QUOTE3xcm3xcm，寬為QUOTE2xcm2xcm，由題意得QUOTE3x鈰?x=4203x鈰?x=420，∴QUOTEx=70x=70（負值舍去），∴長方形信封的長為QUOTE370cm370cm，寬為QUOTE270cm270（2）解：正方形賀卡的邊長是QUOTE16cm16cm，∵QUOTE70>6470>64，∴QUOTE70>870>8，∴QUOTE270>16270>16即信封的寬大于正方形賀卡的邊長，∴小明能將這張賀卡不折疊就放入此信封．考點四：與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究問題11．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，QUOTEy=27.29y=27.29，那么QUOTEy=y=．【答案】QUOTE745745【分析】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)．【詳解】解：∵QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，∴QUOTE，即QUOTE745=27.29745=27.29，∴QUOTEy=745y=745，故答案為：QUOTE745745．12．（24-25八年級上·山西太原·階段練習）觀察表格并回答下列問題．a(chǎn)…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中QUOTEx=x=________，QUOTEy=y=________．(2)①已知QUOTE，則QUOTE________；②已知QUOTE，QUOTE，求QUOTEmm的值．【答案】(1)0.1，10(2)①0.245；②600【分析】本題考查數(shù)式規(guī)律問題、算術(shù)平方根的定義等知識點，從表格數(shù)據(jù)總結(jié)出數(shù)式變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）利用算術(shù)平方根的定義即可得出答案；（2）①根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案；②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案．【詳解】（1）解：QUOTE，故答案為：0.1，10；（2）解：①由表格中數(shù)據(jù)可得，被開方數(shù)的小數(shù)點每往右移動兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就向右移動一位，∴由QUOTE6鈮?.456鈮?.45可知QUOTE，故答案為：0.245；②∵QUOTE0.0012??.034640.0012??.03464，QUOTE2m??4.642m??4.64，∴可知0.03464的小數(shù)點向右移動了3位得到QUOTE34.6434.64，∴由上述表格可知被開方數(shù)QUOTE0.00120.0012小數(shù)點需要向右移動6個單位得到QUOTE2m2m，∴QUOTE0.0012?106=2m0.0012?10∴QUOTEm=600m=600．13．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）我們知道，平方數(shù)的開平方運算可以直接求得，如QUOTE44等，有些數(shù)則不能直接求得，如QUOTE55，但可以通過計算器求得．還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運用規(guī)律求得．請你觀察下表：a…0.04440040000…a…x2yz…(1)表格中的三個值分別為：QUOTEx=x=________；QUOTEy=y=________；QUOTEz=z=________；(2)用公式表示這一規(guī)律：當QUOTE（QUOTEnn為整數(shù)）時，QUOTEaa＝________；(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：已知QUOTE，則①Q(mào)UOTE_______；②QUOTE________．【答案】(1)QUOTE0.20.2，QUOTE2020，QUOTE200200(2)QUOTE2?10n2?10(3)QUOTE0.23580.2358，QUOTE23.5823.58【分析】此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．（1）利用算術(shù)平方根定義計算，填表即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，求出QUOTEaa的值即可；（3）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)題意得：QUOTEx=0.04=4100=4QUOTEy=400=4?100=4?QUOTE．（2）當QUOTEa=4?100na=4?100n（QUOTEnn為整數(shù)）時，QUOTEa=4?100n=22?（3）若QUOTE，則①Q(mào)UOTE；②QUOTE．14．（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習）先計算下列各式：QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，通過觀察并歸納結(jié)論：（1）請寫出：QUOTE：（2）計算：QUOTE．【答案】n102【分析】本題主要考查了奇數(shù)求和，算術(shù)平方根，認真讀題，尋找規(guī)律，掌握奇數(shù)求和的方法和算術(shù)平方根的定義是解答的關(guān)鍵．（1）總結(jié)規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)是奇數(shù)之和為QUOTEn2n2，開方即可；（2）先把被開方數(shù)提取公因數(shù)4，再將括號內(nèi)的按規(guī)律求和解答即可．【詳解】解：（1）∵QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，∴QUOTE故答案為：n；（2）QUOTE4+12+20+鈰?4044+12+20+鈰?404QUOTE=102=102．故答案為：102．考點五：算術(shù)平方根的實際應(yīng)用15．（23-24七年級下·廣東肇慶·期中）閱讀下列材料：在學習完實數(shù)的相關(guān)運算之后，某數(shù)學興趣小組提出了一個有趣的問題：兩個數(shù)的積的算術(shù)平方根與這兩個數(shù)的算術(shù)平方根的積存在什么關(guān)系？小聰和小明分別用自己的方法進行了驗證：小聰：QUOTE，而QUOTE4=24=2，QUOTE25=525=5，所以QUOTE，即QUOTE．小明：QUOTE，QUOTE(4?25)2=(2?5)2=100=4?25(4?25)2=(2?5)2=100=4?25，這就說明QUOTE4脳254脳25與QUOTE都是QUOTE4脳254脳25的算術(shù)平方根，而QUOTE4脳254脳25的算術(shù)平方根只有一個，所以QUOTE．回答以下問題：(1)結(jié)合材料猜想，當QUOTEa鈮?a鈮?，QUOTEb鈮?b鈮?時，QUOTEabab和QUOTE之間存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出；(2)運用以上結(jié)論，計算：①Q(mào)UOTE；②QUOTE；(3)解決實際問題：已知一個長方形的寬為QUOTE88，長為QUOTE3232，求這個長方形的面積．【答案】(1)QUOTE(2)QUOTE；QUOTE(3)16【分析】本題考查了實數(shù)的運算，算術(shù)平方根的應(yīng)用，熟練掌握實數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得當QUOTE，QUOTE時，QUOTE；（2）根據(jù)法則計算QUOTE；QUOTE；（3）由長方形的面積可知QUOTE，進而求解即可．【詳解】（1）解：當QUOTE，QUOTE時，QUOTE；（2）解：QUOTE；QUOTE，（3）解：根據(jù)題意得：長方形的面積為QUOTE．16．（24-25七年級上·全國·期末）喜歡探索數(shù)學知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其結(jié)果分別為QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整數(shù)，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)稱為“老根數(shù)”，其中“最小算術(shù)平方根”是QUOTE22，“最大算術(shù)平方根”是QUOTE66．(1)試說明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出它們的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTEaa，QUOTE3636，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的QUOTE22倍，求QUOTEaa的值．【答案】(1)理由見解析，最小算術(shù)平方根是QUOTE44，最大算術(shù)平方根是QUOTE2020(2)QUOTE99或QUOTE6464【分析】本題考查算術(shù)平方根，理解“老根數(shù)”、“最小算術(shù)平方根”、“最大算術(shù)平方根”的意義是正確解答的前提，求出“任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根”是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“老根數(shù)”“最小算術(shù)平方根”“最大算術(shù)平方根”的意義求解即可；（2）分三種情況進行解答即可，即QUOTEa<16a<16，QUOTE16<a<3616<a<36，QUOTEa>36a>36，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵QUOTE2?8=42?8=4，QUOTE，QUOTE，∴QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050這三個數(shù)是“老根數(shù)”；其中最小算術(shù)平方根是QUOTE44，最大算術(shù)平方根是QUOTE2020；（2）當QUOTEa<16a<16時，∵QUOTE1616，QUOTEaa，QUOTE3636，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的QUOTE22倍，∴QUOTE216a=16?36216a∴QUOTE8a=248a=24解得：QUOTEa=9a=9；當QUOTE16<a<3616<a<36時，依題意，得：QUOTE216a=36a216a∴QUOTE8a=6a8a∴QUOTE2a=02a=0解得：QUOTEa=0a=0，不合題意舍去；當QUOTEa>36a>36時，依題意，得：QUOTE，∴QUOTE，解得：QUOTEa=64a=64，綜上所述，QUOTEaa的值為QUOTE99或QUOTE6464．17．（24-25八年級上·江西九江·階段練習）在數(shù)學實踐活動課上，指導老師準備了一塊面積為QUOTE16m216m2的正方形紙片QUOTEABCDABCD（如圖所示），準備給數(shù)學實踐小組用來對教室重新進行裝飾，現(xiàn)需要一塊面積為QUOTE15m215m2的長方形紙片，數(shù)學實踐小組設(shè)計如下兩種方案：方案一：沿著正方形邊的方向裁出一塊面積為QUOTE15m215m2方案二：沿著正方形邊的方向裁出一塊面積為QUOTE15m215m2的長方形裝飾材料，且長與寬的比為QUOTE4:34:3．請你判斷實踐小組設(shè)計的兩種方案是否可行？若可行，請幫助解決如何裁剪；若不可行，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：QUOTE）【答案】方案一可行，方案二不可行，理由見解析【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，根據(jù)題意分別求得兩個方案中長方形的長和寬，和正方形的邊長比較大小，進而即可求解．【詳解】解：給定正方形紙片的面積為QUOTE16m216m2，因此其邊長為QUOTE4m4m（因為正方形的面積等于邊長的平方，即QUOTE4m脳4m=16m24m脳4m=16m2對于方案一：設(shè)裁出的長方形的長為QUOTExx，寬為QUOTEyy，滿足條件QUOTExy=15xy=15，同時QUOTExx和QUOTEyy都必須小于等于正方形的邊長QUOTE4m4m．若QUOTEx=4mx=4m，則QUOTEy=154m<4my=因此，方案一可行．此時，長方形的長為QUOTE4m4m，寬為QUOTE154m154m．對于方案二：設(shè)長方形的長為QUOTE4x4x，寬為QUOTE3x3x，其中QUOTEx>0x>0．根據(jù)題目，有QUOTE，解得QUOTEx2=54x2=54．因為QUOTEx>0x>0，所以QUOTEx=54x=54．根據(jù)題目給的參考數(shù)據(jù)QUOTE54鈮?.1254鈮?.12∴QUOTE4x鈮?.48m4x鈮?.48m，QUOTE．然而，長方形的長QUOTE4.48m4.48m已經(jīng)大于正方形的邊長QUOTE4m4m，因此方案二不可行．18．（24-25八年級上·山西臨汾·階段練習）電流通過導線時會產(chǎn)生熱量，滿足QUOTEQ=I2Rt(I>0)Q=I2Rt(I>0)，其中QUOTEQQ為產(chǎn)生的熱量（單位：QUOTEJJ），QUOTEII為電流（單位：QUOTEAA），QUOTERR為導線電阻（單位：QUOTE），QUOTEtt為通電時間（單位：QUOTEss）．(1)當導線電阻為QUOTE5惟5惟，電流為QUOTE3A3A時，通電時間為QUOTE2s2s所產(chǎn)生的熱量是多少？(2)當導線電阻為QUOTE6惟6惟，通電時間為QUOTE3s3s時，所產(chǎn)生的熱量是QUOTE72J72J，這時電流是多少？【答案】(1)通電時間為QUOTE2s2s所產(chǎn)生的熱量是QUOTE90J90J；(2)這時電流是QUOTE2A2A．【分析】（QUOTE11）把數(shù)值代入公式計算即可解題；（QUOTE22）先把公式變形，然后代入求出結(jié)果即可；本題考查了代數(shù)式求值，算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）由題得：當QUOTEt=2st=2s時，QUOTEQ=I2Rt=32?5?2=90J∴通電時間為QUOTE2s2s所產(chǎn)生的熱量是QUOTE90J90J；（2）∵QUOTEQ=I2RtQ=I2Rt且QUOTEI>0I>0，∴QUOTEI=QRtI=QRt當QUOTEQ=72JQ=72J時，得QUOTEI=726?3=2AI=72∴這時電流是QUOTE2A2A．19．（22-23七年級下·山東臨沂·期中）如圖，用兩個邊長為QUOTE的小正方形紙片剪拼成一個大正方形．

(1)求大正方形的邊長；(2)若沿著這個大正方形紙片邊的方向裁剪，能否裁得一個長寬之比為QUOTE3:23:2且面積為QUOTE的長方形紙片，若能，求出裁得的長方形紙片的長和寬；若不能，請說明理由．【答案】(1)QUOTE4cm24cm(2)不能裁得一個長寬之比為QUOTE3:23:2且面積為QUOTE的長方形紙片．【分析】本題考查了算術(shù)平方根，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；（2）先求出長方形的邊長，利用長與正方形邊長比較大小再判斷即可．【詳解】（1）解：由題意得，大正方形的面積QUOTE，QUOTE大正方形的邊長QUOTE=16=4??m=16=4??m；（2）設(shè)長方形紙片的長為QUOTE3x??m3x??m，寬為QUOTE2x??m2x??m．由題意，得QUOTE，即QUOTEx=2x=2．此時QUOTE3x=32>43x=32>4QUOTE不能裁得一個長寬之比為QUOTE3:23:2且面積為QUOTE的長方形紙片．考點六：理解平方根的概念20．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用數(shù)學式子表達為（）A．QUOTE1625=?451625=?45 B．QUOTE1625=451625=45 C．QUOTE?1625=?4【答案】C【分析】本題主要考查的是平方根的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義進行解題即可．【詳解】解：“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用式子表示為QUOTE?1625=?45?1625=?45故選：C．21．（24-25七年級上·浙江杭州·階段練習）已知某數(shù)的一個平方根為QUOTE1212，則該數(shù)是，它的另一個平方根是．【答案】QUOTE1414/0.25QUOTE?12?12/QUOTE?0.5?0.5【分析】本題考查了平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根的定義，注意一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)．根據(jù)平方根的平方等于被開方數(shù)和一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵這個數(shù)的一個平方根為QUOTE1212，∴這個數(shù)為QUOTE122=14122=14，另一個平方根為QUOTE故答案為：QUOTE1414；QUOTE?12?12．22．（2024七年級上·浙江·專題練習）下列說法正確的是（

）A．QUOTE?4?4的平方根是QUOTE鹵2鹵2B．QUOTE1616的算術(shù)平方根是4C．平方根等于本身的數(shù)是0和1D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】D【分析】本題考查了平方根與算術(shù)平方根的定義，熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義逐項判斷即可．【詳解】因為負數(shù)沒有平方根，所以A不符合題意；因為QUOTE1616的算術(shù)平方根是2，所以B不符合題意；因為平方根等于本身的數(shù)是0，1的平方根是QUOTE，所以C不符合題意；因為0的平方根與算術(shù)平方根都是0，所以D符合題意；故選：D．考點七：求一個數(shù)的平方根23．（22-23七年級上·浙江·期中）QUOTE1616的平方根是()A．QUOTE44 B．QUOTE?4?4 C．QUOTE鹵鹵4 D．QUOTE鹵2鹵2【答案】C【分析】本題主要考查了平方根，根據(jù)平方根的定義即可求解．解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)．【詳解】解：∵QUOTE，∴16的平方根是QUOTE，故選：C．24．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）QUOTE1616的平方根是．【答案】QUOTE【分析】此題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，這里需注意：QUOTE1616的平方根和16的平方根是完全不一樣的；因此求一個式子的平方根、立方根和算術(shù)平方根時，通常需先將式子化簡，然后再去求，避免出錯．根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的運算法則，直接計算即可．【詳解】解：∵QUOTE16=416=4，4的平方根是QUOTE，∴QUOTE1616的平方根是QUOTE．故答案為：QUOTE．25．（24-25七年級上·山東泰安·階段練習）已知QUOTExx、QUOTEyy都是實數(shù)，且QUOTEy=x?2+2?x+4y=x?2+2?x+4，求QUOTEyxyx的平方根．【答案】QUOTE【分析】本題考查算術(shù)平方根的非負數(shù)的性質(zhì)及平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的非負性得QUOTEx?2鈮?x?2鈮?，QUOTE2?x鈮?2?x鈮?，可得QUOTExx的值，再代入等式求出QUOTEyy的值，再根據(jù)平方根的定義求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握：任意非負數(shù)QUOTEaa的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即QUOTE．【詳解】解：∵QUOTEy=x?2+2?x+4y=∴QUOTEx?2鈮?x?2鈮?，QUOTE2?x鈮?2?x鈮?，∴QUOTEx=2x=2，∴QUOTEy=2?2+2?2+4=0+0+4=4y=∴QUOTEyx=42=16∴QUOTEyxyx的平方根為QUOTE．26．（24-25七年級上·山東威?！るA段練習）若QUOTE，QUOTE，則QUOTE0.30.3的平方根約為（

）A．QUOTE0.5450.545 B．QUOTE0.1730.173 C．QUOTE鹵0.173鹵0.173 D．QUOTE鹵0.545鹵0.545【答案】D【分析】本題主要考查平方根，熟練掌握平方根是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意30是0.3的100倍，進而可根據(jù)QUOTE30??.4530??.45進行求解．【詳解】解：∵QUOTE30??.4530??.45，∴QUOTE0.30.3的平方根為QUOTE鹵0.545鹵0.545；故選D．考點八：求代數(shù)式的平方根27．（23-24七年級下·山東濱州·期末）若x，y為實數(shù)，且QUOTE2(x?3)22(x?3)2與QUOTE3y?123y?12互為相反數(shù)，則QUOTEx2+y2x2+y2【答案】QUOTE【分析】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及平方根的定義．直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，進而利用平方根的定義得出答案．【詳解】解：∵QUOTE2(x?3)22(x?3)2與QUOTE3y?123y?12互為相反數(shù)，∴QUOTE2(x?3)2+3y?12=0∴QUOTEx?3=0x?3=0，QUOTE3y?12=03y?12=0，解得：QUOTEx=3x=3，QUOTEy=4y=4，則QUOTEx2+y2=3故QUOTEx2+y2x2+y2的平方根為：QUOTE．故答案為：QUOTE．28．（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）已知QUOTE1?3b1?3b與QUOTE2a+12a+1互為相反數(shù)，求QUOTE?3b+2a+6?3b+2a+6的平方根．【答案】QUOTE【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，平方根以及相反數(shù)，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．由題意得QUOTE1?3b=0,2a+1=01?3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．【詳解】解：∵QUOTE，QUOTE，則當QUOTE1?3b1?3b與QUOTE2a+12a+1互為相反數(shù)時，只能是QUOTE1?3b=0,2a+1=01?3b=0,2a+1=0，解得：QUOTEa=?12,b=13∴QUOTE?3b+2a+6=?3?13+2??12∴其平方根為QUOTE．29．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知實數(shù)QUOTEaa，QUOTEbb，QUOTEcc滿足：QUOTEa?5+b+4+c?32=0a?5+b+4+c?32=0，求：(1)QUOTEaa，QUOTEbb，QUOTEcc的值．(2)QUOTEa+b+ca+b+c的平方根．【答案】(1)QUOTEa=5,b=?4,c=3a=5,b=?4,c=3(2)QUOTEa+b+ca+b+c的平方根為QUOTE【分析】本題主要考查偶次冪、絕對值及算術(shù)平方根的非負性、平方根，熟練掌握偶次冪、絕對值及算術(shù)平方根的非負性是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意易得QUOTE，然后進行求解即可；（2）根據(jù)（1）可得QUOTEa+b+ca+b+c的值，然后根據(jù)平方根可進行求解．【詳解】（1）解：∵QUOTEa?5+b+4+c?32=0a?5+b+4+c?32=0∴QUOTE，解得：QUOTE；（2）解：由（1）得：QUOTE，∴QUOTEa+b+c=5?4+3=4a+b+c=5?4+3=4，∴4的平方根為QUOTE，即QUOTEa+b+ca+b+c的平方根為QUOTE．30．（23-24七年級下·河南商丘·期中）已知QUOTE2a+12a+1的算術(shù)平方根是5，QUOTE10+3b10+3b的平方根是QUOTE鹵4鹵4，c是QUOTE1919的整數(shù)部分，求QUOTEa?5b+ca?5b+c的平方根．【答案】QUOTE鹵6鹵6【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及平方根確定QUOTEa=12a=12，QUOTEb=2b=2，再由估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分確定QUOTEc=4c=4，將其代入代數(shù)式，然后計算平方根即可．【詳解】解：QUOTE鈭?a+1鈭?a+1的算術(shù)平方根是5，QUOTE，解得：QUOTEa=12a=12．∵QUOTE10+3b10+3b的平方根是QUOTE，QUOTE鈭?0+3b=16鈭?0+3b=16，解得：QUOTEb=2b=2．QUOTE是QUOTE1919的整數(shù)部分，而QUOTE4<19<54<19<5，QUOTE鈭碿=4鈭碿=4，QUOTEQUOTEa?5b+ca?5b+cQUOTE=6=6，QUOTEQUOTEa+5b?ca+5b?c的平方根為QUOTE鹵6鹵6．【點睛】此題題目主要考查算術(shù)平方根及平方根，估算算術(shù)平方根的整數(shù)部分，求代數(shù)式的平方根，熟練掌握這些基本運算是解題關(guān)鍵．考點九：已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)31．（24-25七年級上·黑龍江綏化·階段練習）一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是QUOTEa+5a+5和QUOTE4a?154a?15，則x的值為【答案】49【分析】本題考查數(shù)的平方根，解一元一次方程．根據(jù)一個數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)即可求出a的值，從而可求出x的值．【詳解】解：∵實數(shù)QUOTExx的兩個不同的平方根為QUOTEa+5a+5和QUOTE4a?154a?15，∴QUOTEa+5+4a?15=0a+5+4a?15=0，解得：QUOTEa=2a=2，∴QUOTEx=2+52=49x=2+5故答案為：49．32．（24-25七年級上·浙江溫州·期中）已知某數(shù)的一個平方根是QUOTE?5?5，則這個數(shù)是．【答案】5【分析】本題考查了已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)，掌握平方根的定義是解題關(guān)鍵．直接根據(jù)平方根的定義可得結(jié)果．【詳解】解：QUOTE，QUOTE平方根是QUOTE?5?5的數(shù)是5，故答案為：5．33．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）若一個正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE3b?53b?5和QUOTE?2b+2?2b+2．(1)求a和b的值；(2)求QUOTEa+3ba+3b的平方根．【答案】(1)QUOTEa=16a=16，QUOTEb=3b=3(2)QUOTEa+3ba+3b的平方根為QUOTE【分析】本題考查的是平方根，熟知一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出b的值，再根據(jù)平方根的意義求出a的值即可；（2）先求出QUOTEa+3ba+3b的值，再求出其平方根即可．【詳解】（1）解：∵一個正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE3b?53b?5和QUOTE?2b+2?2b+2，∴QUOTE3b?5+?2b+2=03b?5+?2b+2=0∴QUOTEb=3b=3，∴QUOTEa=3b?52=42=16（2）解：∵QUOTEa=16,b=3,a=16,b=3,∴QUOTEa+3b=16+3脳3=16+9=25a+3b=16+3脳3=16+9=25，又25的平方根是QUOTE，∴QUOTEa+3ba+3b的平方根為QUOTE．34．（24-25八年級上·山東青島·階段練習）已知一個數(shù)x的算術(shù)平方根為QUOTEa+3a+3，x的平方根為QUOTE鹵(2a?15)鹵(2a?15)，求這個數(shù)x是．【答案】441或49【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，算術(shù)平方根，先根據(jù)題意可得關(guān)于a的方程，求出解即可．【詳解】根據(jù)題意，得QUOTEa+3=鹵(2a?15)a+3=鹵(2a?15)解得QUOTEa=18a=18或QUOTEa=4a=4，∴QUOTEa+3=21a+3=21或QUOTEa+3=7a+3=7，則QUOTEx=212=441x=212=441或QUOTEx=72=49所以這個數(shù)是441或49．故答案為：441或49．考點十：利用平方根解方程35．（24-25八年級上·廣東深圳·階段練習）解方程(1)QUOTE4x2?9=04x(2)QUOTE42x?12=3642x?1【答案】(1)QUOTEx=鹵32x=鹵32(2)QUOTEx=2x=2或QUOTEx=?1x=?1．【分析】（1）利用平方根的定義解方程即可；（2）利用平方根的定義解方程即可；本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：QUOTE4x2?9=04QUOTE4x2=94xQUOTEx2=94x解得：QUOTEx=鹵32x=鹵32（2）QUOTE42x?12=3642x?1QUOTE2x?1=32x?1=3或QUOTE2x?1=?32x?1=?3解得：QUOTEx=2x=2或QUOTEx=?1x=?1．36．（21-22七年級下·貴州黔南·期中）解方程：(1)QUOTE25x2?49=025x(2)QUOTE2x+12?49=12【答案】(1)QUOTEx=75x=75或QUOTEx=?75x=?(2)QUOTEx=4x=4或QUOTEx=?6x=?6【分析】本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵：（1）先將方程整理為QUOTEx2=4925